книги / Термодинамика

вгорячий пар высокого давления; этот пар направляется

втурбину, протекая сквозь которую, совершает полезную работу и при этом теряет давление и охлаждается. Отра­ ботавший пар поступает в конденсатор и вновь превраща­ ется в жидкость, питающую паровой котел, и такой цикл воспроизводится неограниченное число раз. Таким образом,

вданном и аналогичных случаях рабочее тело (так назы­ вают термодинамическую среду, используемую в двигате­

лях) остается лишь н е и з м е н я ю щ и м с я п о с р е д н и ­ ком в деле взаимного превращения форм движения окру­ жающей материи. В частности, по завершении цикла вос­ станавливается первоначальная энергия рабочего тела

àElx — (£dE = 0,

где символ ф отвечает круговому процессу.

Поскольку взамен Le можно ввести L\ т. е. производи­ мую самим двигателем работу, то на основании (1.1) по­ лучаем

ÔQ и SL — элементарные (т. e. соответствующие весьма ма­ лым изменениям состояния системы) количества теплоты и работы.

Как видим, чтобы какой-либо один вид работы за цикл отличался от нуля, необходимо, если исключить внешний теплообмен, отличие от нуля по крайней мере еще одного вида работы (отличающегося также по знаку). Таким об­ разом, машина способна производить полезную работу, если из окружающей среды подводится к телу, совершающему цикл, равное количество другой работы. Компенсация мо­ жет иметь место и за счет подведения извне равного коли­ чества теплоты <Эц. Тогда под теплотой цикла Q4 нужно понимать а л г е б р а и ч е с к у ю с у м м у теплот всех про­ цессов, образующих в последовательности цикл, т. е. ариф­ метическую разность полученной и отданной за цикл тепло­ ты. Машину, совершающую непрерывную работу за счет потребляемой теплоты, называют тепловым двигателем. Таким двигателям уделяется дальше специальное внима­ ние.

Сказанное позволяет истолковать формулу (1.2) как выражение принципа исключенного вечного двигателя (ис­ ключенного perpetuum mobile).

состояния системы и измерены соответствующие значения внешней работы и количества подведенной теплоты. Этим самым становится известным приращение внутренней энер­ гии системы. Сопоставив его с параметрами начального и конечного состояний системы, можно установить вид функ­ циональной зависимости AU от этих параметров. Сущест­ венно, что никаких сведений о строении системы и ее микрофизических особенностях знать при этом не требуется. Между тем, однажды найденная экспериментально зави­ симость AU от данной комбинации параметров остается справедливой при любых способах перехода системы из фиксированного начального в фиксированное конечное со­ стояние.

1.3. Полные и неполные дифференциалы в термодинамике

Для широкого использования выражения (1.1) необхо­ димо представить его в дифференциальном виде. Для этого нужно предварительно обсудить математические и терми­ нологические особенности, которыми внутренняя энергия отличается от работы и теплоты процесса.

Внутреняя энергия есть функция состояния системы, одно из ее физических свойств. Точнее говоря, в термоди­ намике внутренняя энергия является функцией парных состояний, так как фундаментальным определением уста­ навливается лишь приращение энергии, отвечающее произ­ вольному переходу из начального состояния в конечное. Однако, как уже было отмечено, можно условиться опре­ деленное состояние системы принять за реперное, в нем принять внутреннюю энергию за нуль, и тогда для любого интересующего нас состояния получать одно единственное значение энергии. Поскольку в приложениях нам достаточ­ но располагать только приращениями энергии, существо­ вание произвольной постоянной, связанной с выбором ну­ левого состояния, ничему не мешает.

То обстоятельство, что внутренняя энергия есть функ­ ция состояния, в математическом отношении означает, что ее элементарное изменение является полным дифференциа­ лом. Не входя пока в рассмотрение, какие именно пара­ метры состояния должны быть введены в исследование, обозначим их Хи *2 , хПу так что

U =U (Х\, *2, ..., хп).

При этом

dU=:(dU fdxi)dx\+ (dU Idx*)dx2 + + . »• + {dUl dxn)dxn.

В связи с независимостью второй производной от поряд­ ка дифференцирования существует попарное равенство на­ крест взятых производных от коэффициентов при dxь йхг, . . dxn, а именно:

Ит. д.

Вматематическом анализе показывается, что удовлет­ ворение условиям, выражаемым последними формулами, является необходимым и достаточным признаком того, что дифференциал функции U принадлежит к числу полных дифференциалов. Такое обратное утверждение использует­ ся (нам это также понадобится в дальнейшем) для на­

хождения интегрирующего множителя !К(хi, *2, хп) к не являющемуся полным дифференциалом линейному выражению типа (формы Пфаффа)

Х\dxi T*Xzdxz -Ь• • XndXny

где

Xk— Xji {х\у Х2у . . Хп).

Напомним, что интегрирующим множителем называют та­ кую функцию переменных, после умножения на которую линейное дифференциальное выражение превращается в полный дифференциал, если оно таковым саммо по себе не было.

Важное свойство полного дифференциала состоит в том, что значение определенного интеграла от него зависит только от предельных значений координат и не зависит от пути интегрирования. Применительно к внутренней энер­ гии это означает, что

Количество подведенной теплоты (теплота процесса) Q и произведенная работа L по своим математическим свой­ ствам коренным образом отличаются от внутренней энер­ гии. Эти величины являются функциями процесса. Призна­ ком процесса служит возникновение каких-либо изменений в одном теле под воздействием другого или других тел. Нет изменений — нет и функций процесса. Значение же функции процесса зависит от вида процесса, переводящего систему из начального состояния в конечное, вследствие чего дифференциал такой величины не является полным дифференциалом. Чтобы это подчеркнуть, пишут d L, éQ

Или d'L, d'Q, или bL, bQ. Мы будем пользоваться пбСЛёДней формой записи.

Итак, пока вид процесса не конкретизирован, о числен­ ном значении определенного интеграла от bL и bQ судить не приходится и ни в коем случае нельзя считать, что

jôL = L, - L , и | SQ= Q2- Q ,.

Если бы такие выражения были справедливы, то стало бы невозможным получение посредством круговых циклов ра­ боты, эквивалентной затраченной в итоге теплоте, напри­ мер невозможным было бы использование паротурбинных установок. В связи со сказанным выражения

нужно понимать не как равенства, а как обозначения, вво­ димые ради краткости написания, и помнить, что в общем смысле при совпадении пределов интегрирования 1 и 2 Li-i^O; Qi-i^O.

Заканчивая обсуждение вопроса, нужно подчеркнуть, что в общем случае величинам Q и L нельзя приписывать смысла «содержания» или «запаса» чего-то в системе, хотя применительно к внутренней энергии U такое словоупот­ ребление вполне обоснованно. Ни работа, ни теплота про­ цесса не являются формами энергии — они являются видами энергетического обмена, мерами изменения опреде­ ленных форм движения материи. В соответствии со сказан­ ным нельзя 6L и ôQ называть приращениями работы и теп­ лоты процесса, а следует называть элементарными коли­ чествами работы и теплоты.

Указание на неправильность выражения «содержание теплоты в те­ ле» находится в противоречии с обиходной речью. Представление о том,

тался носителем теплоты и которому приписывалась способность пере­

Представим себе, например, что энергетический обмен между окружающей средой и телом сводится исключи­ тельно к передаче теплоты, тогда как никакая работа, включая работу деформации, не производится и ДЕкш^О.

Это практически наблюдается при нагреваний (охлажде-* нии) твердых или жидких тел, поскольку их объем в ни­ чтожной мере зависит от температуры. В таких случаях выражения (1.1) и (1.4) дают соотношение

Ql—2.==U2—U1.

В данном частном случае количество подведенной теп­ лоты является функцией двух крайних состояний тела. Это дает повод для истолкования процесса теплоподвода как процесса увеличения «запаса теплоты» в теле, его «тепло­ содержания». Отсюда вытекает возможность для твердого тела или жидкости в роли «теплосодержания при постоян­ ном объеме» усматривать внутреннюю энергию U. Однако если речь идет о газе — теле, с большой легкостью дефор­ мируемом, то только при искусственном удержании объема от изменения можно таким же образом трактовать внутренннюю энергию U. Поэтому для более определенной интерпретации следовало бы называть внутреннюю энер­ гию «теплосодержанием при постоянном объеме». Как бу­ дет видно, если к газу теплота подводится при постоянном давлении, то свойство «теплосодержания при постоянном давлении» окажется присущим не внутренней энергии, а другой функции состояния. И вообще, каждому частному процессу с наложенными ограничениями на деформацион­ ную «степень свободы» отвечает своя особая функция со­ стояния, которую можно было бы понимать как «теплосо­ держание». Таким образом, говорить о «содержании тепло­ ты» в теле безотносительно к условиям теплообмена, т. е. в общем случае, совершенно бессмысленно. Конечно, если иметь в виду только калориметрию твердых и жидких тел, то применение термина «содержание теплоты» может быть как-то оправдано.

Сказанное по поводу «содержания теплоты» полностью относится и к работе. Так, если в (1.1) положить Qi_^=0 и ограничить систему возможностью обмениваться работой только одного, &-го вида, то Lek=U 2—Ut. В этих специаль­ ных условиях работа есть функция крайних состояний, и внутренняя энергия может быть истолкована как «содер­ жание или запас данной работы» в системе.

Возвращаясь к вопросу о формах записи, условимся, что вообще следует писать ÔL, ÔQ, в частных же случаях вполне обоснованной может оказаться запись dL, dQ. Однако никогда не следует употреблять выражения прира­ щение работы, приращение теплоты процесса; можно гово­ рить только об элементарных количествах соответствую­ щих величин.

6 заключение нужно прёдобтёрёчЬ от смешения Понятий теплоты процесса в термодинамике и тепловой энергии в молекулярной физике. Под последней понимают обычно энергию теплового движения молекул. Только в самых простых и частных случаях количество отдаваемой телом теп­ лоты равно убыли энергии теплового движения молекул. Так, это имеет место для идеального газа, если его объем остается постоянным. Однако в общем случае теплота про­ цесса зависит еще от других составляющих внутренней энергии (при изменении агрегатного состояния, передаче теплоты излучением, в химических реакциях и т. п.), а так­

идеальных газов того, что механическое движение вещест­ венных частиц определяет собой теплоту, которая может быть при известных условиях отдана наружу, явилось в историческом плане огромным событием в деле мате­ риалистического объяснения природы. Отдавая должное М. В. Ломоносову и другим основателям молекулярно-ки­ нетической теории, нужно подчеркнуть, что в наши дни отождествление теплоты процесса с энергией теплового движения (тепловой энергией), каковая является функцией состояния, не только лишено точного смысла, но и приво­ дит к пагубной путанице в физическом анализе.

Глава вторая ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ

2.1. Существо вопроса

Уравнение (1.2) в соответствии со сказанным в преды­ дущем параграфе представим в дифференциальном виде

2 b L ek -\-bQ =dU .

Взамен работ Le введем противоположные по знаку рабо­ ты U\

к

Во всем дальнейшем изложении в качестве работы будет фигурировать только та, которую термодинамическая си­ стема производит против о к р у ж а ю щ е й среды. По-

SîôMy верхний индекс t при символе работы можно опу­ стить:

Уравнение энергии в такой записи называется первым на­ чалом термодинамики. Оно означает, что количество под­ веденной к системе теплоты (теплота процесса) частично возвращается вовне в качестве суммы разного вида работ, производимых системой, и в остальном идет на при­ ращение внутренней энергии системы. Напомним, что си­ стема считается здесь закрытой и не испытывающей из­ менения кинетической энергии.

В дальнейшем, если не будет специальной оговорки, из всех возможных видов работ в рассмотрение вводится одна только механическая работа деформации системы, ко­ роче, деформационная работа, которую будем рассматри­ вать наряду с теплообменом как две единственно возмож­ ные формы энергетического обмена системы с окружающей средой. Поэтому, как правило, первое начало будет запи­ сываться таким образом:

Предполагая, что система однородна и во всех частях характеризуется одинаковыми параметрами, можно счи­ тать все величины, входящие в (2.2), пропорциональными массе системы т. Тогда можно перейти к записи в удель­ ных, т. е. отнесенных к одному килограмму, величинах (их будем обозначать малыми буквами):

Главным предметом дальнейшего анализа являются си­ стемы, образованные из газов, пара и вообще легко дефор­ мируемых сред, при условии, что внутреннее давление на контрольную поверхность, совпадающее при равновесии с внешним, распределено равномерно. Если элемент по­ верхности / переместится по внешней нормали на отрезок d, то элементарная работа, произведенная над окружаю­ щей средой, будет