книги / Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра
..pdfОтсюда в тех случаях, когда F(X • 0 + ) —У(+0) (например,
когда Х>0, имеем |
Jr(X2)~ F(0)- + |
|
т. е. |
{/ М } = |
|||
= ^ ~dû W u))l |
|
|
|
|
|
|
|
В тех же случаях, когда F (к |
O +J^fX+O ), имеем |
||||||
) 2Р(Хг)—1?(Д.,0+) |
, F(Xz)-F(0) |
, F (0 )-F fi-0 + ) |
|||||
Л------- |
Гг------- |
я |
* ----- |
Гг-------- |
1 |
i |
|
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
■ é № |
» = * |
£■ (/(«)} |и=х»+ m |
m |
- ^ |
‘О-ьи. |
||
8. Согласно правилу интегрирования по параметру, име
ем
^■1 |
j Я>.г)<гх = |
|
Х0 |
J |
7 j F(X2)d(^z) - |
7 j F(te)d(Kz) |
|
\> |
x0 |
о |
о |
или |
|
|
|
Последнюю формулу естественно кратко записывать в виде
jV ( * 0 } c t t = - f J {/(*)№*•
§ 3. Обобщенный интеграл Лапласа — Карсона и связь обобщенных рядов Лагерра с классическими рядами Лагерра
п. 1. Определение несобственных интегралов от о. о. и некоторые следствия. Введем теперь понятие несобственно го определенного интеграла от произвольного о. о. Согласно определениям § 4 главы 2 и ввиду (1.1), в предположении, что существует предел итгР(г), имеем
|
+00 |
|
|
|
|
|
09 |
|
|
Н т |
î {/(x)}dt = |
f {/(i:)}dt = |
lim zF(z). |
(3.3.1) |
t-»—|-е |
Ч |
4 |
Z-* +00 |
|
Последнее соотношение определяет несобственный интеграл от о. о. Это определение является распространением на про странство о. о. Э-определения суммируемости по Эйлеру рас ходящихся интегралов [107]. Из (1) следует, что несобствен ный интеграл существует не для каждого о. о.
В тех случаях, когда предел limzF{z) не существует или
Z -* -+ 0 0
равен оо, будем говорить, что соответствующий несобствен ный интеграл от о. о. расходится.
Примеры:
оо
1) |
1 cos txdt = Нш |
■1 , 'г, „ = 0, |
|
J |
2_>. оо |
■‘ ■ T |
1 |
CO
2)
Такие же значения припишет этим интегралам и Э-метод Эйлера [107].
Приведем одно замечание по поводу введенного опреде ления несобственного интеграла от о. о. По определению имеем
оо |
|
|
f [Д*)}<2т — f {/(*)}C?T |
lim zF{z) — zF(z). |
|
0 |
0 |
^ +°° |
О. о., определяемый этим соотношением, естественно обозна-
оо
чить символом i {f(x)}dx-r-\imzF{z)—zF(z). |
|
||
J |
+ |
т |
|
Отсюда при г->+0 будем иметь |
|
||
Ç |
= lim |
zF(z) — lim zF(z). |
(3.3.2) |
(+0) |
~ +“ |
z->-0+ |
|
~ 0+ |
|
||
Ясно, что введенный таким образом несобственный интеграл от о. о. может не существовать или существовать и быть отличным от величины ранее введенного несобственного интеграла (1).
|
00 |
оо |
|
Например, |
j* ô(t)dt = l, тогда как J ô(t)dt= 0. |
||
|
О |
(0) |
справедливость |
Другой пример. Ниже будет показана |
|||
операционного |
соотношения : |
j-j- J ^ — . |
Поэтому, сог |
ласно правилам затухания и |
интегрирования о. о., имеем |
||
|
t |
|
|
|
j* e- t ( 4 } dx |
In jjjTz —С, |
|
|
о |
при |
f-oo) имеем |
Отсюда, с одной стороны, |
|||
|
00 |
|
|
j*e~T{1/т}йт=—С.
О
00
С другой стороны, из j е ' | ~ J dx-^in t t î ПрИ г_^о(г->-0) по-
t
00
лучаем J е~г |~j dx= -j- оо.
( + 0)
Покажем, что на расходящиеся интегралы от о. о. мож но распространить также принципы суммирования расходя щихся интегралов в смысле Чезаро и Гельдера [107].
Согласно определению (С, п)-суммируемости (по Чезаро), имеем:
(С, п) f a(t)dt = Hmх~п Г (х — t)na(t)dt = А < оо. |
(3.3.3) |
у*->—{-oo • '
Применяя соотношение инвариантности (2.18) к соответст-
t |
х |
Z |
|
вию J |
j*{/(и)}dv |
JF(u) du, |
|
О |
0О |
(0) |
|
находим |
|
|
|
t |
^ |
Z |
|
t~n J (f — х)п J{f(v)}dv ■+• z л j* F(u) (z — u)ndu, |
(3.3.4) |
||
о |
0 |
(0) |
|
Отсюда при оо и 2->-+ оо в соответствии с определения
ми (С, л)-суммируемости и обобщенного значения о. о. име ем
оо |
х |
со |
|
(С, П) JЩ- J{f(v)}dv = |
(С, п) JF(ü)du. |
(3.3.5) |
|
0 |
0 |
(0) |
|
Таким образом получено обобщение (С, ^-суммируемо сти несобственных В-интегралов.
Применяя равенство (2.15) при тл=1 к соответствию
ф-ЬФ(г), полагая в (4) f(v)=*Dv{(p{v)}, F(u)= ^ и ф (и ) и учи-
Т
тывая при этом очевидное равенство " r j ^Лф(у)}^={ф(т)},
|
о |
t |
г |
получаем t~n j*(t — t)'1 {<p(i)}d't -s- z~n [ (z—u)n ^ [цф (u)]du.
Ь |
(0) |
Переходя здесь к пределу при ?-»-+оо, z->-+oo в силу (3), имеем
00 |
00 |
|
(С, л)| {©(x)}<fc = |
(C, п) j £ [и Ф (и Ш и . |
(3.3.6) |
(0) |
(0) |
|
Последнее равенство обобщает понятие (С, л)-суммируе- мости на класс о. о.
Рассмотрим теперь (Я, л)-суммируемость интегралов (по Гельдеру). Суммируемость по Гельдеру определяется следую
щим образом [107] : |
|
|
х |
X |
|
А(х)=Н®\х) = ~ j* a(t)dt, Я(»)(л:) = -| j I F n~»(t)dt. |
(3.3.7) |
|
0 |
0 |
|
(к — 1, 2,... ) |
|
|
Если НИп)(х)-*”А при х->оо, то говорят, что |
|
|
оо |
|
|
А(х)-+А (Я , л) или Ja(t)dt = |
А (Я , л). |
(3.3.8) |
0
Сравнивая (2.18) и первое из равенств (7), будем иметь
Применяя последовательно это правило, получим
й<п,№ ) } ] + я (п)№ ) ] .
Переходя в последнем соотношении к пределу при *-►+ со,
Z-++Cо, получим |
обобщение |
(Я, ^-суммируемости на |
|
класс о. о. : |
|
|
|
00 |
|
00 |
|
(Я, n )j |
{f (f)} d t = |
(Я, п) j* F(u)du. |
(3.3.9) |
О |
|
(0 ) |
|
Замечание. Аналогично, исходя из понятия (С, л)- и (Я, л)-сходимости последовательностей, можно обобщить поня
тие обобщенного значения о. о. в точках f-ь+О и |
|-оо. |
||
п. |
2. |
Обобщенный интеграл Лапласа — Карсона. Опи |
|
раясь |
на |
введенное понятие несобственного интеграла от |
|
о. о., можно показать, что между изображением и отвечаю щим ему о. о. существует связь, устанавливаемая обобщен ным аналогом интегрального преобразования Лапласа — Карсона в смысле введенного выше понятия несобственно го интеграла.
По правилу затухания при любом Я имеем
(3.8.10)
Проинтегрируем о. о. e~lt {f(t)} по f в пределах от 0 до оо, тогда, согласно определению § 4 главы 2, будем иметь
00
j* e -Xf {/(*)} dt = lim^ д а F ( д а ) = j F (-J-), (3.3.11)
причем это равенство справедливо для всех Я, для которых Яг1 принадлежит области аналитичности изображения F(z). Заменяя в (11) Я-1 на г, получим
00 |
|
F (2) = 4 - J e r if {f(t)} dt. |
(3.3.12) |
О |
|
Итак, в смысле определения § 4 главы 2 любое изображе ние может быть представлено обобщенным интегралом Лап ласа — Карсона (12).
п. 3. Связь обобщенных рядов Лагерра с классическими рядами Лагерра. Покажем, что в смысле приведенного вы ше определения (1) несобственных интегралов коэффициен ты обобщенных рядов Лагерра могут быть представлены в. классической форме.
оо |
00 |
Пусть / = 2 |
a aL n (f/«)+ j |
-g - ( z - a f =*-(г). |
|
|||
п=0 |
|
|
л=0 |
|
|
|
Справедлива формула |
|
|
|
|
|
|
I T * " ”<*> = |
|
|
|
|
т |
- <s -s i 3 > |
Замечая, что оператору |
г ^ г в |
пространстве |
о. о. отве |
|||
чает операция умножения на t, |
и используя (12), формулу |
|||||
|
|
2п |
|
|
00 |
|
(13) представим в виде |
|
|
1 C |
|
||
F (n)(z) = |
~ J e~tlz L n(tjz ) (f(f)} d t. |
|||||
Полагая здесь z = a , получим |
|
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
00 |
|
|
|
я* = |
!**> («)= |
Г j |
e - « * L n(tla){f(t)dt. |
|||
|
|
|
0 |
|
|
|
Последнее означает, что коэффициент а п обобщенного ряда Лагерра сохраняет классическую форму коэффициентов Фурье — Лагерра, где несобственный интеграл от о. о. по нимается в смысле (1).
* |
* * |
Известны фундаментальные |
работы по обоснованию и построению |
операторного исчисления: В. А. Диткина [39], Я. Минусинского [76]г |
|
Г. Деча [141] и В. А. Диткина и А. П. Прудникова [46]. |
|
В. А. Диткин [39] дал детальное и стройное изложение операцион |
|
ного исчисления и обратил внимание на необходимость обоснования опе рационного исчисления исходя из понятия оператора.
Работа [76] Я. Минусинского явилась радикальным возвратом на высокой степени абстракции к операторной точке зрения. В ней дано глубокое и изящное обоснование операционного исчисления.
В. А. Диткиным [41, 42] и Бергом [121] изучена и раскрыта струк тура поля операторов Микусинского [76]. Введено также понятие обоб щенного преобразования Лапласа и доказано, что интеграл Лапласа яв ляется естественным средством представления операторов, преобразуе мых по Лапласу [41].
Операторы Микусинского рассматривались также Эрдеий [146], а Фойас показал [151], что для всякого оператора существует последова тельность непрерывных на (0, оо) функций, сходящихся к нему в прост ранстве Микусинского.
После работ Л. Шварца [202] и И. М. Гельфанда и Г. Е. Шилова [31] появился ряд исследований [74, 75, 152, 167, 172, 173], в которых для обобщения преобразования Лапласа использована теория обобщен ных функций.
Л. Шварц [201—203] применил теорию обобщенных функций к обоб щению операционного исчисления, причем у него оригиналами служат
распределения из |
, изображения которых таковы, что они мажориру |
ются многочленами при р — Эти его представления в дальнейшем развиты Лавуном [172, 173], который за оригиналы также принимал
распределения из |
В частности, он доказал, что функции с неинте- |
грируемыми степенными особенностями являются оригиналами в постро енном им операционном исчислении.
В работе [204] также рассмотрена теория операционного исчисле ния с точки зрения распределений Шварца.
То обстоятельство, что более общие распределения, чем распределе ния из D+, могут быть включены в пространство оригиналов, было дока
зано Ишихаром [167]. В своих более ранних работах [165, 166] он рас сматривал интегралы Лапласа как частные случаи некоторых расходя щихся интегралов, трактуемых как функционалы. Позже Ишихара [168] применил метод суммирования Чезаро ft-го порядка для получения бо лее общего преобразования Лапласа, Обозначив через L w ( F ) и L (F ) изображение в смысле работ [165, 166], он доказывает следующую тео рему. Если L °° (F ) сходится в области Re£>B, то в ней же обобщенное изображение Лапласа L ( F ) совпадает с L°° (F ) и является аналитическим продолжением обобщенного изображения Лапласа.
P. М. Малаховская [74, 75] показала, что обобщенные функции мо гут служить основой для построения операционного исчисления.
Себаштьян-и-Силви [205] к обобщению преобразования Лапласа при менил теорию аналитических функционалов [148]. Обобщение этих ре зультатов на случаи л-переменных дано Сильвейром [209, 210].
Позже Гош, используя идею Гельфанда—Шилова по определению трансформанты Фурье для быстрорастущих функций, указал, что для а> 0 функция ехр (ал:2) имеет трансформанту Лапласа [152]. Кулером [137] найдены различные условия, которым должна удовлетворять голо морфная в правой полуплоскости функция, чтобы она служила трансфор мантой Лапласа некоторого распределения.
Элементы теории операционного исчисления, изложенные в данной книге, впервые были описаны В. М. Амербаевым в работе [9].
Глубокий анализ истории развития идей операционного исчисления дан в монографии И. 3. Штокало [112], богатой нестандартными приме рами приложения операционных методов.
Г л а в а 4
ВКЛЮЧЕНИЕ ФУНКЦИЙ
СНЕИНТЕГРИРУЕМЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ
ВПРОСТРАНСТВО ОБОБЩЕННЫХ ОРИГИНАЛОВ
Описанные в предыдущей главе операционные соотно шения являются расширением действия правил операцион ного исчисления на пространство о. о. Другой важной зада чей рассматриваемой теории является изучение состава пространства о. о., т. е. вопроса о том, какие типы функций содержатся в качестве элементов в пространстве о. о. Суще ственной особенностью для данной теории является факт, что любой о. о. вводится и его свойства изучаются «опосред ствованно» — через производящее его изображение F (г) и его свойства. Таким образом, аппарат теории аналитических функций становится основополагающим аппаратом для изучения свойств о. о. и состава пространства о. о.
Можно указать несколько приемов изучения состава пространства о. о.
Первый из них основан на принципе изоморфного вло жения в пространство о. о. Так, используя метод В. А. Диткина обобщения преобразования Лапласа [41], позволяю щий установить изоморфизм пространства Минусинского с определенным классом аналитических функций (образую щих поле), можно показать, что пространство Минусинскогоизоморфно вкладывается в пространство о. о.
Этот прием носит экзистенциональный характер и имеетчисто теоретическое значение. На практике наибольший интерес представляют конструктивные приемы, которые по мимо установления факта, что изучаемая функция цли класс функций принадлежит пространству о. о., конструи руют изображения этих функций. К числу таких приемов,, в частности, относятся различные процедуры по параметру над параметрическими операционными соотношениями.. Одна из таких процедур, а именно регуляризация расходя щихся интегралов, основанная на принципе аналитического
продолжения по параметру, описывается в настоящей главе. Здесь доказывается, что пространство о. о. включает в себя
функции типа: txlnéf (л, k — целые числа, X— комплексное число), (£—<x)_nln*(f— a)vj(?— а), 11—а|-л1п* \t—
—ah(f)H T. д.
Одновременно построены изображения для указанных оригиналов. При этом методы, изложенные в предыдущей главе, позволяют обобщить некоторые результаты работ [126, 129, 173, 192, 218], а также сформулировать ряд не тривиальных правил оперирования над упомянутыми выше
обобщенными оригиналами. |
|
|||
Так, о. о. {t~B}, |
являющийся при £ > 0 представителем |
|||
степенной функции |
t~~n (п — целое, положительное число) |
|||
в пространстве о. о., обладает следующими свойствами: |
||||
1) |
D { - i ) ------ „ ( - i j j J + |
f c i l s w , , ) , |
||
где D — оператор обобщенного дифференцирования; |
||||
2) |
(—L_\ = |
— /— ) + |
lna&tn_1)(f) |
|
^ |
\(af)B } |
a» |
7 _ 1)n-ia"(k-ï)! |
|
(a — комплексное число, отличное от 0).
§ 1. Функции типа t~nIn* t
Рассмотрим вопрос о включении в пространство о. о. функций с неинтегрируемой степенной особенностью в на чале координат. Метод включения основан на регуляриза ции несобственных интегралов по Адамару [158].
Включение в пространство о. о. функций вида2 2~Blnfif (&=0, 1, 2 , . . . ; п=1, 2,...) осуществляется последователь ным применением правила деления о. о. на t. Согласно это му правилу, имеем
(4.1.1)
в предположении, что интеграл
(4.1.2)
2 Здесь, если не оговорено противное, будем считать, что ft=0, 1,
2,... ; л •— 1, 2,....
понимается, вообще говоря, в некотором регуляризованном смысле. Выясним смысл регуляризации расходящегося ин теграла (2).
Для R eÀ > — 1 справедливо £х-нГ(Я+1)2х. Отсюда, поль зуясь аналитическим продолжением по параметру Я, полу чим
{fx} + Г(Х + 1)г\ (X ф - 1 , - 2 , . . . ). |
(4.1.3) |
О. о. {£х} аналитичен по параметру Я в области аналитич ности функции Г(Я+1)2Х и, как будет показано ниже, в точках Я = — 1, —2 , . . . имеет простые полосы. Дифференци руя, в частности, п раз соотношение (3) по Я, получим
{tx} = {txln nt} + гхУ ( " |
(Я + 1 ) In*2. (4.1.4) |
Отсюда ири Я = 0 имеем
In"* |
2 (* ) Г(“- й)(1)In**. |
(4.1.5) |
Правило деления на t применительно к операционному соотношению (4) (при Х ф — 1, — 2 ,...) приводит к необхо димости регуляризации интеграла
2 |
|
J u}'~x du (при ReX < 0). |
(4.1.6) |
(0) |
|
Поскольку классы первообразных функций для |
функции |
z x~l существенно различаются в зависимости от значений параметра Я, то будем различать случаи Я=/=0 и Я=0.
Рассмотрим случай ХфО. Регуляризованное значение рассматриваемого интеграла ищется в классе функций
— +тп, где т — произвольная константа. Для определения
константы т воспользуемся следующим требованием: спра ведливо следующее правило деления о. о. (Яф — 1,
—2 , ... ) Haï:
± |
= |
(4.1.7) |
Для того чтобы выполнялось это свойство и учитывалось операционное правило деления на t, заключаем, что кон станту т необходимо положить равной 0.