книги / Волны пляски проводов ВЛ 6-500 кВ. Методика расчета больших амплитуд автоколебаний провода в пролете воздушной ЛЭП. Теория констант единого поля

4.ДИНАМИКА ВОЛН ПЛЯСКИ.

Впредыдущей главе была рассмотрена кинематика дуального процесса пляски: с одной стороны, - как распространяющейся со скоростью с авто­ волны состояний деформаций провода в пролете ВЛ (изгибов, закручива­ ний и сжатий-растяжений), с другой - их кинематических смещений по зам­ кнутой на себя траектории в направлении вектора-градиента их изменения во времени с локальной скоростью v. Мы выяснили главное свойстворас­ пределенной системы, что нельзя отождествлять изменения состояний

физической точки реального пространства напряженной среды провода с кинематическим движением самой этой точки. Необходимость “объедине­ ния” этих движений в едином пространстве представления объясняет пере­ ход к “движущимся” периодически изменяющимся масштабам длины и времени (парадоксам сокращения длины и замедления), которые связаны с эвклидовыми “покоящимися” масштабами преобразованием Лоренца. Об­ ратимся теперь к динамике процесса пляски, то есть, к взаимодействию сил на множестве точек “объединенного” или “парного” движения в простран­ стве представления. Замкнутое на себя множество-компакт этих точек со­ держит в себе целый ряд свойств характерных для волновой и квантовой механики при выполнении условий стационарности “в среднем” (см.(82)): несохраняемости у движущихся изосостояний их разнообразных видов ре­ активной энергии, ковариантности форм их записи и взаимотрансформируемости, сохранения “начальных” “покоящихся” инвариантов движения, появления нового вида энергии - спиновой, характеризующей гироскопи­ ческие свойства движения и др.

4.1. Потенциальная, кинетическая, спиновая, симметричная и антисимметричная, векторная полная энергии движения.

Мерой деформации состояний движения провода-волны (изосостоя­ ний) являются изменения их амплитуд “расстояний” 10 | , (45), зависящих от нуль-векгоров 0*,0 , параметризирующих движение. Ограничимся ли­ нейными их функциями, то есть, градиентами изменения амплитуд состоя­ ний волновой функции (76). При пляске локальные модули деформации состояний - их наименьшие верхние грани абсолютных величин деформа­ ции, - существенно меньше, чем их максимальные амплитуды на полупериодах колебаний. Такие деформации обычно именуют инфинитезималь­ ными, и для них в силу их малости несущественно, по какому из аргументов вести дифференцирование61 - по “покоящейся” или “движущейся” коор­ динате. Это справедливо до тех пор, пока меры этих координат можно считать постоянными и картина распределения малых амплитуд колеба­

ний зависит целиком от наложения когерентных полуволн. Для высокоинтенсивной пляски сам процесс колебаний - суть изменения меры длины и времени колеблющихся полуволн среды при постоянстве скорости взаимо­ действия действующих на нее сил физических полей. По “соглашению” в п. 3.2г здесь мы обязаны пользоваться среднегеометрическими “движущи­

мися” пространственно-временными координатами s, ct, входящими в про­ странственно - временной нуль - вектор 0 или фазу и=р0 функции vj/(0). Для упрощения записи мы далее не будем применять индекс среднегеометричности - шляпку Л над соответствующей координатой или функци­ ей и будем ее писать только тогда, когда ее отсутствие может привести к путанице в обозначениях. То есть, введем операцию замены обозначений

Умножив меры деформации состояний на жесткости, которыми обла­ дает при этом провод на осях их движения в пространстве представления, получим обобщенные силы, деформирующие состояния и представляющие их движение. В каждой точке векторной линии волнового тела пляски имеет место равновесие сил (63.1), (60.2), I NT| =1 Ns| = me2, N^N*+N*= 0.

По обобщенному закону Гука62модуль нуль-силы N можно предста­ вить в виде произведения “жесткости деформации” - силы т с 2 - на величи­ ну деформации dT/d(0/p), выраженную в безразмерных единицах. То есть,

у

- нуль-вектор деформаций равновесного состояния, где f(s,jct) - функция, зависящая только от выбора системы координат, и 50 /ds = -р, 50 /д jet = р - условие параметризации изменения координат s, jet в фиксированной среднегеометрической точке автоколебаний.

В геометрии пространств доказывается, что при определенном выборе системы координат, именно, когда кривая Т(0) является геодезической пространства, и движение реализуется на ней как некоторое точечное ото­ бражение, функция координат f(s,jct), входящая в е, равна нулю. Тогда при IT 1= const также равен нулю и нуль-вектор деформации

Нуль-вектор 8 примечателен тем, что в смысле абсолютного (ковариантного) дифференцирования на геодезической вычисляется в криволиней­ ных координатах (где f(s,jct)=0) после параллельного переноса из точки 0+d0 функции ¥(0+60) в точку 0, где она равна ¥(0), и там производится срав­ нение модулей значений функций 'Р(О) и ¥(0+с10), иначе сравнение теря­ ет смысл в силу наличия не равной нулю функции f(s,jct) до операции па­ раллельного переноса. Равенство е на геодезической нулю означает весьма удобное для интерпретации стационарного движения свойство Л'-функции: при параллельном преобразовании из точки в точку модуль интенсивности I, (77.1), - квадрат, нормы или длины вектор-функции сохраняется. Это оз­ начает, что изменение компонент функции при таком преобразовании, обыч­ но именуемом “параллельным переносом” компенсируется за счет поворо­ та самой системы отсчета. Следовательно, в определенном масштабе сохраняющаяся норма1 может “нести” на себе сохраняющиеся при всех опе­ рациях сдвига, переноса и вращений на геодезической “начальные” и алгеб­ раические инварианты движения. В псевдоэвклидовом пространстве с перио­ дически изменяющимися в целом на геодезической - эллипсе координатами, зависящими от изменения параметра v/c локальные их величины (при v/ c=const) подчиняются преобразованию “параллельного переноса” Лоренца, реализующего несобственное вращение инвариантов49. Повидимому, спра­ ведливо и обратное утверждение, что, поскольку “слияние” полуволн отобра­ жает именно преобразование Лоренца, нуль-вектор 0 является аргументом движения на эллипсе автоколебаний, являющимся геодезической такого дви­ жения, где геометрия траектории содержит в себе динамику движения сохра­ няющихся величинi=const.

Точки геодезической-годографа Л'-функции задаются координатами биортогональной системы координатных линий s, jet являющихся пересече­ нием ортогональных поверхностей по линиям кривизны (знаменитая тео­

длину дуги dT геодезической. Учтя что,

после перемножения находим следующее выражение для плотности Н век-

тор-функции реактивной (взаимообратимой) полной энергии движения изо­ состояний спиральной волны:

-потенциальная энергия, из которой (для сопряженного изосостояния, наоборот, - в которую) трансформируется величина

-кинетическая энергия, трансформирующаяся из (и, соответственно, в) П;

-спиновая энергия или энергия “в пути” - поток энергии состояний де­ формации провода при пляске, локализованный на полуволнах стационар­ ного процесса, и перемещающийся на оси провода волнообразно за счет упругих сил. Энергии П и Т образуют в (96) антисимметричную компонен­ ту энергии Я, (96), - лагранжиан L - своеобразную мгновенную или теку­

С учетом введенных обозначений вектор-функцию полной энергии Я, (96), можно записать так,

Вектор-функция Я, (96), представлена здесь в квадранте s, t>0. Независи­ мость Я от выбора квадранта обязывает нас симметрировать Я относитель­ но операции инверсии s или t (порознь).

Изменив знаку s или t, находим совершенно аналогично выводу соотноше­ ния (96) сопряженное ему значение Я*

перемножив Я и Я* находим симметричнуюотносительно инверсий

Действительноt феноменален процесс пляски: в нем не сохраняются локально ни масштабы длины и времени, ни взаймообратимые реактивные энергии, ни активные энергии накопления и потерь - все в движении. Сохра­ няется лишь “собственная” энергия, заполученная при “рождении” ВЛ - ве­ личина п^с2, - некоего “неделимого” изосостояния - частицы или кванта уп­ ругого взаимодействия физических полей и сил натяжения среды провода в пролете. Линейный интеграл от вектор-функции полной энергии Я,(96), и взятый вдоль какой-либо из сопряженных полуорбит автоколебаний в любой из нормальных плоскостей пролета имеет постоянную величину модуля соб­ ственной энергии Н0= т 0с2 для каждой из полуорбит, что отвечает усло­ вию (20) принципа стационарности “в среднем”на полупериодах:

Волновые энергии П, (97), T, (98), J, (99), L,(100), | я | , (102), иЯ , (101) можно записать также в следующем компактном виде с гиперболическими функциями, которые, впрочем, легко обращаются в тригонометрические

учтя предварительно следующие соотношения:

d'F

dct

Имеем следующую дифференциальную систему уравнений для взаимосвя­ занных функций-плотностей энергий спирального движения:

энергии "неделимого"изосостояния осевинтовой локализованной волны.

Система уравнений (106) - это локальные, точечные параметры полуорбит эллипса автоколебаний или полуволн процесса “слияний”. На сопря­ женной полуорбите действуют уравнения сопряженные с (106). Обе систе­ мы уравнений описывают единый процесс автоколебаний в течение периода. Известна критика Бриллюэна63 специальной теории относительности, ос­ новывающейся, как это теперь можно было бы вполне разумно допустить по аналогии с волнами пляски проводов,- на осевинтовых электромагнит­ ных автоколебаниях вакуума - среды (см. примеч. 80), что в ней инет мес­ та”потенциальной энергии, поскольку последней отводится роль нео­ пределенной “покоящейся” константы. В соотношениях (106) величина т 0с2 выполняет важную роль вполне определенной меры энергии, которую сис­ тема заполучила при своем “рождении”, и затем на орбите своего автоко­ лебания в качестве “нулевой” перемещает как т 0с2/р= т с 2.

4.2. Взаимозависимость изменений полной и спиновой энергий пляски.

Из спирального характера движения изосостояний на геодезической пе­ ремещения растянуто-изогнуто-закрученного провода следуют уравнения движения для скоростей, ускорений, которые были ранее нами приняты аксиоматически. В самом деле, из равенства нулю нуль-вектора деформа­ ций равновесного состояния (95) следует характерное уравнение для скоро­ сти изменения изосостояний

Аналогично, из равенства нулю второй абсолютной (ковариангной) производной

представляющей собоюусловие сохранения нормы движения | Т | , сле­ дует волновоеуравнение движения для *Р, (63.5),

Уравнение (108) обеспечиваетековариантность изменения модуля пол­ ной энергии I#| при “свободном” движении изосостояний на временной оси ct, когда его изменение во времени равно изменению со скоростью с

где использовано уравнение (108). Или

Ща /

Это закон сохранения взаимообратимых реактивных энергий: измене­ ние полной энергии на временной оси ct равно изменению спиновой энер­ гии или потоку энергии в пространстве. Закон реализуется “точечно” в пространстве представления движения на годографе 'Р-функции при усло­ вии стационарности “в среднем”, (82), для рассматриваемых нами высоко­ амплитудных спиральных автоколебаний. Он будет справедлив также для эллипса пляски в реальном пространстве для Z - функции, (42), но уже при малых амплитудах плоской стоячей волны пляски.

4.3. Переход от волновой механики к классической. Квантоме­ ханический подход к описанию спиральных автоколебаний.

В гл.З было определено, что “неделимыми” элементами движения авто­ колебаний провода-волны являются его изосостояния, описываемые волно­ вой функцией 'F, принадлежащей малому бруску ДО ее изменения на геоде­ зической в пространстве-времени изменения параметров движения системы, где изменением *F можно пренебречь и считать ее постоянной. Тем самым в рассмотрение вводится математическая “точка” или дискретный квант со­ бытий - “неделимое” образование из параметров системы, где v/c=const, по­ стоянны структура, метрика и инварианты, начальные условия движения. Теперь, наконец-то, мы можем отождествить состояние “точки” с ее движением, и это движение - изосостояний или тождественных самим себе квантов событий (непрерывных при пляске и в общем случае дискретных) в конфигурационном пространстве-времени представления движения. Ясно, что при тождественности сдвигов, вращений, инверсий стационарного дви­ жения на множестве ковариантных квантов-изосостояний реализацию само­ го движения должен осуществлять определённый математический аппарат. Например, можно попытаться представить движение каким-либо из трех ос­ новных ныне известных классических формализмов описания движения - по Лагранжу, Гамильтону или Гамильтону-Якоби. Осями движения являются ортогональные локальные координаты s и jet (или ct), зависящие, как и поло­ жено в классической механике, от реального времени t как параметра. “Про­ странственной” кривой будет служить годограф изменения состояний про­ вода-волны, описываемый Я'-функцией аргументов s, jet или пространственного вектора “расстояния” 19 1, (45),

Щ= fi4 s2 - c 2tz = /7л]s2+ (jet)2

Вкаждой точке кривой 'F(G) определена вектор-функция Я, (106), пол­

Наличие у Я действительной и мнимой компонент, связанных с движе­ нием состояний деформаций на проводе и автоколебательном цикле, при­ водит к тому, что описание движения с помощью одного лишь лагранжиа­ на оказывается уже невозможным: появляется еще одна компонента, описывающая движение на орбите автоколебаний-спиновая энергия J, (106). Геодезическая траектория - кратчайшая между точками А и В - определя­ ется из условия равенства нулю вариации написанного выше интеграла,

Откуда следуют (см. Примеч.45 или, например, В.И.Арнольд. Матема­ тические методы классической механики. М.Наука. 1979,стр.49) уравнения экстремалей движения т а уравнения Эйлера-Лагранжа:

- обобщенные координаты движения изосостояний при автоколебаниях

- лагранжевая и спиновая функции энергий.

Подставляя в первое и второе уравнения (110) выражения для L и J, (111.1), получим системууравнений Лагранжа

Модуль полной энергии |tf|,(104), в координатах p,q, (111), принимаетвид

Ttl ( » 2>

Это гамильтониан так называемого “осциллятора” - плоского локаль­ ного представления спиральной волны, - не содержащего энергию J, (111.1). 21 Гамильтоновом формализме с помощью гамильтониана | н \ , (112), простым дифференцированием можно получить каноническое уравнение движения Гамильтона для р и q как функций координат и вре­ мени. Гамильтониан | н\, (112), и лагранжиан L, (111.1), связаны друг с другом известным уравнением:

(112.1)

В этом виде гамильтониан по общим правилам классической механики оп­ ределяет уравнение движения в частных производных в форме Гамипьто- на-Якоби.

130