книги / Волны пляски проводов ВЛ 6-500 кВ. Методика расчета больших амплитуд автоколебаний провода в пролете воздушной ЛЭП. Теория констант единого поля

Квантомеханический подход кописанию стационарного движения свя­ зан, во-первых, с заменой традиционной математической формулировки гра­ ничныхусловий для множества изменений волновой функции (относящейся к ее амплитуде и производным, см. п.3.5г и (86.2), (87.2)) на эквивалентное тре­ бование о взаимосвязанном изменении принадлежащих одному и тому же иден­ тифицируемому (параметризируемому) изосостоянию парных параметров процесса “слияния” в пределах некоторой обобщенной функции -числа, кон­ станты, функционала h (постоянной Планка), фиксирующей в “связке” этих параметров изотропность и однородность образованного ими “объединенно­ го” (см. п.2Л2) пространства представления движения в разнообразных его проявлениях: пространство (координата s провода) - время мнимое ( на авто­ колебательном цикле, jt), линейная плотность энергии на проводе (тс2) - пе­

\

риод автоколебаний (2ТД спиновая энергия на проводе — pq - полупериод

автоколебаний (Т0)> момент импульса на эклиптике (mvr, на орбите движения изосостояний) - плотность действия на проводе (Ъ/2я) и т.д. Во-вторых, при квантомеханическом подходе спиральной полуволне поля в целом ставится в соответствие усредненные параметры взаимодействия поля. Это дает воз­ можность отказаться от рассмотрения самого поля и пространства движения и заменить присущий им механизм непрерывного “точечного”взаимодействия на дискретный по физической сути операторный перенос, сдвиг, отобра­ жение самих средних на осях симметрии поля. При этих условиях гамильто­ ниан (106) (или в общем виде (112.1)) достаточен, чтоб описывать движение поля частицы как движение егоусредненных параметров. Из него следует основное уравнение квантовой механики-уравнение Шредингера (см Примечание 80). В этом случае физическая задача о движении сводится к математи­ ческому формализму задач о собственных значениях волновой функции, кото­ рая в общем случае взаимодействующих полей может представлять весьма сложную конструкцию - суперпозицию спиральных и стоячих волн

Найдем теперь усредненные квантомеханические характеристики

спиральной волны пляски. Для этого прежде всего учтем, что уравнения (106) - это дифференциальные характеристики. Чтоб найти соответствую­ щие средние, которые теперь будут считаться наблюдаемыми параметра­ ми (в отличие от дифференциальных - теперь “ненаблюдаемых”), необхо­ димо вычислять изменения функций и соотносить их на оба сопряженных состояния периодического процесса. Если при этом рассматривать какоелибо одно из сопряженных состояний, то интегрирование следует выпол­ нить с множителем 1/2. Во-вторых, при усреднении спирального движения изосостояний в плоскости эклиптики их автоколебаний необходимо разли-

точках поворота эклиптики движения полуспирали переходят друг в друга. Из (112.4а) видно, что тождественному движению соответствует чередова­ ние сопряженных величин с взаимообращением осей £, и £,*

Квантомеханические представления автоколебаний изосостояний волнового тела можно рассматривать не только для чисто механических волн состояний деформации, но волн любой физической природы, где спиральность или в бо­ лее общем смысле —гироскопичность движения - является базовым свой­ ством движения состояний поля в направлении градиента их изменения.

С целью обобщения такого подхода рассмотрим далее кратко чисто гео­ метрические характеристики и свойства спирального движения, что окажется по­ лезным для анализа движения элементарных частиц как полевых образований

(см. Примеч.80). По определению (35.6) можем записать, что на полуспирали

-мнимая фаза поворота изосостояния на спирали, 0/р - гиперболический луч или нуль-вектор параметризации движения, модуль 0, (45), которого определяет метрику пространства-времени. Из определения параметра дви­ жения v/c следует, что средний радиус г0=г 10 1=r 10* | сопряженных полуспиралей движения, их полупериод Т0= | Т0* | связаны соотношением:

Радиус г0 - это средний радиус в общем случае прецессирующего эллип­ са автоколебаний - эклиптики движения изосостояний, то есть, вооб-* ражаемой или мнимой орбиты движения частицы или проекции спира­ ли обращения на плоскость нормальную к фокальной оси £, при том обязательном условии, что на этой орбите сохраняется главный фокаль­ ный параметр орбиты q=a(l-e2) , где е - эксцентриситет, а - большая полуось непрецессирующего эллипса.

Рассматривая прецессию эллипса как следствиекривизны самого про­ странства движения изосостояния на эллипсоиде, где расположена спи­ раль движения “частицы-слияния”, мы можем выразить г0 как радиус кри­ визны пространства при повороте вектор-функции малой полуоси эллипса

Ь= 1

то есть радиуса сопутствующей соприкасающейся окружности, завися-

щего от единичного орта J^L -~T1 вектор-функции эксцентриситета s при

q=const на оси градиента изменения е в пространстве представления пре­ цессирующего движения эллипса. Именно:

вится равным a=q, то есть, равен радиусу круговой орбиты. В общем случае г0 есть среднегеометрический радиус полуорбиты эллипса, описываемого параметрическим уравнением:

г = ___ I ___ = ____ 1____.

Или в том виде, как это бьшо представлено в соотношении (112.4в),

Выражение (112.4в) для радиуса г0 удобно для параметризации движения на спирали обращения изосостояний вокруг фокальной оси

£с помощью гиперболического луча с масштабом длины сТ0/ти. Луч проводится в каждую точку орбиты движения из вершины параметризирующей гиперболы, размещенной на расстоянии 2 единиц (на оси

£в масштабе сТ0/л) от сопряженной гиперболы симметричной с параметризирующей и имеющую с ней мнимую полуось равную 1. Две сопряженные проекции полуспирали образуют эклиптику движения изосостояний прямой и отраженной полуволн, и с помощью гипер­ болического луча из вершины сопряженной гиперболы, имеющего*

*Это соотношение входит в формулу Герберта-Эйнштейна для смещения перигелия эллипса автоколебаний Меркурия, Венеры идр. планет при учете кривизны пространства движения. См. Примечание 80.

угол наклона |а/2|=|р0/2р| в качестве аргумента движения, в плоско­ сти эклиптики описываются радиус-вектором

Расстояние R от центра натяжения спиралей (вершина сопряженной

гиперболы) до эклиптики, перемещающейся на фокусной оси %к, равно

R

Отсюда следует, что

где R = 2

я

это радиус кривизны и кручения гиперболической спирали движения, что для изосостояния - (уть кривизна пространства движения (см., например, М.Л. Краснов и др. Векторный анализ.М.,1978. Пример № 40), что и опре­ деляет прямое смещение перигелия - ближайшей к оси %точки эклиптики, - или прецессию большой оси эллипса автоколебаний. При движении изо­ состояния с предельной (“световой", равной с) скоростью имеем:

Отсюда

Это весьма важное соотношение, определяющее длину полуспиралей волнового тела при “световой” скорости автоколебаний изосостояний соб­ ственного поля элементарных частиц.

Уравнение (112.2) усреднения энергии на полуволне автоколебаний те­ перь можно записать в следующем виде:

д / = — ГЛс/дг = — [2— c2 ^ $Л<ЗГ =

* 0 n \ p /c

(учтем параметризацию (112.4в) и продолжим равенство так:)

где правая часть ho0согласно (112.2); rs= TJ2 - эффективный радиус сохра­ няющегося секторногомомента кеплерового обращения. Потребуем, чтоб при стационарном спиновом движении сохранялись: вектор-квант действия

h, (112.3), то есть, его модуль h ,(112.4), и ориентация Sp, (112.4а).

Отсюда следует, что при этом должны сохраняться: собственная энер­ гия т 0с2, импульс коду, момент импульса k0m0vrs изосостояний. Выраже­ ние для AJ после деления на частоту автоколебаний i>0 запишется так

сохраняющийся собственный момент импульса или момент количества движения, или кинематический секторный момент изосостояния (обо­ значаемый далее в Примечании 80 как спиновый момент изосостояния) в плоскости эклиптики относительно оси проходящей через один из со­ пряженных ее движущихся фокусов (фокус полуорбиты “обратного” дви­ жения), (сопряженный момент М*, соответственно, действует на оси £,*, проходящей через второй, сопряженный с первым, фокус полуорбиты движения “туда” процесса слияния). Учтя, что записанный выше опреде­ ленный интеграл в скобках равен единице, имеем следующее выражение для секторного момента импульса изосостояния - частицы - полуволны

Это характерное для квантовой механики соотношение, где обычно под спином подразумевается свойство, в следствие которого частица обладает механическим и магнитным моментами и соответствующим образом иден­ тифицируется во взаимодействиях (М.Борн). Теперь очевидно, что это след­ ствие спиральности движения стационарных образований поля при мни­ мой когерентной корреляции прямой и отраженных полуволн. С точки зрения кинематики момент импульса М - это момент импульса сохраняю136

биты: момент M*=k(pi0v*r* и момент М=k0 m0vrs, которые имеют проти­ воположно направленные и равные по модулю скорости. Сумма модулей спиновых моментов равна модулю орбитального момента

где г0 = |rs*| + |rs|) средний радиус обращения изосостояний на эклиптике.

В Примечании №80 будет показано, что радиус г0 удобно считать мерой длины при взаимодействии собственного поля изосостояния - частицы и внешнего поля на полуорбитах эклиптики, это комптоновская длина волны Ъ!

ш0с, деленная на 2л, иначе -радиус взаимодействия полей (комптоновс-

кий).

Однако вернемся к анализу волн пляски. Из определения (112.4)

модуля кванта действия следует, что квадрат скорости взаимодействия ра­ вен

Подставляя это выражение в волновое уравнение (108), мы неявно вво­ дим граничные условия локализации волнового процесса: во времени - периодом 2Т0=1/и0 в пространстве - на длине волны 2сТ0 и радиусе эклип­ тики автоколебаний равном г0, (112.4в),

Выполнив подстановку с2, (112.5), в уравнение (108), находим что все множество или стационарный пространственно-временной “пакет” взаимо­ действующих друг с другом лишь по начальным условиям колебаний и в со­ вокупности образующих устойчивую “частицу” - волновое тело автоколеба­ ний провода, удовлетворяет следующему квантовому волновомууравнению

д2¥ т0 дгГ

(112.6)

dsz hup dt2

В каждой такой точке “пакет” быстро “расплывается”, чтоб через мгновение пришедшая в эту же точку по проводу новая “пара” объединенных параметров смоглаобразовать новыйтрансформированный “пакет”.Учтя, что согласно (63.4) ^-функцию можно представить в виде произведения пространственной функ­ ции ¥ s=4'x¥ rvF(|>=vI/s(s) и временной 'PT=4'(t) как vF=vFsvFT, и, кроме того, что

и ¥ - по определению гармонические, находим,

Здесь П0 - согласно (89) и 1^=1 или 2.

Подставляя (112.7) в (112.6), получим другую запись квантового волно вого уравнения (112.6),

э 2г , г я к Х а & ь = 0 .

равна с/о0 =2сТ0=2/в - удвоенной длине (/0) статического пролета, или 2сТр=2/р -комптоновской длине волны (удвоенному деформированному, “движущемуся” пролету (/), зависящего от изменившегося в (3 раз “движу­ щегося” полупериода Т). В каждый момент времени длины пролета: стати­ ческая /0 (и близкая к ней квазистатическая Г0 при отклонении провода боковым ветровым напором), квазидинамическая (“покоящаяся”) и дина­ мическая несколько отличаются друг от друга на величины растяжения-сжа­ тия провода, однако в силу малости абсолютной величины этого различия по сравнению с 10(см. условия пологости пролета ВЛ, безизгибности и безкрутильности провода) в практических расчетах можно считать, что

Решениями этого уравнения является целый спектр функций T ^co s k 07 is p //0, у которых р изменяется от 1 в начале отсчета (пучность волны,

где v=0) до некоторого минимального значения P=Pmin при максимальной скорости v=vmiix, а дуга s принадлежит тем точкам провода-волны, где ее фаза удовлетворяет условию изотропности автоколебаний в рассматривае­ мой секущей пролет нормальной плоскости sp=ctp==cT| (s=s(x,r,np)).

Временная компонента автоколебаний следует из уравнения (112.7) и равна ^ ^ c o s k0Q0tp. Волновая функция пляски Ч*0равна произведению про­ странственной и временной ее компонент, ¥ 0 =у¥^¥х= cosk0Ksp/l0-cosk0o)0tp, где в силу условия пологости согласно (89)

Распределение амплитуд функций Т 0 на большой оси Н0Н0 (рис.22б) эл­ липса пляски совместно с изменениями амплитуд вынужденных коле­ баний провода на малой оси h0h0 (о величине ее полуоси - максимальной амплитуды вынужденных колебаний см.(73.1)) определяют все состояния движения провода в течение периода. Переходя из пространства представ­ ления движений в реальное пространство-время, где время tp равно ц, вол­ новую функцию пляски можно записать так

Здесь

^= cosk0* s £ -

*0 - это целое множество величин амплитуд-констант в брусках изменений

аргумента sP волновой функции на эллипсе пляски, нормированной на 1. Таким образом, задача ореактивном процессе автоколебаний изосостоя­ ний движения провода, описываемая векторно-спиральной волной (112.11), сводится к задаче о нахождении множества ее амплитуд, принад­ лежащих эклиптике движения изосостояний. Практически важно знать вер­ хнюю границу этого множества - максимальную амплитуду [*F0] или меру на множестве Т/0го. Решение этой задачи может дать анализ необратимого гистерезисного процесса “воздухоплавания” провода, где энергетический баланс активных работ определяет величину рР0] как константу движе­ ния на геодезической, изменения которой при “параллельном переносе” при k07tsp/l0=const компенсируется поворотом самой системы отсчета на траек­ тории автоколебаний, имеющей кривизну геодезической в пространстве представления движений. Максимальную амплитуду РР0] формально мож­ но рассматривать как одну из амплитуд плоских стоячих волн поляризации спиральной волны пляски, которые как бы касаются оси провода в каждой его точке в пролете. Уравнение такой локально-мгновенной волны можно

записать, заменив в (112.11) vF0m на pF0] на замкнутом эллипсе расчетно­ го ремсима пляски,

Несмотря на внешнее сходство уравнения (113) с уравнением (44) для вол­ ны туго натянутой струны, оба уравнения описывают различные физические процессы, их сходство носит локальный характер, поскольку спиральная волна пляски есть объединение стоячих плоских волн. Перейдем далее к кон­ кретной инженерной проблеме нахождения амплитуды пляски [ ¥ 0].

5. РАСЧЕТ МАКСИМАЛЬНОЙ АМПЛИТУДЫ ПЛЯСКИ.

5.1. Набор интегральных параметров пляски.

Рассмотренный в предыдущих главах безгистерезисный линейно-уп­ ругий реактивный (взаимообратимый) процесс стационарных высокоам­ плитудных автоколебаний провода-волны в пролете ВЛ был бы совершенно невозможен, если б на его полупериодах не выполнялось условие балан­ са активных работ (21). Единичная в пространстве представления дви­ жений амплитуда пляски [T J в пределах упругости смещений провода в реальном пролете может быть какой угодно. Конкретное ее числовое зна­ чение определяется балансом (21), который для периода (-Т0/к0, Т0/к0 ) колебаний запишется так:

-Го/*о При этом подразумевается, что входящие в это уравнение аэродинами­

ческие характеристики, относятся крабочим ихучасткам и связаны с “аэродинамическимми ямами” условиями “запуска” пляски (7), (8) с угловой амплитудой у<у0, (70), и текущими их координатами Y+, Y (рис.8), где для расчетного режима ее поляризации выполняется критерий (12) при числах Rj, когда силы торможения “воздухоплавания” профиля гололеда меньше сил возбуждения. При чем, все эти условия относятся к расчетному одному из пролетов ВЛ в реальной схеме расстановки опор анкерного участка и одной (расчетной) гармонике этого пролета, которая “совместима” по гра­ ничным условиям колебаний (см. (86.2), (87.2)) с кратными другими гармо­ никами в смежных пролетах, образующими на анкерном участке ВЛ много­ пролетный периодический процесс с нарастающей из пролета в пролет амплитудой автоколебаний.

Учтя, что скорость v изменения состояний на орбите пляски по опреде­