книги / Механика сплошных сред Теорет. основы обраб. давлением композитных металлов
.pdfровании многослойного тела с учетом индивидуальных свойств слоев и граничных условий.
ш ь — ш а |
Ы V Z A tZJ |
У7/7777Л |
Ш 1 П |
а |
S |
7?7, ' S S / 'А |
77? |
'4А!ZJу. 'А1
в
Рис. 24. Сечения плакированных(о, £)и армированныхтел(а,г)
1.2.1Э. Кинематика сплошных сред с включениями
Вобласти Q рассмотрим движение сплошной композитной среды
М, представляющей собой объединение среды-окружения М а и не
скольких сред-включений Мр. Пусть в этой области построено множе ство функций Lk, определяющих по формуле (1.2.95) поле скоростей среды-окружения. В областях Q pcQ , занятых средами-включениями,
множество лагранжевых координат Щ построим на множестве ла-
гранжевых координат Lk среды-окружения как на основном решении
L l= L k +<J>l(Lt ). |
О-2-216) |
Здесь корректировки Ф J и их необходимые производные на границах
Sap должны удовлетворять однородным граничным условиям для со хранения сплошности всей композитной среды. При этом изолинии
L \ = const и h \ - const, образующие границы Sp, |
должны входить в |
семейство изолиний Lk= const. |
|
Из закона сохранения (1.2.10) среды-включения |
|
л Р |
(1.2.217) |
-i* - =0 |
|
А |
|
|
si |
по формуле (1.2.9S), представленной в виде (1.2.92), определим вектор скорости в области Ор:
(1.2.218)
где компоненты D f вспомогательного вектора Dp получаются так же, как и ранее (1.2.93), из якобиана
К |
S L l dL* dL\ |
dEj “ mpq |
(1.2.219) |
dEi дЕ-} |
путем замены дифференцирования лагранжевых координат L \ по эй
леровой координате Е, дифференцированием по времени t. Упражнение 1.2.22. Показать, что якобиан (1.2.219) связан с яко
бианом JE (1.2.20) соотношением
^ = 1 Е(1 + Ф1р+Ф,р1+Ф(>П). |
(1.2.220) |
в котором
|
ф I _ |
|
|
|
|
|
р " |
dLk |
|
|
|
|
|
|
|
||
ф " = i |
ф п |
|
|
|
|
Р 2 V |
dLm |
dLj ^ |
|
||
ф ш |
ЗФр ЗФ? ЭФр |
(1.2.221) |
|||
Р |
дЬ х |
дЬ 2 |
дЬ ъ ’ |
||
|
Упражнение 1.2.23. Показать, что вспомогательный вектор Dp век тора скорости VP (1.2.218) в области движения среды-включения имеет вид:
D p =D(l + <I>p +Фр +ФрП), |
(1.2.222) |
где D - вспомогательный вектор поля скоростей (1.2.93), построенного на основном решении о
Подстановка (1.2.220) и (1.2.222) в (1.2.218) приводит к равенству полей скоростей среды-окружения и сред-включений
п
У *=у. |
(1.2.223) |
Однако, как будет показано в п. 1.3, вид поля скоростей (1.2.95) в этом случае зависит от свойств и геометрических параметров всех ком понент гетерогенного тела и в общем случае отличается от поля скоро стей, описывающего движение гомогенного тела при прочих равных условиях.
Таким образом, мы пришли к выводу, что любая корректировка лагранжевых координат Lk, построенная на них как На основном реше нии (1.2.216), в области движения композитной среды не приводит к необходимосги построения новых полей скоростей в областях движе ния каждой составляющей такой среды. Физически это объясняется тем, что корректировка в (1.2.216) предполагает отсутствие разрывов кинематических параметров на поверхности S ^ , разделяющей а- и р- среды. Однако в реальных условиях в общем случае такие разрывы до пустимы. В этом случае скорректированные лагранжевы координаты в областях Ор следует представлять в виде:
L l= L k + <t>l{Lj,Ej), |
(1.2.224) |
заменяя, при необходимости, в корректировке эйлеровы координаты на соответствующие основные лагранжевы координаты. Ясно, что при полной замене первых на последние из (1.2.224) получим (1.2.216).
Теперь проследим за кинематическим взаимодействием двух компо нент М а и Л/р сплошного композитного тела М =М аUЛ/р на их общей границе 5 ^ . Для этого назначим лагранжевы координаты так, чтобы граница Sa$ совпала с одной из изоповерхностей L ,= const. Тогда на основании (1.2.20) и (1.2.95) для обеих компонент тела М находим
= |
= -— 1. |
(1.2.225) |
dt
Отсюда ясно, что нормальные к S<$ составляющие векторов скорости V х и V9 обеих компонент на участке L ,= const одинаковы и имеют вид
3L,
dt |
(1.2.226) |
К / — |
дЦ |
dL( |
дЕк дЕк
Таким образом, в рассматриваемом варианте движения КМ на общей поверхности контактирующие компоненты КМ никогда не про никают друг в друга и никогда не отрываются одна от другой.
83
Учитывая, что отношение градиента лагранжевой координаты L, к модулю этого градиента равно единичной нормали п, к поверхности Soft, с помощью (1.2.167) определим тангенциальные к этой поверхно сти составляющие обоих векторов
|
V f' = п* хУа хп(.;У^ = 11*xVp xn*, |
(1.2.227) |
где п, |
® общем случае эти составляющие отличаются друг от |
друга, что соответствует относительному проскальзыванию компонент КМ. Если же в какой-либо точке поверхности S«р наблюдается равен
ство Va = Vp , то это означает, что в этой точке произошло сцепле
ние компонент. При этом необходимо отметить, что сцепление являет ся необходимым, но не достаточным условием надежного соединения компонент КМ.
Контрольные вопросы
1.В чем единство и принципиальное различие лагранжевых и эйлеровых координат движущихся материальных частиц? Как отражается это отличие на записи параметров движения сплошной среды в обоих множествах координат?
2.Поясните физическую разницу между двумя равенствами нулю частной
иполной производных по времени характеристик движения в эйлеровых коор динатах.
3.В чем сходство и различие компонент тензоров конечных и малых де формаций?
4.В чем физический смысл диагональных и боковых компонент тензоров конечных деформаций Л Эйлера, Ж.Лагранжа и тензора малых деформаций?
5.Поясните физический смысл якобианов преобразования координат Ла гранжа и Эйлера, укажите пределы изменения значений этих якобианов.
6.На какие простейшие составляющие можно условно разложить всякое механическое движение и какими величинами характеризуются эти состав ляющие по теории малых деформаций?
7.Запишите алгоритм вычисления компонент вектора скорости по задан ному закону движения в эйлеровых координатах.
8.Какими параметрами характеризуются скорость поступательного движе ния и составляющие искажения во времени окрестности материальной частицы?
9.Чем в общем случае отличаются траектория материальной частицы и линия тока; когда оба эти понятия совпадают?
10.Как записывается условие неразрывности среды в эйлеровом и лагранжевом множествах координат?
11.Какие виды механического движения описываются вектором скорости
исоставляющими вектора скорости дисторции?
12.Какие типы граничных условий можно записать с помощью кинемати ческих примеров?
13.Каковы условия совместного движения компонент сплошной компо
зитной среды?
84
14.Какие разрывные поля скоростей называются кинематически возмож
ными?
15.Чем отличается кинематическое воздействие контактирующих слоев
многослойного тела в зонах их проскальзывания и сцепления?
16. В каких случаях кинематика КМ описывается единым для всего КМ и индивидуальными для каждой компоненты КМ полями скоростей?
1.3. СТАТИКА
“...занимается силами, их сравнениями и равновесием, как причинами движения...”
Л. Эйлер
1.3.1. Механическое силовое воздействие
Статика - раздел МСС, изучающий причины, вызывающие дви жение материальных объектов, без изучения самого движения.
В трехмерном декартовом множестве координат х, рассмотрим движение некоторого объема £2 сплошной среды М с поверхностью S, характеризуемой в пространстве х, единичной внешней нормалью п (рис. 25). Движение, рассматриваемое как механическое перемещение всего тела М и как взаимное перемещение материальных частиц т внутри тела (т е М ), есть результат некоторого внешнего воздействия на это тело и внутреннего взаимодействия его материальных частиц между собой. Мерой механического воздействия и взаимодействия яв ляется непрерывное силовое поле, определяемое как соот ветствие между вектором си лы Р и радиусом-вектором х каждой материальной час
тицы тела М: Р =P(x,f). Силы, образующие сило
вое поле, будем различать по двум типам классификации. К первому отнесем внешние и внутренние силы, а к второму - объемные и поверхностные силы. Внешние силы являют ся результатом воздействия на рассматриваемое тело М окружающей это тело среды.
Внутренние силы возникают Рис.25. Силовоевоздействиенасплошноетело
85
в самом теле М как реакция на внешнее воздействие. Объемные силы распределены по всему объему Q тела М , а поверхностные - только по его поверхности S. Объемные силы иногда называют массовыми сила ми. Объемные силы могут быть внешними и внутренними, а поверхно стные - только внешними.
К внешним объемным силам, например, относятся сипы инерции, силы гравитации, силы электромагнитной природы и др. Инерционная массовая сила, действующая на элемент объема dQ. с массой dm, дви жущегося с ускорением а равна d¥=adm . Инерционная сила, прихо дящаяся на единицу объема, с учетом (2.1.134), (2.1.142) имеет вид:
dР |
d \ |
(1.3.1) |
|
da |
dt |
||
|
Остальные массовые силы, приходящиеся на единицу массы, будем рассматривать как предел отношения части массовых сил </Р, дейст вующих на элемент объема dCl, к величине массы dm этого объема. В частности, к таким силам относятся силы гравитации и пондеромоторные силы, действующие на электрические заряды и токи, протекающие в рассматриваемой сплошной среде. В условиях земного притяжения гравитационная сила, приходящаяся на единицу массы, равна ускоре нию силы тяжести
1 </Р
(1.3.2)
рda
ис достаточной для рассматриваемых здесь задач точностью считается постоянным вектором. В некоторых случаях, например, при рассмот рении условий равновесия отливаемого в магнитный кристаллизатор металла, могут быть значимыми электромагнигаые массовые силы, от несенные к единице объема
FM= peEH+jxBM, |
(1*3.3) |
где ре - плотность заряда; Е* - вектор электрической напряженности; j - вектор плотности тока; Вм - вектор магнитной индукции.
Внешние силы, приложенные к поверхности 5 тела М с объемом £2 сплошной среды, называются поверхностными силами. Ясно, что под S в данном случае понимаются все участки значимого внешнего по верхностного силового воздействия.
Предельное отношение поверхностной силы ДРП, действующей на элемент поверхности AS с внешней по отношению к М единичной нор малью п, к величине этой поверхности при стягивании последней в точку называется полным поверхностным напряжением (рис. 26)
86
а и _ |
др" |
(1.3.4) |
lim -=— |
||
|
AS->0 A S |
|
Здесь и далее верхние индексы подчеркивают зависимость рас сматриваемой физической ве личины от ориентации элемен та поверхности, где действует эта величина. В частности, ин декс л в (1.3.4) указывает, что ДР" и о" действуют на элемент поверхности AS с нормалью ■ (1.2.169).
1.3.2. Формула О .Коши
Поместим начало координат базиса е, внутри тела М с объемом П сколь угодно близко к поверхности S (но не на самой поверхности). Коор динатные плоскости (рис. 27) отсекут от общего объема тетраэдр с объе мом AQ, ограниченным поверхностью AS и координатными площадками
AS, =ASn,, |
(1.3.5) |
где п, - направляющие косинусы (проекции на координатные оси х,) нормали а (1.2.169) поверхности AS. Выделенный элемент объема нахо дится во взаимодействии (с остальной частью сплошной среды Л/), ко-
Рис. 27. Выделениеэлементарноготетраэдраизсплошного тела
Г7
торое характеризуется внутренними для тела М силами АР' или связан ными с ними полными внутренними напряжениями на площадке AS»
определяемыми аналогично напряжениям (1.3.4)
а i |
► |
(1.3.6) |
|
|
Здесь индекс » указывает, что индексированные напряжения и силы действуют на f-тых координатных площадках с площадью поверхности AS» нормаль в' которых параллельна оси х,.
Обозначим все действующие на тело М объемные внешние силы ти па (1.3.1)...(1.3.3), приходящиеся на единицу объема П, через F. Тогда из условия равновесия тетраэдра (рис. 27) АР"=ДР1+ДР2+AP3+FAfl с уче
том (1.3.4)...(1.3.6) получим <т" |
+F lim — . В связи с тем, что при |
|
&s-»o &s |
ДА1-» 0 величина AQ-»0 на порядок быстрее, последнее слагаемое прирав ниваем нулю, а связь между полным поверхностным напряжением (1.3.4) и полными внутренними напряжениями (1.3.6) записываем в виде:
a " = a V |
|
|
|
(1*3.7) |
|
Спроектируем полное поверхностное напряжение (1.3.4) |
|
|
|||
|
|
|
|
(1.3.8) |
|
|
и внутренние напряже |
||||
|
ния (1.3.6) |
|
|
|
|
|
|
d=<***k |
(1*3.9) |
||
|
на координатные оси хк |
||||
|
(рис. 28). В (1-3.9) пер |
||||
|
вый индекс величин стЛ |
||||
|
совпадает |
с индексом |
|||
|
площадки AS» где дей |
||||
|
ствует |
напряжение |
&, |
||
|
второй - |
совпадает |
с |
||
|
индексом оси хк, на ко |
||||
|
торую проектируется это |
||||
|
напряжение. |
Подста |
|||
|
новкой формул (1.3.8) и |
||||
|
(1.3.9) |
в (1.3.7) получаем |
|||
|
уравнение связи компо |
||||
Рис. 28. Няпряжеашя, действующие на поверхностях |
нент полного поверхно |
||||
тстраэдря |
стного |
напряжения |
с |
компонентами внутренних напряжений, называемое статической фор мулой О.Коиш в скалярной форме записи:
а*к = и,аЛ. (1.3.10)
Покажем, что компоненты о* образуют тензор второго ранга, т.е. при повороте множества координат с помощью матрицы косинусов (П 1.17) эти компоненты изменяются по закону (П1.26) при ранге и = 2.
Точно так же, как была получена формула (1.3.Г0) в базисе ек, для нового базиса е'-, повернутого относительно старого базиса е* с по
мощью матрицы косинусов ((а,*)) (П1.17), получим
|
4 |
° т - ° m j n j * |
(1.3.11) |
Учипавая, что ст" и п, являются компонентами векторов, принимая во внимание (П1.24), перепишем формулу (1.3.10): о.тка1п = а^и^ст,к.
Теперь умножим обе |
части |
этого |
равенства на |
л т а р,а „ = |
|
= v.jiv.pkn'j<3ik. При этом в |
левой |
части |
вследствие |
(П1.20) имеем |
|
5тра т = ар ’ Поэтому |
а р =a jia pkn'jcslk. |
Сравнивая последнее вы |
|||
ражение с (1.3.11), устанавливаем |
|
|
|
||
|
a Jpx a jia pk0 ik> |
|
(1.3.12) |
что соответствует закону (П1.26) преобразования компонент тензора второго ранга Te = [[о,*]], который называется тензором напряжений.
Окончательно формулу О.Коши (1.3.10) можно представить в тен
зорной форме записи |
|
о" = п-Т„. |
(1.3.13) |
В математической постановке задач ОМД наряду с полным по верхностным напряжением о* используются проекции р" и т" этого напряжения на направление нормали а к площадке AS и на саму пло щадку соответственно (рис. 28). Первая проекция р" называется нор мальным поверхностным напряж ением. Модуль этой проекции, как известно из векторной алгебры, находится путем скалярного умноже
ния о" на п: |
|
p ^ - c f ’n. |
(1.3.14) |
Сам вектор р" получается умножением (1.3.14) на в. Тогда с учетом формулы О.Коши (1.3.13) получим
«9
3
(1.3.15)
где использована символика р-скалярного умножения (П1.33) тензора 3
напряжений Тв на тензор третьего ранга Т п (1.2.172).
Вторая проекция тл называется касательным поверхностным на пряж ением. Такое напряжение можно найти векторным вычитанием (1.3.15) из (1.3.13)
тл= о л-р ,и. |
(1.3.16) |
На основании (1.2.174) получается другая, эквивалентная (1.3.16), формула для определения тл без промежуточного вычисления нор мального напряжения:
т',= п х а лх||. |
(1.3.17) |
Спомощью (1.3.13) и (1.3.15) формулу (1.3.16) можно представить
ввиде, в котором тл полностью определяется тензором напряжения Т„
иединичной внешней нормалью п. К аналогичному виду с помощью формулы О.Коши (1.3.13) приводится формула (1.3.17). Однако эта ви
ды записи касательного напряжения тл здесь не приводятся, так как в следующем пункте будет показано, что для расчета поверхностного ка сательного напряжения тл достаточно использовать не весь тензор на пряжения Т„, а лишь его девиаторную часть.
1.3.3. Тензор напряжений
Напряженное состояние в окрестности материальной частицы т деформируемого тела М характеризуется тензором напряжений Тп. В зависимости от размерности N пространства N, где расположено тело
М , различают объемное (N =3), плоское (N=2) и линейное (N - 1) на пряженные состояния.
Из рис. 28 следует, что боковые компоненты о* 0*&) тензора Т„ являются касательными напряж ениями на координатных площадках
AS„ а его диагональные компоненты ( i- k ) - нормальными напряжения ми, действующими на этих площадках.
Тензор напряжений поворотом множества координат можно при вести к диагональному виду
То, |
|
О |
|
Тс = О |
ст2 |
О |
(1.3.18) |
О |
0 |
о 3 |
|
90