книги / Механика сплошных сред Теорет. основы обраб. давлением композитных металлов

Так как функция состояния ц* в (1.S.3S) линейно-вязкой среды постоян­

на, из (2.1.13) имеем значение потенциала п„ = -р* н 2.

2

Перепишем функционал Ж .Лагранжа (2.1.7) для рассматриваемого случая

n s

Тогда для заданных граничных условий (1.5.110), (1.5.111) с учетом симметрии течения относительно оси Е\ получим

г

где суммирование от 1 до N осуществляется в каждом одночлене по всем индексам i,j и к, повторяющимся в том или ином виде.

Варьируемые параметры атнаходим из условия (П2.74)

д а т

Подстановка (2.1.15) в (2.1.16) приводит к замкнутому множеству уравнений относительно варьируемых параметров ая

Легко показать, что во всех уравнениях т-е сомножители коэффициен­ та «1 пропорциональны т-м свободным членам, находящимся в правых частях уравнений (2.1.17). Это фактически означает, что все варьируе­ мые параметры, кроме <ц, равны нулю. Поэтому множество (2.1.17) сводится к одному уравнению относительно параметра a = ai:

3 6р*<

Отсюда получаем значение параметра а, точно совпадающее с решени­ ем (1.5.119), полученным путем интегрирования замкнутого множества дифференциальных уравнений. Это объясняется тем, что в множество

1S2

КВ-полей скоростей (2.1.10) входит, как частный вариант, P-поле. Если бы в рдде (2.1.10) параметр к изменялся в пределах 2 й к й И , то с помо­ щью вариационного принципа Ж .Лагранжа было бы получено наи­ лучшее по минимому функционала (2.1.7) приближение к P-полю. В этом случае

где

а определители Дж получаются из (2.1.20) путем замены m-го столбца столбцом, составленным из соответствующих т-х свободных членов

- В (2.1.17).

2ц I 2т+1

Таким образом, на частном примере показано, что с помощью вариационного принципа Ж Лагранжа можно выполнять ранение крае­ вой задачи, а сам принцип является эквивалентом решения такой зада­ чи путем интегрирования замкнутого множества дифференциальных уравнений с заданными граничными условиями.

Полагая, что все коэффициенты ак, кроме a = ai, в (2.1.8) равны ну­ лю, педепишем функционал (2.1.15):

Теперь, если в (2.1.21) подставил, точное значение (1.5.119) параметра а, получим значение нижней грани функционала:

Для представления зависимости (2.1.21) графически удобно ввести сле­

д о

к

В общем случае для сплошных композитных сред М = U М а

а=1

функционал (2.1.7) должен быть записан в областях Па движения каж­ дой компоненты с соответствующими границами Sa. При этом на ос­ новании (1.4.34)...(1.4.41) необходимо учишватъ скачок АЬ^ вектора b

на границе Sop компонент Л#в и Л/р. Тогда для объема П = и п а без

а

учета массовых и инерционных сил получим

к

J„ = I / п badn+ h ^ d S - Ja" *brfS.

а=1

Рис. 51. Зависимость функщюнял* ЖЛягрвн жаотварыфуемогопараметра

J„ = т? J H dQ + Jx”p • AVaprf>S~ J o ” •\ d S .

Особенности граничных условий, оговоренные в начале этого пунк­ та, приводят к тому, что при использовании принципа Ж .Лагранжа допускаются вариации параметров напряженного состояния на участ­ ках Sv; Sjy] где соответственно V=0; Vх=0; VP = 0* Однако, вследст­ вие равшства нулю произведений 8a"*V; 8т"-Vх; 8p"-VP на этих участ-

184

ках в функционале Ж .Лагранжа слагаемые, связанные с интегрирова­ нием на таких участках поверхности тела М , не рассматриваются.

Упражнение 2.1.1. Используя вариационный принцип Ж.Лагранжа

г<х

где р ^ о с - 1, показать, что функционал (2.1.24), записанный для течения многослойной линейно-вязкой среды в прямолинейной полосе (рис. 50), принимает минимальное значение на P-поле, для которого все па­ раметры а<*= 0, кроме параметра aa =aai, вычисляемого по формуле (1.5.115) Э

2.1.2. Принцип А.Касгилиано

В основе этого вариационного принципа лежит метод виртуаль­ ных статических параметров. Пусть, как и в предыдущем пункте, век­ тором Ь представлено либо поле перемещений п, либо поле скоростей V, а тензором Т» - либо тензор деформаций Тс, либо тензор скоростей деформаций соответственно.

Сначала предположим, что на части Sb поверхности S тела М с объемом Q заданы кинематические граничные условия типа (1.2.171), а на частях Sa, S^ и S заданы нулевые статические граничные условия (о" = 0, р" = 0, т"=0 соответственно). На последних трех частях поверх­ ности S кинем этические граничные условия в общем случае могут быть отличными от нуля. По сути типы оговоренных механических гранич­ ных условий определяют класс задач, решаемых рассматриваемым ни­ же вариационным методом, область применения которого будет рас­ ширена в конце этого пункта.

Запишем вариацию энергии поверхностных сил, построенную на

вариации статических параметров Jb-8a"4S. Предполагается, что ва- s

риация поверхностного напряжения Sa" связана с вариацией тензора напряжений 8Т„ внутри области £2 посредством формулы О.Коши (1.3.13). Тогда, используя (П.1.103), преобразуем поверхностный инте­ грал в объемный

и с учетом связи вектора b с тензором Т .по формуле (2.1.2) получим

185

Так же, как и ранее, массовые и инерционные силы будем считать пренебрежимо малыми. При произвольном тензоре напряжений в (2.1.27) уравнение равновесия (1.4.18) в общем случае приводит к неко­ торой невязке, т.е. не будет удовлетворяться. Интеграл по объему П от скалярного произведения вариации этой невязки на тензор Та обозна­ чим через 5Jk. Тогда из (2.1.27) получим

С помощью потенциала По, вариация которого

учитывая, что в поверхностном интеграле заданные кинематические параметры не связаны с вариацией поверхностных напряжений и знак вариации можно вынести за пределы этого интеграла, из (2.1.28) имеем

Отсюда с точностью до несущественной, неварьируемой функции

Полученный функционал называется функционалом А.Кастилиано, а вариационный принцип, связанный с поиском напряженного состоя­ ния, обеспечивающего максимальное значение функционала (2.1.31),

вариационным принципом А.Кастилиано.

В соответствии с принципом А.Касгилиано среди множества СВполей напряжений P-поле сообщает функционалу А.Кастилиано мак­ симальное значение. Применение этого вариационного принципа про­ демонстрируем на примере задачи о движении изотропной, однород­ ной линейно-вязкой среды в прямолинейной полосе с граничными ус­ ловиями, представленными на рис. 52.

Воспользуемся методом В.Ритца (п. П. 2.3) и представим СВ-поля напряжений с помощью функции напряжений Дж.Эри (1.4.22).

Упражнение 2.1.2. Используя формулы (1.5.45), показать, что функция напряжений Дж.Эри для линейных (линейно-упругих и линей­ но-вязких) сред должна быть бигармонической (П1.77) 3

186

Рис. 52. К решению задачи о движении в лрамолтейной полосе однородной лвнейновазкойсреды

1

Функцию Дж.Эри представим в виде ограниченного полиноми­ ального ряда, удовлетворяющегобигармоническому уравнению (П2.62)

По формуле (1.4.22) найдем компоненты тензора напряжений

(Т11 = 2 (й 2 + U3E1)',

СТ22 = 2(fll + 3<24£l);

СТ|2=-2йзЕ2. (2.1.33)

Далее по формуле (1.3.24) определим квадрат интенсивности каса­ тельных напряжений

а по формуле (2.1.29), учитывая, что для линейно вязкой среды p*=const

Т

и Н = — , найдем потенциал

й

1S7

По статической формуле О.Ковш (1.3.13), учитывая, что на левой

границе области П = - —J компоненты единичной внешней нормали

полного напряжения а" на нормаль: р п=<Уц.

Теперь с учетом заданных кинемэтических граничных условий (рис. 52) запишем функционал А.Касгилиано (2.1.31), который после

При этом дифференцирование (2.1.87) по аь а2 и а4 приводит к соотно шениям

Подстановкой (2.1.39) н (2.1.40) в (2.1.33) получаем компоненты тензора напряжений и среднее напряжение а0

ст11 - ст22 “ а 0 = 2а{+ АрЕг»

Если (2.1.39) и (2.1.40) подставить в (2.1.37), то получим значение верхней грани функционала Jk:

supJk

6\i £

1W

Сравнение (2.1.41) с ранее полученным путем интегрирования замкнутого множества уравнений решением (1.5.116) показывает, что боковые компоненты тензора напряжений одинаковы, а остальные па­ раметры напряженного состояния совпадают структурно. Окончатель­ ный вид этих параметров зависит от значения неизвестного коэффици­ ента в]. По существу а\ определяет уровень прикладываемых к движу­

щейся среде нормальных давлений р я на ее левой = - - j и правой

| Ех= - 1 границах. Причем на кинематические параметры существен­

ное влияние оказывает лишь разность Ар этих уровней, а не их индиви­ дуальные значения. Если, как и ранее на левой границеp n= -pi, а Ар = Pi -Р 2»то значения в (2.1.41) приведут к точному решению (1.5.116).

189

Особенности граничных условий, оговоренные в начале этого пунк­ та, приводят к тому, что при использовании вариационного принципа А.Кастилиано допускается вариация кинематических параметров на таких участках S„; S#; границы S, где соответственно ст"= 0, р"=0, Xя = 0, но вследствие равенства нулю произведений ст"-8Ь, р"-8Ь', х"-8Ьх на этих участках в функционале А.Кастилиано такая вариация не рас­ сматривается.

2.1.3. Принцип минимума мощности внутренних сил

Рассмотрим мощность внутренних сил, представленную в виде, по­ лученном в (1.4.42)

о

Покажем, что экстремали этого функционала удовлетворяют уравнению равновесия (1.4.18).

В декартовых координатах, где </П= dEidEidEi, формула (2.1.44) в скалярной форме записи имеет вид

дЕк

несколько функций, для определения экстремалей функционала (2.1.45) необходимо использовать множество обобщенных дифференциальных уравнений Л .Эйлера-Ж .Лагранжа (П.2.55). При этом первое семейство

„ dF „

уравнении ------= о приводит к тривиальному решению, соответствую- d°ik

щему поступательному движению — —=0. Второе семейство уравне-

дЕк

ний точно совпадает с уравнением равновесия (1.4.18). Таким образом, напряжения, удовлетворяющие уравнению равновесия, являются экс­ тремалями функционала (2.1.45) и, следовательно, сообщают послед­ нему стационарное значение. Приведенное доказательство справедливо не только для декартовых, но и для любых других координат.

Пусть тензор напряжений связан с тензором скоростей деформа­ ций соотношением (1.5.3). Учитывая (1.4.30), это соотношение можно

190