книги / Термодинамика

Совершенно очевидно, что выбор температурной шкалы сказывается одновременно как на величине dt, так и на величине с„ таким образом, что du остается от этого вы­ бора не зависящим. Поэтому, в частности, в качестве из­ мерителя можно взять газовый термометр, а по нему, как было сказано, определяется абсолютная термодинамиче­ ская температура Т. В таком случае получим формулу

du—cvdT. (4.2)

Чрезвычайно важно усвоить, что применительно к га­ зам в идеальном состоянии формулы (4.1) и (4.2) верны безотносительно к тому, изменяется или не изменяется объем.

Осмыслим полученный результат с позиций молекуляр­ но-кинетической теории. Внутренняя энергия газа имеет прежде всего кинетическую природу: она может склады­ ваться из кинетической энергии поступательного и враща­ тельного движения молекул и колебательного движения атомов в молекулах. Эта кинетическая энергия зависит исключительно от температуры газа. (От температуры зависит также количественное соотношение между указан­ ными тремя возможными компонентами.) Составляющей внутренней энергии является в общем случае и потенци­ альная энергия молекул, обусловленная наличием сил взаимодействия между ними. Для газа взаимодействие мо­ жет сводиться только к сцеплению, чрезвычайно быстро убывающему по мере удаления молекул друг от друга, т. е. при увеличении удельного объема. Утверждение о не­ зависимости внутренней энергии идеального газа от объе­ ма означает, что потенциальная молекулярная энергия ни­ какого вклада во внутреннюю энергию не вносит. Это объ­ ясняется столь большими в среднем расстояниями между молекулами газа, что силы сцепления пренебрежимо ма­ лы. Поскольку потенциальная энергия определяется рабо­ той (с обратным знаком), какую силы взаимодействия должны были бы произвести при перемещении данного объекта в бесконечное удаление, постольку при предельно слабых силах сцепления энергия этого вида (оставаясь от­ рицательной) стремится к нулю.

При обсуждении термического уравнения состояния pv=RT было указано, что оно может быть выведено тео­ ретически в предположении, что силы взаимного притяже­ ния между молекулами отсутствуют. Как видим, эта же физическая предпосылка заложена в утверждение об уни­ версальности формулы (4.2) du=cvdt. Отсюда следует, что

6p=f2(T). Обе эти теплоемкости отличаются друг от Дру­ га на постоянную для данного газа величину [см. (4.3)]

Ср Су —-i?.

Таким образом* Из эксперимента достаточно получать дан­ ные относительно любой из двух удельных теплоемкостей, к другой же переходить расчетным путем. Большей частью прямому определению подвергается теплоемкость ср.

Опытный материал, относящийся к теплоемкостям газов, чрезвы­ чайно обширен. Однако вследствие разнообразия методов измерения и неодинаковой степени точности, достигавшейся различными экспери­ ментаторами, существующие численные данные иногда несколько рас­ ходятся, особенно при высоких давлениях и температурах. Разумеется, следовало бы располагать периодически обновляемыми стандартами, которые были бы обязательными для всех. Применительно к водяному пару подобные стандарты давно действуют, но для газов их, к сожа­ лению, нет.

Как было указано, удельные теплоемкости cv и ср иде­ альных газов могут изменяться только с температурой. Между тем в реальных газах обнаруживается более или менее существенное влияние и давления (объема), что рассматривается далее (см. гл. И). Здесь отметим лишь, что для получения значений теплоемкостей в идеально-га­ зовом состоянии непосредственные опытные данные экс­ траполируются на давление, равное нулю (объем бесконеч­ ность). Для многих технически важных газов уже при атмосферном давлении (если температуры берутся не ниже нормальной) получается практически то же, что и при /?, стремящемся к нулю.

Влияние температуры, объясняемое теоретически с по­ мощью квантовой физики, проявляется в виде сложной функции. Так, Ср для воздуха при увеличении температу­

и 1,1%. Не зависит от температуры, как это следует и из теории, теплоемкость одноатомных газов. Для последних экспериментальные значения теплоемкостей также хорошо согласуются с теоретическими, причем здесь достаточно опереться на элементарную классическую статистику, ко­

а их отношение, обозначенное й, более низкие значения. Температурное влияние на теплоемкость учитывается ли­ бо посредством использования эмпирических формул, лп-

бо с помощью fioctpoeHHbtx riô данным ônijfa таблиц или графиков.

Эмпирические формулы удобны в обращении, если они линейны относительно температуры. В узких пределах тем­ ператур действительно удается подобрать такого рода фор­ мулы. Однако если желательна точность в интервале мно­ гих сотен градусов, то приходится вводить в формулы и квадратичный член соответственно записи

c=a+|tt+Y ^2.

Полученныё экспериментально значения а, р и, если нуж­ но, у можно найти в справочной литературе. Однако отме­ тим, что в последние годы обозначился отказ от широкого пользования расчетными формулами и, напротив, намети­ лось настойчивое внедрение справочных таблиц. Состави­ тели последних имеют возможность закладывать в свои расчеты интерполяционные формулы любой сложности, тогда как потребители избавлены от тягостных вычисли­ тельных операций.

Табличные теплоемкости классифицируются по разным признакам: а) по количеству газа, к которому они отно­ сятся, при этом различают массовые — на 1 кг, мольные— на 1 кмоль и объемные— на 1 м3о; б) по роду термодина­ мического процесса: c=const и p=const; в) по интервалу температур, что будет разъяснено несколько ниже.

цСр—|iCo=8314 Дж/(кмоль-К);

dp— с'о=371 Дж/(м30-К).

По поводу третьего признака классификации теплоем­ костей следует иметь в виду, что в определительной фор­ муле теплоемкости c=ôq/dt фигурируют бесконечно малое количество подведенной теплоты и соответствующее бес­ конечно малое приращение температуры. Вычисляемую таким образом теплоемкость называют истинной. Если же интервал температур берется конечным согласно формуле c= q \-2l ( h —/1), то теплоемкость называют средней. Графи­ чески она интерпретирована на рис. 4.1. Заштрихованная площадь под линией c=f(t) определяет количество тепло­ ты, необходимой для изменения температуры от t\ до t2. Высота прямоугольника, равновеликого этой площади -и

Отметим, что мольные теплоемкости разных газов, даже имеющих одинаковую атомность, не совсем одинаковы, в особенности при высоких температурах, вопреки выводу из элементарной кинетической теории газов. Поэтому уни­ фикация мольных теплоемкостей, применявшаяся до не­ давнего времени в технических расчетах, не может быть рекомендована.

Теплоемкость газовой смеси, которую будем помечать индексом т , вычисляется (независимо от того, берется ли она при a=const или p=const) по теплоемкостям компо­ нентов следующим образом:

C m z = '^Q\Ci\ (|ЛС) 7п== 2г,- (|IC ) i\ С т — 2 ГiC

Глава пятая

ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ПРОЦЕССОВ

5.1. Содержание задачи

Как было сказано, во многих случаях можно без ощу­ тимой погрешности предполагать, что состояние системы в процессе ее изменения остается равновесным, хотя меж­ ду системой и окружающей средой внешнее, термодинами­ ческое равновесие не устанавливается. Допущение хотя бы ограниченной равновесности реальных процессов позволя­ ет применять к ним с большей пользой термодинамический анализ, который и образует обычно основу для всесторон­ него физико-технического исследования рабочих процес­ сов в самых разнообразных случаях.

Термические параметры газа могут изменяться произ­ вольным образом, лишь бы только удовлетворялось урав­ нение состояния pv—RT Из многообразия возможных из­ менений состояния выбираются сначала простейшие част­ ные процессы, а именно при u=const, p=const и 7=const. Простейшими процессами являются также и те, для кото­ рых один из членов уравнения первого начала термодина­ мики обращается в нуль. Отсюда вытекает представление о следующих процессах: между рабочим телом и окружа­ ющей средой исключен обмен теплотой (6^=0); исключа­ ется возможность отдачи или получения энергии в виде работы (б/=0); энергетический обмен с окружающей сре­ дой протекает так, что внутренняя энергия системы не из­ меняется (du=0). Очевидно, определения u=const и ô/=0 равнозначны. В случае идеального газа равнозначны так­ же условия r=const и du=0, так как в этом случае внут­

ческий (d T = 0); 4) адиабатный {ôq=0). Многие реальные

из них является практически важным. Помимо того рас­ сматривается еще политропный процесс, открывающий воз­ можность аналитического описания и таких случаев, кото­ рые несводимы ни к одному из четырех простейших.

5.2. Изохорный процесс

Этот процесс определяется условием dv= 0; o=const. Взаимная связь между давлением и температурой выте­ кает из термического уравнения сотояния (3.7), которое ради установления общего метода рассуждений принима­ ется здесь за исходное, как если бы первичных опытных соотношений не существовало. Имеем

В координатах р, v изохора изображается вертикаль­ ными отрезками, направленными вверх при подводе к га­ зу теплоты извне и вниз при отводе тепло­ ты (рис. 5.1).

Работа при изохоре равна нулю, и со-у гласно первому началу dq=du\ q\-2=u,2—Щ, т. e. подводимая к газу извне теплота идет целиком на приращение внутренней энер­ гии, отводимая же теплота равна убыли внутренней энергии1. Последнюю формулу можно выразить и через теплоемкость:

1 При наличии таблицы внутренней энергии нет необходи-

мости для решения задач прибегать к теплоемкости cv:

влюбой постановке задачи таблица обеспечивает удобное

иточное решение.

1Здесь и далее во всех трех случаях, когда частный характер процесса оговорен, вместо б/ иàq будем писать dl и dq, поскольку при

этом в результате интегрирования вдоль конечного пути работа и теплота процесса оказываются функциями только крайних состояний, т. е. указанные бесконечно малые величины приобретают свойство

полных дифференциалов.

5.3.Изобарный процесс

Вкоординатах р, v процесс изображается (рис. 5.2) горизонтальными отрезками, направленными вправо, если

R= l 1- 2 / (Т2—Т\),

т. е. газовая постоянная численно равна удельной работе газа при постоянном давлении соответственно изменению температуры на один градус.

Изменение внутренней энергии подсчитывается, как было сказано, на основании формулы (4.1):

2 __

иг — и, = f cvdt — cv (t2— /,).

\

Теплота процесса равна

2 __

<7. - * = '* - *. = J cpdt= ср (t2 - 1,).

При наличии таблиц энтальпии здесь, как и в случае изо­ хоры, нет необходимости прибегать к теплоемкости.

5.4.Диаграмма pi, t

Втехнических приложениях термодинамики широко используется представление задач в графической форме. Описываемая ниже диа­ грамма может быть полезной при решении задач.

нято его значение при 0®С). Кроме того, из начала координат проведем прямой луч под углом к оси /, тангенс которого равен \iR. Отрезки между осью / и кривой \ii определяют мольную энтальпию при задан­

ной температуре, а отрезки между лучом и той же кривой — соответствующие значе­ ния мольной внутренней энергии. Способ решения задач об определении теплоты

угла наклона луча, нужного для перехода от энтальпии к внутренней энергии. Благодаря этому можно без излишнего загромождения диа­ граммы строить ее для разных газов. Возможна ещ одна унификация, правда, при пониженных требованиях к точности результата: кривую jii=f(t), построенную для воздуха, можно отнести ко всем двуатом­ ным газам и их смесям.

С помощьюописанной диаграммы можно находить графически тем­ пературу газов после их смешения. Положим, что имеются два газа, состояния которых определяются параметрами Уи Pu tx и У2у р2, t2.

Эти газы подвергаются смешению при сохранении постоянным общего объема. Искомую температуру определим следующим образом. Прежде

объемы, находим, что на 1 кмоль первого газа приходится У2п?1У\ кмоль второго газа. По условию задачи значения внутренней энергии до сме­

Обращаясь к диаграмме, построим по двум-трем произвольным тем­ пературам, лежащим между t\ и /2, отрезок кривой (JLIW)i+( V2„P/l/i) X X(pw)2. Где-то на этой кривой находится точка с координатами: [... ]после и /после. Чтобы обнаружить местоположение этой точки,

Аналогичным образом Можно решить задачу, если давления до смешения считаются одинаковыми и в результате давление сохраняется таким же. При этом совпадают значения энтальпии до смешения И после него.

Таким образом, в координатах р> v изотермы изображают­ ся гиперболами. Более высоко расположенная гипербола

dq=dl или 9 I_2 = / I_2 ,

т. е. вся теплота, сообщаемая газу, превращается в поло­ жительную работу (расширение). Напротив, совершение работы над газом (сжатие) требует отнятия от него такого же количества теплоты. Если охлаждение при уменьшении объема газа не столь интенсивно, чтобы соблюдалось ра­ венство dq=dl, то при сжатии газ станет нагреваться; если отводимая теплота превосходит затрачиваемую рабо­ ту, газ при сжатии будет охлаждаться.

1

l\-2=P\V\ In (v2/vl)= p lvl In (pl/p2)=RT\n (p\/p2).

(5.6)

Нелишне напомнить, что в результате интегрирования по­ лучается натуральный, а не десятичный логарифм. Следу­ ет также заметить, что индекс 1 (младшую цифру) нужно относить к началу процесса, индекс 2 (старшую цифру) —