книги / Термодинамика
..pdfское расширение газа, taie как последнее требует подведе ния к газу теплоты, т. е. сопровождается увеличением его энтропии. Напротив, перемещение по горизонтали влево соответствует изотермическому сжатию газа.
Любой круговой процесс идеального газа изображает ся в тепловой диаграмме какой-либо замыкающейся на се бя линией (рис. 5.9). Площадь, заключенная внутри этой линии, дает алгебраическую сумму подведенных количеств теплоты, которая на основании первого начала равна рабо те цикла:
(j^r ds = <£dq= |
— |
Отношение этой площади к площади, определяющей подве денное количество теплоты, дает КПД цикла
Т]=/ц/^пОДВ1
где /ц представлено на рисунке площадью, заштрихованной перекрестно, а ^Подв — площадью, заштрихованной верти кально. Такое наглядное изображение КПД, чрезвычайно облегчающее сравнительный анализ циклов, не может быть получено с помощью р, ц-диаграммы.
Обратимся теперь к расчетным формулам для энтропии идеальных газов и к некоторым подробностям по поводу изображения отдельных процессов в тепловой диаграмме.
В технической термодинамике нет надобности знать аб солютную энтропию газа в том или ином состоянии, а до статочно располагать только разностями энтропии. Поэто му взамен формул (5.19), (5.20), если допустимо теплоем кости считать не зависящими от температуры, используют
s2—Si=cv \n{T2lTi) +R \n(v2/vi); |
(5.19а) |
s2—s,= c p In (7г/ Ti)—R ln(p2/pi) = |
|
= cv ln (pztpi) + cp ln (0 2 /Щ). |
(5.20a) |
Иногда бывает удобно для какого-либо фиксированного состояния газа принять энтропию условно равной нулю.
Если, например, ввести соглашение, что при |
7’= Г 0=273К |
и р==р0=0,1 МПа энтропия идеального газа |
s=So=0, то |
из последних формул можно получить условное значение самой энтропии в любом другом состоянии:
s=cv In (Г/273) +R In (v/vo) ; s= c p ln (Т/273)—R ln(p/p0); s=cv In (plPo)+cp \n(v/v0).
При желании учесть изменяемость теплоемкостей иде ального газа от температуры можно практически удовлет вориться подстановкой в приведенные формулы обычных
средних (по температурам) теплоемкостей. Этот* прием мйа тематически не строг, но достаточно точен в связи с не значительностью температурных изменений величин cv и ср. Если для последних применимы линейные формулы cv= = av+ bT\ Ср—ар + ЬТу то из (5.17) и (5.18) можно полу чить и точные решения:
52—Si=av ln{T2lTi) +b(T2—Ti) + R ln(ü2/üi); 52—S\=Clp In (Т2/ Ti) +6 (Т2—Tl) + R In (P2 /Pi) •
Следует отметить, что здесь теплоемкость должна быть вы ражена как функция абсолютной температуры, вследствие чего постоянные av и ар отнесены к Т= 0 и имеют лишь математический смысл. Если мы пожелаем воспользоваться
PlPo •volv
Рис. 5.10 |
Рис. 5.11 |
формулами для теплоемкостей, в которые входит темпера тура t, то вместо данных av и ар следует подставить
(av—273b) и (cip—273b):
|
av+ b t = a v+ b (T — 273) = {av—2736) +ЬТ. |
|
Из (5.19a) и (5.20a) получаем: |
|
|
при v = const |
|
|
|
S2—Si=C„ln(7,2/7’i); |
(5.21) |
при |
p=const |
|
|
52—Si=Cpln(T2/Ti); |
(5.22) |
при |
7’=const |
(5.23) |
|
S2—SI=R In (v2/vi) = R In (pi/p2) . |
|
Эти формулы могли бы быть получены непосредственно из (5.14), так как при изохорном и изобарном процессах мы имеем соответственно dq=cvdT и dq=cpdTy а при изотер мическом процессе dq=dl=pdv.
6 координатах t, s изоэсора ri йзобара йзображакггся линиями с выпуклостью, обращенной вниз (рис. 5.10). При условии, что теплоемкости постоянны, эти линии являются показательными. Линия изохоры идет круче линии изоба ры. Это видно, например, из того, что подкасательная для любой точки линии равна теплоемкости. Действительно,
dqjds=cdT/ ds=T\ dTjds=Tj c. |
(5.24) |
Так как cv<icPf то подкасательная к изохоре меньше под касательной к изобаре, проходящей через выбранную точку.
Для построения сетки изохор и изобар достаточно нане сти на диаграмму только одну изохору и одну изобару. Остальные получаются простым смещением исходной ли нии вправо и влево. Рассмотрим, например, изобару. При ращение энтропии при изобарном изменении состояния определяется формулой
т
àsp = (s *-*о)р “ : f CpdTJT То
Поскольку теплоемкость ср является функцией только тем пературы, разность 5—so не зависит от давления. Если мы проведем какую-либо одну изобару в координатах 71, s, то все другие изобары должны быть ей эквидистантны, т. е. должны получаться из первой простым смещением в на правлении оси энтропии (рис. 5.11). То же относится к ли нии изохор, ибо приращение энтропии в определенном тем пературном интервале при движении вдоль изохоры не за висит от удельного объема, которым изохора характеризу ется.
Расстояние в горизонтальном направлении между двумя изобарами равно участку изотермического процесса, для которого
AsT= (S—SQ) t ==R In (P o/p)= —R \n (plpo)-
Придавая давлению p значения pu p2 и т. д., можно вычислить и изобразить графически соответствующие пе ремещения.
При этом очевидно, что переход к более высокому дав лению при неизменной температуре происходит в направ лении убывания энтропии и обратно. На рис. 5.11 приведен масштаб, с помощью которого можно определить переме щение для любого заданного отношения давлений р/р0. Разумеется, абсолютное значение перемещения не изменя ется при переходе от сжатия к расширению между теми же давлениями р0 и р.
Таким же образом определяется перемещение нзохорных линий, ибо Д«т может быть выражено также в виде ДST= R In (у/ ÜO). Разница только в том, что здесь при пере ходе к большему объему перемещение должно быть со вершено вправо от начальной изохоры.
Остается теперь условиться, какие изохоры и изобары считать начальными. Например, примем, что начальные изохора и изобара пересекают ось температур в точке Т= =273 К. Иными словами, будем полагать, что при объеме Vo и давлении р0 энтропия обращается в нуль на уровне температуры тающего льда. В таком случае энтропия в лю бой точке начальной изобары определяется из выражения
=cPd77r -
273
если известен закон изменения ср с температурой. Совер шенно аналогичным образом устанавливается вид началь ной изохоры.
Энтропийная диаграмма может применяться для изо бражения в координатах Г, s процесса, имеющего любую конфигурацию в координатах р, v. Если в какой-либо на чальной точке А известны все три пара метра состояния, то, пользуясь изобра жением процесса в координатах T, s, мож но подсчитать температуру в любой дру гой точке из уравнения T=Topv/(p0vo).
Полагая условно, что точка А расположе на на изобаре р0, нанесенной в диаграмме T, s (рис. 5.12), находим следующую точ
|
ку процесса. Сначала устанавливаем |
от |
||||
|
резок я, соответствующий логарифму вы- |
|||||
|
бранного |
отношения |
р/ро, и затем |
от |
||
Рис. 5.12 |
точки |
С |
(лежащей |
на изобаре |
р0 |
на |
|
уровне |
найденной температуры |
Т) |
от |
||
кладываем этот отрезок в надлежащем направлении. Конец отрезка, обозначенный В, соответствует искомой точке. Разумеется, поставленную задачу можно было бы решить аналогичным путем, принимая за исходную начерченную в энтропийной диаграмме изохору.
5.9. Политропные процессы
Исходной точкой при изучении термодинамических про цессов в машинах обычно является индикаторная диаграм ма, т. е. изображение цикла в координатах р, v. Известно,
чаи политропных процессов. Закон изменения показателя как функции направления процесса представлен на рис. 5.14 в форме годографа. Для ориентировки на рисунке
проведена помимо |
изобары и изохоры еще касательная |
к изотерме. Длина |
лучей пропорциональна показателю п |
в соответствующем направлении. Область, ограниченная сплошной линией и вертикалью, соответствует положитель ным значениям п.
Штриховая линия, ограничивающая область отрица тельных значений п, симметрична сплошной линии относи тельно вертикали. Объясняется это тем, что в координатах
р, V |
подкасательная |
для любой точки политропы равна |
|||||||
—vjn |
(для |
адиабаты подкасательная равна —ü/k). Лучи, |
|||||||
tiv=0jn=±~ £fn=0in=o |
симметричные |
относительно |
верти- |
||||||
|
|
■4 'р'* ' |
кали, имеют при одинаковой абсцис |
||||||
|
|
|
се и одинаковые по абсолютному |
||||||
|
|
^oLT=0;n=l |
значению, |
но |
противоположные |
по |
|||
|
|
знаку |
подкасательные. |
Следова |
|||||
|
|
|
тельно, соответствующие |
показате |
|||||
|
|
|
ли политропы |
отличаются |
друг |
от |
|||
|
|
|
друга тоже только по знаку. |
|
|
||||
dv-0 |
d^=0'<in=k |
На рис. 5.15 показано примерное |
|||||||
очертание |
типичных политропных |
||||||||
|
|
s процессов в координатах 7, |
5 (штри- |
||||||
|
рис |
|
ховой линией обозначено сжатие). |
||||||
|
|
|
Полезно обратить внимание |
на |
то, |
||||
|
|
|
что |
узкая |
серповидная |
|
область |
||
между линиями изотермического и адиабатного расшире ния в координатах р, v занимает в координатах 7, 5 целую четверть. Противоположное преобразование испытывает область между изохорой и изобарой.
Уравнение политропы совпадает по форме с уравнени ем адиабаты. Поэтому все математические выводы, осно ванные на применении уравнения pvh= const, могут быть непосредственно перенесены иа политропный процесс, если показатель k заменить числом п. Так, уравнения политропы
в координатах и, 7 и р, 7 подобны уравнениям |
(5.9) и |
(5.10), а именно: |
(5.26) |
7ü7l~1=const; |
|
7/p(n-i)/n=Const. |
(5.27) |
То же самое относится к выражениям для работы: |
|
‘, - , = - ; é r < T , - r , ) = , '’• ; т Г ‘'г ; |
(5 -R' |
< 5 M i
Изменение внутренней энергии при политропном про цессе определяется, как обычно для газов, по формуле
и2—Ui=Cv(T2—Ti),
а количество подведенной теплоты на основании первого начала
(]\—2= 1*2—Ul + /1—2-
Однако это количество теплоты можно определять и иначе, прибегая к представлению о теплоемкости политропного процесса. Как было неоднократно отмечено, теплоем кость зависит от вида процесса. Каждому элементарному процессу, начинающемуся в некоторой фигуративной (т. е. отображающей) точке, соответствует свое значение тепло емкости. Из бесконечного числа значений, какие может принимать теплоемкость, нами были выделены два харак терных соответственно изменению состояния при постоян ном объеме и при постоянном давлении.
Каждому политропному процессу должна отвечать так же некоторая специфическая теплоемкость. Найдем форму лу, связывающую теплоемкость политропы сп с ее показа телем п. Имеем dq=cndT, а также dq=cvdT+pdv. Выра зим pdv через температуру. Так как
npdv + vdp= 0 и pdv + vdp=RdT, то pdv(\—n)=RdT и pdv=RdT/ (1—п).
Следовательно, cndT — cvdT |
— п ■dT и |
|
|
Cn — Cv |
пст)— с |
1—n |
1—n |
lü~ Vf) —г n— k /S Qfn |
|
||
Легко убедиться в том, что при соответствующем выбо ре значений п формула (5.30) приводит к теплоемкостям для рассмотренных ранее частных термодинамических про цессов. Так, при
п= 0 (изобара) cn= cvk=cp\
n = zLoо (изохора) сп=с.у\ = c v\
п = |
1 |
(изотерма) |
cn = cv(l — /г)/(1 — 1 )= |
оо; |
n = |
k |
(адиабата) |
сп = c v {к — k)i(k — 1) = |
0. |
Теплоемкость политропы сп является функцией темпе ратуры в такой же мере, как и cv. Если же принять тепло емкость сп, как и cVy постоянной, то политропному измене нию состояния газов можно приписать некоторый специаль-
7 -3033 |
97 |
иый физический смысл. Так как dl=dq—du=(cn—cv)dT, то
dl/dq—(Cn Су) / сfi. |
(5.31) |
Правая часть равенства определяется исключительно свойствами газа и показателем п. Следовательно, вдоль всякой политропы идеального газа при условии постоянст ва теплоемкостей отношение dl/dq оказывается постоян ным, т. е. во внешнюю работу превращается повсеместно одна и та же доля подводимого количества теплоты.
Указанное обстоятельство иног да считают основным при определе нии политропы. Этим, однако, прак тическая роль политропы в деле изучения действительных термоди намических процессов сильно при нижается, так как игнорирование изменений теплоемкости сп с тем
пературой, вообще говоря, недопу |
|||
стимо. Если |
же принять, |
что |
cv= |
= f(t)t то dl/dq=£ const. Таким |
обра |
||
зом, нерационально связывать воз |
|||
можность |
применения |
уравнений |
|
политропы |
с требованием, |
чтобы |
|
отношение |
dl/dq было постоянным |
||
числом в течение всего процесса. Наоборот, вполне естественно при бегать к представлению о политропиом изменении состоя
ния как о процессе, уравнение которого есть pvn= const, с целью более или менее приближенного описания много образных явлений, протекающих в тепловых машинах. При этом никакой потребности в идеализации газов в отноше нии свойств теплоемкости cv не возникает.
Связь между теплоемкостью политропы и характером процессов, берущих начало в некоторой произвольной точ ке, представлена наглядно на рис. 5.16. Последний по прин ципу построения аналогичен рис. 5.14. Концы лучей, про порциональных положительным значениям сп> соединены сплошной линией. В области, лежащей между изотермой
иадиабатой, где 1<.n<c.k, теплоемкость сп отрицательна.
Всоответствии с этим ее годограф схематически изобра жен пунктиром.
Отрицательные значения теплоемкости cn=dq/dT объ ясняются тем, что знаки dq и dT в указанной области раз личны. Так, при сжатии, проходящем между изотермой и адиабатой, температура возрастает, т. ç. d T > 0, тогда как
fëttÆota (УгёоДится во внешнюю среду, т. е. d q < 0. Иными словами, нагревание происходит не за счет сообщения теп лоты, а вследствие затраты извне механической работы, количество которой настолько значительно, что часть ее даже возвращается обратно в виде теплоты.
Для нахождения показателя политропы по заданной кривой процесса в координатах р, v весьма удобно пользо ваться графическим способом. Сущность его заключается в следующем. Логарифмируя почленно уравнение политро пы, имеем
lgP + rclgt>=const.
Следовательно, в координатах y= \g p и x= \g v политропа изображается в виде прямой линии с угловым коэффициен том, равным п. И наоборот, если ряд фигуративных точек в логарифмической анаморфозе 1координат р и v определя ет собой прямую, то соответствующее уравнение состояния является политропным, так как подчиняется уравнению pvn= const, где п — тангенс угла наклона прямой:
П= (lg Pi—lg Pi) I (lg v2—lg Oi).
Для примера на рис. 5.17 нанесена в логарифмическом масштабе Кривая, соответствующая процессу расширения в некотором газовом двигателе. Как видно, эта кривая весьма не значительно отклоняется от прямой линии.
Вследствие этого процесс расширения может быть отнесен к категории политропных изме нений состояния, причем средний показатель /1=1,32. Полезно обратить внимание на то, что при определении угла наклона в логариф мической анаморфозе не играет роли выбор масштаба для самих величин р н v. Поэтому для построения логарифмической анаморфозы с указанными целями можно исходить из не посредственно измеряемых координат точек в
р, ц-диаграмме.
Ороли погрешности в определении показателя п можно сказать
следующее:
1. Если при нахождении показателя политропы совершается неко торая погрешность, то приблизительно такого же порядка погрешность имеет место при вычислении работы и при воспроизведении кривой процесса в координатах р, v и T, s.1
1 Анаморфозой (прямолинейной) в номографии названо преобразо вание кривой посредством такой функциональной сетки, в которой кривая выпрямляется.
2. Погрешность в опрёделёнии количёства тёплоты при |
обычных |
для практики значениях п и степени расширения (сжатия) |
во много |
раз превышает погрешность определения показателя. |
|
Таким образом, сведение реальных процессов к политропным из менениям состояния отнюдь не является полноценным средством их всестороннего изучения. Удовлетворительно разрешая вопрос о вос произведении элементов индикаторной диаграммы, оно практически не пригодно для установления картины обмена теплотой с окружающей средой. Поэтому анализ индикаторной диаграммы с точки зрения теп лового баланса требует специальных приемов исследования.
Уравнение pvn= const служит для приближенного описания реаль ных процессов. Степень приближения становится тем большей, чем точнее исследуемый процесс преобразуется в прямую линию в коор динатах lgp , lg v. Если весь процесс в целом единой прямой не об разует, его можно разбить на две-три части, подобрав к каждой из них подходящую политропу. При всяком спрямлении линии существует известный произвол, который должен в дальнейшем сказываться на числовых результатах применения различных формул.
Заметим, что сама первичная задаваемая зависимость между р и и устанавливается с помощью измерительных приборов, неизбежно вно сящих известные погрешности. Поэтому значению показателя п, кото рое принимается в результате обработки диаграммы, неизбежно при суща некоторая неопределенность. Возникает вопрос, в какой мере эта неопределенность влияет на достоверность конечных выводов. Здесь мы не будем входить в подробное рассмотрение этого интересного, но слишком специального для этой книги вопроса, который подробно раз бирается в книге В. С. Жуковского *.
Глава шестая
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕРМОДИНАМИКИ
6.1. Характеристические функции и уравнения Максвелла
Пользуясь математическими признаками выражений, представляющих собой полные дифференциалы величин и, i, s как функций тех или иных независимых переменных', можно составить много дифференциальных соотношений', посредством которых взаимно связываются разнообразные физические свойства термодинамических систем. Большое практическое значение этих соотношений заключается в том, что они позволяют сократить количество непосредст-1
1 Жуковский В. С. Техническая термодинамика. М.: Гостехт^0риздат, 1952.
1С0