книги / Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра
..pdfкоторая при а =0 обращается к экспоненту Эта функция играет важную роль при изучении упругой среды с после действием.
Очевидно, Эа (X, t) |
2 |
= 'Z(2«~I _ D |
(а< 1). |
||
Заметим, что функция |
Эа (X, t) выражается через производ- |
||||
|
|
|
00 |
Х п |
|
ную функции Миттаг — Лефлера Е 7(х) = |
V I |
|
|||
2 |
~ fi—ттг- по' |
||||
средством равенства Э«(X, |
t)= (1 —a)t~aE\~a (Xi1_a). |
Однако |
|||
важные для практики свойства функции |
Эа(Х, t) на языке |
||||
функции Миттаг — Лефлера выражаются |
в |
виде |
громозд |
||
ких формул. Вместе с тем функция (2) как |
специальная |
||||
функция представляет теоретический и практический инте рес независимо от функции Миттаг — Лефлера. По этой причине в последующем функцию Эа(Х, t) будем именовать функцией Работнова.
Очевидно, функция Работнова аналитична по парамет ру а при R e a d . Представляет интерес осуществить анали тическое продолжение этой функции по параметру a в об ласть R e a ^ l.
Рассмотрим случай а > 1 . Имеем
|
|
<2 - 3 - 8 > |
Так как 1— а < 0 при а > 1 , то |
■+■Эг-о (д -, fj. |
|
Следовательно, для а > 1 ввиду (3) имеем |
|
|
{Эа (X, г)} = - X - |
4 ‘э2-« ( - Ь |
*)• |
Итак, о. о. {Эа(X, г)}, отвечающий изображению (3), при |
||
любом а, представим в следующем виде: |
|
|
Эа(Х, t) |
|
при а < 1 , |
{Эа(Х, *)}- j ^ 8(0 |
|
при а = 1, |
— Y 4t) — -^Э2_а(4 -, t) |
при а > 1. |
|
В заключение отметим некоторые характерные особен-' ности о-сходимости. Нетрудно видеть, что о-сходящимис^ последовательностями оригиналов могут быть последова тельности просто сходящиеся, сходящиеся равномерно, схо дящиеся в среднем, расходящиеся (в обычном понимании).
Это указывает на широту охвата различных последователь ностей о-сходимостью. Однако здесь, как и в теории сумми рования расходящихся рядов, наблюдается потеря остроты метода с увеличением его мощности [107]. Действительно, можно привести пример последовательности функций-ори гиналов, равномерно сходящейся на [0, оо) и вместе с тем не удовлетворяющей критерию о-сходимости.
П р и м е р 5. Так как
00
ег** = 2 (—«О"/»!, г2" - ( 2л)! г2",
л = 0
ТО
В левой части этого соотношения имеет место равномерная сходимость на [0, оо), тогда как в правой части ряд всюду расходится. Таким образом, из отсутствия о-сходимости некоторой последовательности еще не следует, что данная последовательность вообще не сходится.
§ 4. Обобщенное значение о. о. в точках f = + 0 и £ = + 00
Вопрос об определении значения о. о. в произвольной точке связан с вопросом о реализации о. о. в терминах обыч ных функций и, как это имеет место в теории обобщенных -функций, невозможно в общем случае ввести понятие зна чения произвольного о. о. в произвольной точке t. Однако, опираясь на так называемые теоремы тауберова типа, кото рые при определенных ограничениях, накладываемых на оригиналы, увязывают значения изображений на концах промежутка [0, оо) со значениями оригиналов на концах промежутка [0, оо), целесообразно ввести следующее опре деление.
Назовем обобщенным значением о. о. / в точках f = + 0 и f =•+ оо соответственно величины пределов limF(z), limF(z)
(если они существуют).
.Корректность этого определения следует из теорем тау берова типа при тех ограничениях, когда эти теоремы спра ведливы [25,225].
Например, так как
то
lim cos t = lim |
|
— 1, |
|
f-+--{-0 |
2-*+0 |
|
|
lim e~* — lim e‘ = |
lim |
= 1, |
|
«-i- + 0 |
f-»- + 0 |
z-H-t>1 ± 2 |
|
lim e~l = lim 73— — -fO.
Однако в тех случаях, когда теоремы тауберова типа «не работают», приведенное определение может приписать однозначно оригиналу /(î) некоторые вполне определенные значения в точках t = + 0 и ï= + оо, тогда как на самом де ле никакого определенного значения функция f(t) может не иметь в этих точках.
Например, [107] lim sin?= lim^r-; = 0, lim cost= lim —Ц =
= 0, lime' =lim |
= —0. |
|
t-*+<o |
z—+ » 1 |
2 |
Таким |
образом, обобщенное значение оригинала е ‘ в |
|
точке t —+ оо равно — 0.
Замечание. Последний пример показывает, что приве денное определение не чувствительно к росту экспоненты, в то время как на рост степенной функции оно реагирует вполне естественным образом.
Г л а в а 3
ОПЕРАЦИИ НАД ОБОБЩЕННЫМИ ОРИГИНАЛАМИ
Ранее было показано использование простейших (оче видных) действий над о. о., таких, как сложение о. о., умно жение о. о. на числа. В настоящей главе предстоит распро странить на пространство о. о. более широкий класс дейст вий. Общая схема такого распространения довольно проста.
Всякая процедура над аналитическими функциями (изображениями), приводящая к аналитической функции, порождает (индуцирует) соответствующую процедуру над обобщенными оригиналами, отвечающими упомянутым
изображениям, которая приводит к соответствующему о. о. Иными словами, операция ТР(г)—Ф(г) (F.(z), Ф(з)
б W(z)/(w)) порождает в пространстве о. о. операцию Г*, такую, что Т*{/(*)}={ф(*)}, где {f(t)}-^-F(z) и (ф(*)} -т-Ф(г).
В тех случаях, когда оператор Т* на классическом про
странстве функций оригиналов или, скажем, на простран__ А
стве P0[t] имеет смысл вполне определенного оператора Т, то оператор Т* можно рассматривать как расширение (обоб-
А
щение) оператора Т на пространство о. о.
Расширение оператора при определенных ограничениях
А
является единственным: если оператор Т, не всюду опреде ленный на A(t)/(A), осуществляет отображение A(f)/(A)->-
-wY(ï)/(A) и индуцирует на W(z)/(w) оператор T:W(z)/(w)-+- ->-W(z)/(w), область определения которого совпадает с про-
А
странством W(z)/(w), то расширение Т* оператора Т единст венно.
А
Так, расширение регулярного оператора Т единственно.
А
Оператор Т называется регулярным, если:
а) TQ(Z 4t)+ T (z— a ) n; |
|
|
|
б) T — линейный оператор и |
любой степенной ряд |
||
СО |
|
|
|
2 с*(2— |
оператор Т преобразует в |
равномерно сходя- |
|
|
00 |
|
|
щнйся в некоторой области G ряд 2 |
c kT (z — P)ft. |
||
Цель |
ft-0 • |
свойства операторов |
|
настоящей главы — изучить |
|||
над пространством о. о., порождаемых (определяемых) соот ветствующими операторами, действующими в пространстве изображений.
§ 1. Регулярные операции
ь
п. 1. Интегрирование о. о. Поскольку г “ \L n (xlz0)dx-т-
о
-i-z(z—zо) " и умножение степенного ряда на г не изменяет его радиус сходимости, то операция интегрирования явля ется регулярной операцией. Следовательно, операция инте грирования определена для произвольного о. о. и задается операционным соотношением :
t
jV c O }* zF(z). |
(3.1.1) |
Отсюда следует, что
t t
j . |
. . jW ) } {dï}a - z"F(z). |
(3.1.2) |
О |
о |
t |
|
t |
Кроме того, поскольку zn(z — Zo)*'5" 2^ j •••] ^ ( Z/ZQ) ^ 11=
|
t |
|
0 |
0 |
zQk |
|
|
|
|
f |
(т/20) d i |
и умножение степенного |
||
= (Л_1)1 |
J (t — |
|||
О
ряда на zn не изменяет его радиус сходимости, то операция t
(п—1)! J |
(*■—т)п“ 1 (‘)^т определена для произвольного о. о, и |
О |
операционным соотношением |
задается |
1_! I (f _ ,)n-i { m d z - 2»JP(2). |
(3.1.3) |
(re |
|
Это операционное соотношение является частным случа ем более общего правила (правила свертки).
Сравнивая (2) и (3), заключаем, что в пространстве о. о. справедлива формула JConm
t |
t |
t |
|
J . . . |
f |
<* - T)B_1 |
(3.1.4) |
0 |
0 |
0 |
|
n. 2. Свертка о. о. Пусть точка Zo принадлежит общей части области аналитичности изображений F(z) и G(z). Тог да если
|
0о |
|
|
|
F(s) = |
2 |
°*(г — 2о)в, |
I г — г„ |< |
PCF), |
|
л=0 |
|
|
|
|
00 |
|
|
|
G(z) = |
2 |
М * — 2о)"> |
I z — г0 |< |
р(G), |
л—0
ТО
l?(z)G(z) = 2 2 ^л-тЬт (Z - 2 0) * , 71=0\т=0
который сходится абсолютно и равномерно в круге \г—Zo| ^ /Аr<m m [p(F), p(G)]. Следовательно, ряд Лагерра “
М |
( |
o>n-mbm I z0" L n (tfz0) |
является обобщенным и пред- |
||
2 |
|||||
|
т —0 |
J |
некоторый о. о., который в силу свойства |
||
ставляет собой |
|||||
многочленов Лагерра |
|
|
|||
|
|
t |
|
|
|
|
20*2оВ T t f a b |
•ЬлС'М)) dz = Z0k+nL k+n (t/z0), |
|
||
естественно определить как свертку двух о. о. и писать |
|||||
|
|
I t |
St |
{£ (*)}* -:-а д с ( 2 ) . |
(3.1.5) |
При таком определении свертки сохраняется ее основное свойство, выражаемое известной теоремой Титчмарша [212]. Как следствие, отметим равенство
- h |
f if(t - х)} |
= 2 |
( 2 |
ъш) L nm , |
|
Q |
п = 0 |
\ т = 0 |
J |
СО |
|
00 |
|
|
где f = 2 |
(*). |
ё = 2 b*L * (f). |
|
|
л=0 |
п=0 |
|
|
|
которое на практике может быть использовано для вычис ления сверток.
п. 3. В-производная о. о. В работе [40] В. А. Диткин ввел
оператор t-^ , тесно связанный с уравнением Бесселя и
поэтому названный им В-оператором или оператором Бес селя.
Поскольку |
|
* -&20kL k(t/Z0) + - ± (2 ~ 20)\ |
(2.1.6) |
ТО
Замечание. Из изложенного следует, что в пространстве
о.о. справедливо B (f*g )= * g * B f -\- f* B g .
Прим ер . Найти В-производную функции Ini.
Имеем lnf-r-lnz—С, Blnf-г- (Inz—С) =
Следовательно, Blnf= ô(f),
где 6(f) о. о., отвечающий и з о б р а ж е н и ю . Свойства о. о.
0(f) будут изучены ниже (будет показано, что 6(f) представ ляет собой ô-функцию Дирака).
Следствие. Любой о. о. бесконечно В-дифференцируем. п. 4. Операция умножения о. о. на t. Поскольку
tz0kL k (f/zo) z d |
z (z — Zo)ft, то |
|
|
t f + z ^ z F ( z ) , |
(3.1.7) |
и в общем случае |
|
|
tnf + (2 i ï 2 )" W s г” £ » |
t3-1*8) |
л. 5. Теорема затухания. Нетрудно видеть, что
Отсюда e xtг0* L k(t/z0)-^ ^ |
—во)*- |
СО |
оо |
Пусть / = 2 akzakL k (t/z0) ^ |
^ а к(г — г0)к = F (г). |
\А
Так как ряд f z ( f 5 ü ~ го fc—о 4
СХОДИТСЯ К Г - Л - .F |
равномерно в области, опреде- |
1“ Л2 |
|
ленной неравенством | |
— г0| < р , где р — радиус сходи |
мости исходного степенного ряда, то операция умножения о. о. / на функцию еи определена и задана операционным соотношением
(3.1.9)
§2. Операции над о. о.
п.1. Операция деления на t. Операцию деления о. о. на t естественно определить как операцию, обратную операции
умножения о. о. на t.
Пусть требуется построить такой обобщенный оригинал Ф, чтобы tq>-7-F(z). Иными словами, необходимо найти такую
функцию Ф(в), чтобы |
|
г-^ 2ф (а) = а д . |
(3.2.1) |
Обобщенный оригинал, отвечающий найденной аналитиче ской функции ф(з), будет искомым; для него естественно ввести обозначение ф=//t-
Равенство
гФ(г) = J F (5) у + <*Ф(а)» |
(3.2.2) |
где а — произвольное комплексное число, a контур интегри рования не содержит особых точек функции F\z)lz, равно
сильно равенству (1).
Покажем, что требование аФ(а)-Ю при а-М) эквивалент но требованию
Ф(2) = ~Г |
(3.2.3) |
|
О |
в предположении, что содержащийся здесь интеграл схо дится.
Действительно, пусть аФ(а) при а-И). Так как левая часть равенства (2) не зависит от а, то .соответственно име-
Z
ем гФ (г)=[ F (с)
о
Итак, рассматриваемый интеграл существует и z
Ф ( г ) = 4 | т - J - .
О
Наоборот, пусть справедлива |
формула (3), тогда |
Z |
|
гФ (г)= |
г ->0. |
о
Ясно, что в рассматриваемом случае функция Ф(г), пред ставленная формулой (3), является аналитической и, следо
вательно, ей отвечает некоторый о. о. |
правило деле- |
Таким образом, справедливо следующее |
|
г |
|
ния о. о. на t. Если существует интеграл |
то |
{ ^ Ь то М |
(3'2,4) |
Представляет интерес вопрос: как быть в тех случаях, когда интеграл типа (3) не существует. В этом случае даль нейшее продвижение можно получить за счет регуляриза ции этого интеграла.
Регуляризованный интеграл записывается в виде
2
j* F(£)d£ (скобки в нижнем пределе указывают, что интеграл
(0)
регуляризован относительно точки z = 0). За регуляризованное значение интеграла принимается вполне определенная функция т|)(2)+тга из класса первообразных функций функ ции F(z). Последнее связано с тем, что регуляризованный интеграл, как и всякий интеграл, должен удовлетворять
Z
условию-^- |*Fi(g)d|=F(2).
(0 )
Для выбора константы ш привлекаются дополнительные соображения. Как правило, они основаны на принципе аналитического продолжения.
Таким образом, процедура регуляризации сводится к обоснованному указанию способа конкретного выбора пара метра т.
Правило деления о. о. на t обобщается и на регуляризу-
гс |
(?) |
ds |
, то |
емые интегралы: если существует интеграл 1 F |
|
||
(0) |
|
|
|
Г- P h - H ^ .
(0 )
Рассмотрим, к примеру, соотношение 1-г-1. Тогда |
{ ~ } "** |
|||||
Z |
Inz - C |
|
|
* |
|
|
1 Г dg |
, |
. |
что регуляризо- |
|||
— I -g- = — — |
(в главе 4 |
будет показано, |
||||
(0) |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ванное |
значение |
интеграла | <2£/£ равно |
1пг— С, |
где С — |
||
постоянная Эйлера). |
(0) |
|
|
|||
|
|
|
||||
Обобщим операцию деления о. о. на произвольную це |
||||||
лую степень t n . |
|
С этой целью необходимо обратить внима |
||||
ние на то, что операция деления на t определялась как опе рация, обратная операции умножения на t . Это позволило
рассматривать |
равенство |
<p— f i t как следствие |
равенства |
||
Этот подход сохраняется и в |
общем случае: о. о. |
||||
ф=//f“ определяется как |
следствие |
равенства |
*ЛФ= Л что |
||
приводит к следующему построению. |
|
|
|||
Так как |
|
|
|
|
|
т |
г" |
d a |
С |
dg |
|
= Tïï^ïjr 1 р |
) <* - s)"-* F ® !» = |
|
|||
(0)