книги / Механика сплошных сред Теорет. основы обраб. давлением композитных металлов

Тогда функционал (2.1.44) примет вид (П.2.54).

Теперь с помощью (1.4.30) представим мощность внутренних сил

в котором дня безусловного выполнения уравнения равновесия (1.4.18) воспользуемся тождеством (П.1.89) и представим тензор напряжений с помощью тензора функций напряжений Э.Белырами (1.4.19)

Упражнение 2.1.3. Показать, что экстремали функционала (2.1.48) определяются уравнением Л .Эйлера-Ж Лагранжа вида (1.5.45), а ста­ ционарному значению этого функционала при условии

соответствует минимум 3 Принимая во внимание граничные условия, изложенное можно

представить в виде принципа минимума мощности внутренних сил: мощность внутренних сил при действительном медленном (без учета инерционных и массовых сил) движении в некотором объеме сплошной среды меньше мощности, затрачиваемой при произвольном движении этой среды при условии (2.1.9) или (2.1.49) с тем же распределением ки­ нематических и статических параметров на поверхности, ограничи­ вающей этот объем. Этот принцип позволяет заменить постановки за­ дач МСС с уравнениями (1.2.151) или (1.4.18), изложенные в п.1.5.2, общей эквивалентной вариационной постановкой: в области движения сплошной среды из всех возможных НДС, характеризуемых вектором скорости V или тензором функций напряжений Тф, удовлетворяющих граничным условиям, найти такое состояние, которое сообщает мини­ мум мощности внутренних сил.

В заключение этого пункта отметим, что с помощью соотношений теории малых деформаций аналогичным образом формулируется прин­

Упражнение 2.1.4. Показать, что экстремали функционала (2.1.50) определяются уравнением Л .Эйлера- Ж .Л агранжа, совпадающим с урав­ нением равновесия (1.4.18), а стационарному значению этого функцио­ нала при условии

191

соответствует минимум работы внутренних сил.

Упражнение 2.1.5. Показать, что экстремали функционала

Q

определяются уравнением Л.Эйлера-Ж .Лагранжа, совпадающим с уравнением совместности малых деформаций (1.2.88), а стационарному значению этого функционала при условии

соответствует минимум работы внутренних сил 3

2.1.4. Изопериметрическая постановка вариационных задач

Учитывая аналогию принципов минимума мощности внутренних сил и минимума работы внутренних сил, в дальнейшем все рассуждения будем связывать с первым принципом.

Если расширить класс векторных полей скоростей или тензорных полей функций напряжения Т«, отказываясь от выполнения всех гра­ ничных условий, то на экстремали функционала (2.1.44) или (2.1.48) не­ обходимо накладывать некоторые ограничения, эквивалентные задан­ ным граничным условиям. Например, для KB-полей скоростей У или для СВ-полей функций напряжения Тф интегральным эквивалентом граничных условий является баланс мощности (1.4.43) или (1.4.44)

где Ext* - мощность внешних сил. Ограничения в виде функционалов

Ik типа (2.1.54) при выборе экстремалей мощности внутренних сил

можно использовать для записи вспомогательного функционала J*, при­ меняя метод неопределенных множителей ХкЖ .Лагранжа (П2.67)

где Int* выступает как целевой функционал, а функционалы I* следует

рассматривать как ограничения, накладываемые на экстремали целево­ го функционала. При этом появляется возможность сформулировать изоперимегрическую постановку задач МСС (п. П2.3): в области дви­ жения сплошной среды среди множества KB-полей скоростей или мно-

192

жества СВ-полей функций напряжений найти такие V или Тф, которые сообщают функционалу (2.1.55) стационарное значение.

При численной реализации изопериметрической постановки ва­ риационных задач на ЭВМ могут возникнуть трудности с определени­ ем стратегии поиска экстремума вспомогательного функционала (2.1.55), так как характер экстремума (максимум или минимум) послед­ него не всегда совпадает с типом экстремума целевого функционала Int*. В таком случае удобно применять один из проекционных методов, например В.Рища (п. П2.4), и использовать один или несколько коэф­ фициентов разложения экстремалей целевого функционала по коорди­ натным функциям для безусловного выполнения ограничений, накла­ дываемых на экстремали целевого функционала. Тогда численная реа­ лизация на ЭВМ решаемой задачи сведется к поиску экстремума целе­ вого функционала с учетом всех ограничений.

Для иллюстрации применения изопериметрической постановки обратимся еще раз к решению тестовой задачи о движении линейно­ вязкой несжимаемой изотропной однородной среды в прямолинейной полосе под действием перепада давления Ар = pi - рг (рис. 50) и найдем ее решение, используя изопериметрическую постановку.

Воспользуемся методом В.Ритца (п. П.2.4) и представим множество KB-полей скоростей в виде (2.1.10). С помощью (1.2.150), (1.2.161), (2.1.10) и соотношения Т = ц '//д л я линейно-вязких сред ц* = const запишем

Далее для левой и правой границ области движения среды (рис. 50) за­ пишем мощность внешних сил

о

Теперь можно составить вспомогательный функционал (2.1.55)

или

Варьируемые параметры amнаходим из условия (П.2.74)

193

(2.1.60)

до„

Подстановкой (2.1.59) в (2.1.60) получаем замкнутую относительно варьируемых параметров атмножество уравнений

т X Apjh2

(2.1.61)

2 m + 2 j-l А.+1 4ц*<(2./+1)

Во всех уравнениях этой системы сомножители коэффициента а\ пропорциональны свободным членам, находящимся в правых частях уравнений (2.1.61). Поэтому все варьируемые параметры, кроме а\, равны нулю и множество (2.1.61) сводится к одному уравнению отно­ сительно параметра а - а\.

A p h2X

(2.1.62)

4ц*<(Л.+1)

Неопределенный множитель X Ж .Лагранжа в (2.1.62) должен обес­ печивать безусловное выполнение баланса мощности (2.1.S4)

3 Л2 3

Подставляя (2.1.62) в (2.1.63), находим множитель

с помощью которого окончательно определяем значение варьируемого параметра а, точно совпадающего с решением (1.5.119), полученного интегрированием множества дифференциальных уравнений. Это связа­ но с тем, что во множество KB-полей скоростей (2.1.10) входит, как ча­ стный вариант, P-поле, а изопериметрическая постановка в таких слу­ чаях обеспечивает получение точного решения.

Упражнение 2.1.6. Выполнить изоперимегрическую постановку предыдущей задачи с граничными условиями, показанными на рис. 52, и целевым функционалом (2.1.47), используя в качестве ограничения, накладываемого на целевой функционал, баланс мощности (2.1.54). Показать, что при поносе экстремалей среди множества функций на­ пряжений, включающих точное решение, например в виде (2.1.32), по­ лучается точное решение (2.1.41) Э

194

Контрольные вопросы

1 <Б чем суть вариационного принципа Ж.Лагранжа?

2.Какой математической постановке задач МСС эквивалентен вариаци­ онный принцип Ж.Лагранжа?

3.Для каких механических граничных условий допустимо применение ва­ риационного принципа Ж.Л агранжа?

4.В каком частном варианте вариационный принцип ЖЛагранжа назы­ вается вариационным принципом Журдена?

5.В каких случаях решение задач МСС с помощью минимизации функ­ ционала Ж.Лагранжа и с помощью баланса мощностей дает одинаковые ре­ зультаты?

6.На чем основано построение функционала А.Кастилиано?

7.Каковы требования к механическим граничным условиям при исполь­ зовании вариационного принципа А.Кастилиано?

8.Какой математической постановке задач МСС эквивалентен вариаци­ онный принцип А.Кастилиано?

9.Для каких параметров напряженного и деформированного состояний мощность и работа внутренних сил принимает стационарное значение?

10.При каких условиях стационарному значению мощности (работы) внутренних сил соответствует минимум?

11.В чем состоит суть изопернметрической постановки вариационных за­ дач МСС?

12.В чем преимущество изопернметрической постановки вариационных задач МСС по сравнению с постановками, использующими вариационные принципы ЖЛагранжа нли А.Кастилиано?

13.Для решения каких задач выгоднее использовать вариационные прин­ ципы ЖЛагранжа илн А.Касгилиано вместо изопернметрической постановки?

14.В чем трудность численной реализации на ЭВМ изопернметрической постановки варнационых задач и каким образом можно ее преодолеть?

15.Каковы особенности применения вариационных принципов МСС при решении задач о движении гетерогенных сплошных сред?

2.2. ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНЫХ ЖЕСТКО­ ПЛАСТИЧНЫХ СРЕД

2.2.1.Метод тонких сечении

Вобласти возмущенного движения сплошной среды выделим эле­ мент, ограниченный двумя эквидистантными поверхностями /|(£д) и

находящимися на расстоянии <//друг от друга (рис. 54). Обе по­ верхности образованы множеством материальных частиц, характери­ зуемых в исходном положении радиус-вектором L и L + dL соответст­ венно. Основным допущением метода тонких сечений является сохра­ нение эквидитангности поверхностей f\ и /г при перемещении элемента в любой момент времени. При этом предполагается, что пространст­

195

венные координаты Е{ всех материальных частиц одной из поверхно­ стей, например / 1, изменяются пропорционально трем соответствую­ щим параметрам Х{

(2.2.1)

п

Рис. 54. Схемак пояснению методатонких сечений

В частности, плоские сечения, образованные плоскостями L k= const, остаются плоскими в процессе их перемещения, сферические - сфериче­ скими и т.п.

Такое допущение приводит к отсутствию сдвиговых деформаций, сдвиговых скоростей деформаций и касательных напряжений на тан­ генциальных к этим поверхностям плоскостях. Иными словами, внеш­ ние напряжения, действующие на поверхностях fj рассматриваемого элемента, являются главными напряжениями. В тех случаях, когда по­ верхность fj имеет одинаковую кривизну во всех ее точках, эти главные напряжения имеют равномерное на этой поверхности распределение.

Если в реальном процессе ОМД конфигурация произвольной лагранжевой поверхности при ее перемещении не претерпевает значи­ тельных искажений (кривизна в каждой точке поверхности изменяется незначительно), то моделирование такого процесса методом тонких се­ чений дает удовлетворительные результаты и является весьма эффек­ тивным методом решения задач ОМД.

Метод тонких сечений, когда такие сечения имеют постоянную кривизну ограничивающих их поверхностей позволяет существенно упростить решение дифференциального уравнения равновесия (1.4.18).

196

Совместим направление одной из координатных эйлеровых осей Ек, например, Ез, с направлением главного напряжения аз, действую­ щего на поверхности f\ элемента шириной йЕз-d i. В этом случае на­ пряжение аз будет являться функцией только одного аргумента Ез и в дифференциальном уравнении равновесия (1.4.18) частную производ-

д а 3 „ „ da3

ную — — можно заменить полной производной — — в соответствии с

дЕ3 dE3

(П.1.90). При равномерном распределении напряжения аз на поверхно­ сти ft в методе тонких сечений рассматривается равновесие всего эле­ мента шириной <1Ез под действием напряжения аз на поверхности /ь напряжения аз+<1аз на поверхностиf i и контактных напряжений р" и т" на поверхности S, ограничивающей этот элемент.

В качестве примера применения метода тонких сечений приведем запись условия равновесия элемента шириной <й?з, ограниченного пло­ скими сечениями и наклонными поверхностями при плоском движении сплошной среды (рис. 55). Пусть на поверхности высотой 2Е\ действует напряжение аз, а на поверхности высотой 2(E\+dEi) - напряжение аз + da3, вызванные действием внешних поверхностных напряжений р”

и х" на контактных поверхностях длиной -5EL , Силовое равновесие

Отсюда, опуская бесконечно малые (второго порядка малости) величи­ ны, получим уравнение равновесия

"" Е,

ря -<*3 +—

tga

В этом уравнении равновесия содержится три неизвестные величины аз, р" и Xя. Для замыкания множества уравнений необходимо восполь­

197

63+d6j

Рис. 55. Равновесиетонкого плоскогоэлементав сходящемсяканале

зоваться дополнительными соотношениями, характеризующими свойства деформируемой среды и условия взаимодействия ее с окружаю­ щими тепами на контактной поверхности.

Для сред, находящихся в условиях пластической деформации, должно выполняться условие пластичности (1.5.74), которое при плос­ ком деформированном состоянии имеет вид (1.5.79). В методе тонких сечений действием касательных напряжений слз пренебрегают и усло­ вие пластичности используют в виде (1.5.80), полагая, что p "« aii= cn ; cm = сп. Тогда условие (1.5.80) в приближенном виде

позволяет преобразовать уравнение (2.2.4)

Если деформируемая среда является идеальной жестко-ппасгич- ной, когда тт = const, то уравнение равновесия (2.2.4) принимает вид

2тт +т" tga

198

2.2.2. Метод линий скольжения

Рассмотрим задачу ТП о движении несжимаемого изотропного пла­ стичного тела в условиях плоской деформации. Математическая поста­ новка такой задачи является частным вариантом общей математиче­ ской постановки задач МСС, включающей уравнения основного замк­ нутого множества (табл. 4) и механические краевые условия (табл. 6).

Вектор скорости при плоской деформации в координатах EiE$ имеет две компоненты, в общем случае отличные от нуля

которые должны удовлетворять условию несжимаемости (1.2.98) и гра­ ничным кинематическим условиям.

Компоненты тензора скоростей деформаций

определяются формулами С.Стокса (1.2.137). Из пропорциональности девиаторов напряжений и скоростей деформаций для изотропных сред (1.5.31) следует, что при плоской деформации тензор напряжений

199

где

Упражнение 2.2.2. Показать, что дня изотропных несжимаемых сред при их движении в условиях плоской деформации справедливо следующее соотношение

Компоненты тензора напряжений (2.2.10) должны удовлетворять уравнению равновесия (1.4.48), имеющему в данном случае вид

Кроме того, эти напряжения должны удовлетворять условию пластич­ ности (1.5.79) и статическим условиям на границе области движения среды, представленным статической формулой О.Коши (1.3.13).

Таким образом, получается замкнутое множество пяти уравнений (1.5.79), (1.2.98), (2.2.12), (2.2.13) с пятью неизвестными величинами <3ц,

СТ13=<Т31. Стзз, УI, Уз.

Множество из трех уравнений ( 1.5.79), (2.2.13), содержащее три не-

200