книги / Механика сплошных сред Теорет. основы обраб. давлением композитных металлов
.pdf
|
Jo£-UdS+ |
JT„ •AUap4S’+ JpF-UdQ = |
|
|
|
J 2 T T |
|
|
(1.4.47) |
|
= Гр———-U4CJ+ [Т„ -(V®U)4!n. |
|
||
|
a dt2 |
Q] |
|
|
где скачок вектора перемещения на межкомпонентной границе |
|
|||
|
диар = и ;-и 5 . |
|
(1.4.48) |
|
Если разрывы вектора перемещения внутри телаМ отсутствуют, |
||||
то баланс работы (1.4.47) принимает вид: |
|
|
||
\o na |
|
J 2 т т |
|
(1.4.49) |
VdS+JpFUrfQ= Jp-—— U</fi+JTC(V®U)</Q. |
||||
sa |
n |
a dt |
Q |
|
При описании движения гомогенной среды баланс работы имеет такой же вид.
По аналогии с (1.4.30), используя симметрию тензора напряжений и кинематическую формулу О.Коши (1.2.70), можно показать, что
T„-(V®U)sTe Te. |
(1.4.50) |
Поэтому баланс работы (1.4.49) обычно записывают с использованием (1.4.50)
|
|
J 2 T T |
|
(1.4.51) |
Je„ •U<iS’+JpFU</C2 = Jp——^-U</Q+jTa -Te</£2. |
||||
sa |
a |
a dt |
Q |
|
При решении многих задач ОМД, как отмечалось ранее, массовые и инерционные сипы можно считать пренебрежимо малыми. В этом случае баланс мощности (1.4.42) применяется в упрощенном виде
Ja" |
VdS+ j a na - y a?dS = jD (,- D l d£l + 3 jo 0^ d n , |
(1.4.52) |
|
Sa |
а |
о |
|
вкотором использованы (1.4.30) и (1.4.31). При этом nq»oe слагаемое
вправой части уравнения представляет собой мощность, диссипируемую вследствие изменения формы композитного тела, а второе - вслед ствие изменения объема (1.2.151), (1.3.21), (1.3.22). Из (1.4.52) особо вы делим тот частный случай, когда выполняется условие несжимаемости (1.2.98) и вследствие (1.2.146), (1.2.148) имеем
£о= 0, |
(1.4.53) |
Ш
а также на границе S тепа М в поверхностном интеграле (1.4.S2) рас сматривается только мощность, развиваемая касательными поверхно стными напряжениями. В этом случае из (1.4.S2) получаем
/х в .У тЛ?+ |
/ < V |
apdS = / D a D 6<«2. |
(1.4.54) |
S |
S„ |
а |
|
Такой случай для несжимаемых сред возможен, если на участках гра ницы S с ненулевыми поверхностными напряжениями нормальная к этим участкам составляющая вектора скорости равна нулю. Важность этого частного случая состоит в том, что он довольно часто встречает ся при решении задач ОМД, и баланс мощности с учетом (1.3.27) или (1.3.28) полностью определяется девиаторами напряжений D , и скоро стей деформаций D$, касательными напряжениями и вектором скоро сти. Аналогичные частные виды баланса работы можно получить из (1.4.47).
1.4.5. Уравнение теплопроводности
До сих пор мы рассматривали параметры, характеризующие меха ническое взаимодействие сплошных сред. Показано, что такие пара метры должны обеспечивать выполнение баланса мощности всех дей ствующих сил, являющегося, по существу, законом сохранения механи ческой энергии. Если, кроме механической, значимыми являются дру гие виды энергии (тепловая, химическая, электромагнитная и др.), то закон сохранения энергии должен использоваться в более общей фор ме. При рассмотрении только термомеханических форм движения не обходимо дополнительно к балансу мощности использовать закон со
хранения точимой энергии (баянам т ом а): тепло dQi, выделенное в те ле М с объемом П, поверхностью S, характеризуемой единичной внеш ней нормалью а, за время dt п р и ' его деформации за счет преобразования механической энергии в тепловую, расходуется на пе редачу части dQi тепла соседним телам за счет теплопроводности и на повышение температуры самого тела за счет оставшейся части dQi теп ла. Тогда тепловой баланс принимает вид:
dQi=dQz+dQ3. |
(1.4.55) |
Расчет баланса тепла (1.4.55) базируется на ряда гипотез. Опытным путем установлено, что существенное выделение тепла в
теле М наблюдается при пластической деформации и незначительное его изменение - при упругой деформации металлов. Напомним, что де формация сплошного тела под действием внешней нагрузки называется упругой, если после снятия этой нагрузки тело принимает исходные, имевшиеся до приложения нагрузки, форму и объем. В противном слу
ги
чае деформация называется пластической. В МСС расчет составляю щей dQi базируется на первой гипотезе: внутренняя механическая энер гия пластической деформации полностью преобразуется в тепловую энергию. С помощью механического эквивалента тепла JM мощность внутренних сил в (1.4.42) пересчитывается в тепло dQi, выделяемое в теле вследствие диссипации внутренней энергии за время dt
Т |
• т |
(1.4.56) |
d Q i^l-Z —S-dCldt. |
||
Q |
Jn |
|
Расчет тепла, передаваемого рассматриваемым телом другим те лам, базируется на второй и третьей гипотезах.
В соответствии со второй гипотезой предполагается существование вектора теплового потока q = q(x„ г), с помощью которого рассчитыва ется количество тепла dQi, проходящего через поверхность рассматри ваемого тела в единицу времени как поток этого вектора через поверх ность тела.
Тогда за время dt
dQi - Jq •■</£*. |
(1.4.57) |
s |
|
Третья гипотеза, обычно называемая законом Ж . Фурье, связывает вектор q с градиентом температурного поля 0 = 6(х„ г)
q=-icV9, |
(1.4.58) |
где к - коэффициент теплопроводности.
Аккумулироемое за время dt в теле М тепло при нагреве на темпе ратуру d& зависит от массы тела и его удельной теплоемкости с
dQ3 = jcpdQdQ. |
(1.4.59) |
Q |
|
Подстановкой (1.4.56), (1.4.57) и (1.4.59) в (1.4.55) получаем баланс тепла
Т* т
dQ\ = J - i —?-d n * = j,q.|i</5rfr + Jcpd9dn. |
(1.4.60) |
||
Q |
S |
Q |
|
Преобразуем с помощью (П1.103) поверхностный интеграл из (1.4.60) в объемный и воспользуемся леммой об интегрировании по произвольному объему. Тогда после несложных преобразований полу чим уравнение теплопроводности
и з
48
— ep + Vq, J* dt
которое после перегруппировки слагаемых с учетом (1.4.58) обычно за писывают в виде:
— =— V (KA8)+ |
та т% |
(1.4.61) |
|
dt ср |
срЗи |
Приведем основные частные виды уравнения теплопроводности (1.4.61). В задачах ОМД коэффициент теплопроводности к обычно рас сматривают как постоянную величину. Тогда, учитывая (П1.76), имеем
упрощенный вариант уравнения теплопроводности
— = оД0 |
та т% |
(1.4.62) |
|
dt |
cpJu |
где а = — -коэффициенттемпературопроводности. ср
Если приток тепла вследствие пластической деформации равен от даче тепла за счет теплопроводности, то начальная температура окре стности материальной частицы при ее движении сохраняется. Эго за писывается как условие сохранения температуры в окрестности мате риальной частицы
М о
(1.4.63)
Учитывая, что в соответствии с (1.2.16)
— |
=— |
+V0-V, |
(1.4.64) |
dt |
dt |
|
|
из (1.4.62) при условии стационарного изменения температуры
30 |
о |
(1.4.65) |
- « |
° |
получаем уравнение теплопроводности
7* |
• Т |
(1.4.66) |
aV8 |
- V8• V = О, |
|
cpJ„ |
|
|
обеспечивающее постоянство температуры в пространственных точках, через которые проходят материальные частицы. Последнее слагаемое в (1.4.66) связано с конвективным переносом т аим.
114
Если в исследуемой среде отсутствуют внутренние источники теп ла, то из (1.4.62) получим уравнение, наиболее часто используемое в теории теплопроводности при решении задач о нагреве или охлажде нии сплошного тела без внутренних источников тепла
— = aV0. |
(1.4.67) |
dt |
|
Наконец, если в (1.4.67) выполняется условие (1.463), то темпера турное поле должно описываться гармонической функцией (П1.76)
Д0 = О. |
(1.4.68) |
Уравнение теплопроводности (1.4.61) и его частные варианты (1.4.62)...(1.4.68) получены для тела М без каких-либо оговорок о рас пределении свойств этого тела. Если тело М гомогенное, свойства ко торого характеризуются непрерывным в объеме Q распределением плотности и теплофизических параметров, то для решения температур ных задач ОМД уравнение теплопроводности используется либо в виде (1.4.61), либо его частных вариантах, в зависимости от условий поста новки задачи.
Для композитных сред М , содержащих компоненты Ма, при инди видуальном изучении поведения каждой компоненты тепловой баланс типа (1.4.60), записанный для области Д , с границей Sm приведет к уравнению теплопроводности типа (1.4.62) с индивидуальными свойст вами рассматриваемой среды
<Ва |
Т“ Т“ |
(1.4.69) |
^ - = я аДва +------- 2_. |
||
Л |
capaJM |
|
В отдельных случаях гетерогенные свойства композитной среды могут быть заменены эквивалентными, в том или ином смысле, свойст вами гомогенной среды (см. п. 1.3). В этих случаях используется урав нение теплопроводности (1.4.61).
Контрольные вопросы
1.В чем физический смысл уравнения неразрывности среды?
2.В чем заключается физическое различие равенства нулю полной и част ной производных плотности по времени?
3.Каковы особенности изменения плотности в КМ?
4.На каком основании сохраняется вид уравнения движения как для сплошных гомогенных сред, так и для сплошных КМ?
5.Почему для многих процессов ОМД вместо уравнения движения ис
пользуется уравнение равновесия без учета массовых сил?
115
6.Какие преимущества получаются при определении тензора напряжений
спомощью тензоров функций напряжений Э.Бельтрами, Дж.Максвелла и функции напряжения Дж.Эри?
7.Какие дополнительные слагаемые могут появиться в балансе мощности
ив балансе работы при изучении движения КМ по сравнению с гомогенной средой; в каких случаях эти слагаемые следует учитывать?
8.Как учитывается условие несжимаемости в балансе мощности и условие постоянства объема в балансе работы?
9.Как вычисляется мощность внутренних сил и каково ее значение при со ставлении теплового баланса?
10.Какие гипотезы используются при выводе уравнения теплопровод
ности?
11.Чем отличаются виды уравнения теплопроводности при неизменности температуры в окрестности материальной частицы и при постоянстве темпера туры в пространственной точке?
12.В каких случаях температурное поле описывается гармоническими функциями?
13.В чем особенности записи уравнения теплопроводности для КМ?
1.5. РЕОЛОГИЯ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД
“Один опыт я ставлю выше, чем тысячу мнений, рожденных только воображением”
М .В Л 0М 0Н 0С 09
1.5.1.Свойства идеальных кристаллов
иреальных металлов
Современная техника исследования металлов позволяет изучать их свойства в микрообъемах, наибольшие размеры которых соизмери мы с межатомными расстояниями. Современные микроскопы высокого разрешения в некоторых случаях позволяют наблюдать отдельные атомные плоскости и дислокации в кристаллах (рис. 32). Однако в про цессах ОМД деформированию обычно подвергаются объемы металла с размерами, значительно превышающими эти расстояния, что приводит к необходимости использования в расчетах среднестатистических свойств.
При обработке давлением КМ также возможно усреднение в том или ином смысле свойств таких материалов. Целесообразность такого усреднения определяется многими факторами: требуемой точностью решения поставленной задачи, продолжительностью, средствами дос тижения конечного результата и т.п. Используемый в МСС математи ческий аппарат, основы которого изложены в Приложении и предыду-
Рис. 32. Микроструктур»металлически*тела(2ММх)
щих пунктах, позволяет изучать движение различных сплошных сред, моделирующих деформацию КМ с учетом основных индивидуальных особенностей поведения компонент. При необходимости моделью от дельной компоненты может являться неоднородное анизотропное тело.
Тенденция развитая методов МСС решения задач и физических методов исследования свойств металлов не случайна. Она предопреде ляется постоянным совершенствованием техники с соответствующим ростом требований, предъявляемых к качеству металлов и изделий из них, к уровню и стабильности их свойств. В настоящее время методы МСС начинают использовать для формализации результатов исследо ваний строения металлов, образования и движения дислокаций, а ре зультаты металлофизических исследований все шире привлекаются к математическому описанию поведения деформируемых металлов.
В микрообъемах металлы рассматриваются с помощью решетча тых моделей, называемых кристаллическими решетками, наиболее рас пространенные виды которых приведены на рис. 33. В идеальных кри сталлах решетки имеют форму правильных многогранников. В реаль ных условиях металлы в общем случае могут состоять из кристаллов неправильной формы, называемых кристаллитами (зернами). Правиль ность выбора кристаллической решетки подтверждается формой и ани зотропией свойств металлов в микрообъемах. Анизотропию свойств мож но представить в формализованном виде с помощью тензоров. Так, в соответствии с обобщенным законом Р.Гука связь между тензором Тс напряжений и тензором Т, малых деформаций
4 |
(1.5.1) |
Т„ = Tc'Tg |
117
и обратная связь
4 |
(1.5.2) |
т,-тв |
|
4 |
4 |
устанавливается с помощью тензоров четвертого ранга Тс иТ», ком понентами которых являются модуля упругости с* . и коэффициенты податливости ^ соответственно. По аналогии с соотношениями для упругих сред (1.5.1), (1.5.2) для вязких сред можно записать соотноше ние между тензором Т„ и тензором Т$ скоростей деформаций
Тв = Т с Т?, |
(1.5.3) |
|
|
а также обратное соотношение |
|
4 * |
(1.5.4) |
т5 =т*-тв, |
где компоненты с*^, тензора Т с называются коэффициентами вязкости,,
а компоненты s* ^ тензора Ts - коэффициентами вязкой податливости.
Следует отметил,, что записи соответствия одаого тензора второго ранга другому топору второго ранга типа (1.5.1)...(1.5.4) не являются единственными. Например, для упругих сред в более общем виде тогзор напряжений Т„ можно разложить по степеням тензора деформаций в виде
Те =«ТЕ+ Т с Т Е+ Т ь ( Т 6 ® Т Е) + Т а ( Т Е0 Т е ® Т Е)+ ... |
(1.5.5) |
или в виде
Тв =аТЕ+Тс-ТЕ+Ть-(ТЕ© ТЕ)+Та-(ТЕФТЕФТЕ)+... |
(1.5.6) |
Однако дня инженерных расчетов в большинстве случаев достаточно использовать соотношения типа (1.5.1)...(1.5.4).
118
В соответствии с определением тензора (см. п. П1.1) в трехмерном пространстве тензоры четвертого ранга имеют 81 компоненту. Вслед-
4 4 4 * 4 *
ствие симметрии тензоров Тв, Т„ Т? топоры Te,T j,T c,T s, не должны
изменяться при замене местами индексов в первой и во второй парах индексов компонент последних тензоров. Поэтому из 81 компонента таких тензоров независимых остается только 36. Для изотермических и обратимых процессов движения количество независимых компонент сокращается до 21. Это связано с дополнительной симметрией перечис ленных тензоров четвертого ранга по перестановке двух пар индексов их компонент. Например, для линейно-упругих сред удельная работа
внутренних |
сил dA = o9dBjl. С помощью (1.5.1) имеем dA = cJfc.efo,rfei;-. |
|
Откуда имеем------- |
■ Теперь, дифференцируя обе части равен- |
|
|
дЦ |
|
ства по |
учитывая, что |
= const, получаем----------- -- с,.-^. В связи |
|
|
fckmfeij |
с тем, что А есть функция только состояния среды, определяемого ком понентами тензора деформации, порядок дифференцирования не дол
жен иметь значения. Поэтому с^т ~ сЫ9. Окончательно |
с учетом всех |
|||
|
4 |
|
|
|
видов симметрии тензора Т с имеем |
|
|
|
|
Сукм ffikm Cjfmk |
^ijkjn |
^kmij СщкЦ ^mkfi• |
(1.5.7) |
|
Аналогичные соотношения при оговоренных условиях можно за- |
||||
|
4 |
4* |
4* |
|
писать для компонент тензоров Ts,Tc и Т » . |
|
|||
Для примера в табл. 1 приведена анизотропия модулей упругости некоторых металлов с различным кристаллическим строением, харак теризуемым координационным числам - числом атомов, находящихся на одинаковом расстоянии от рассматриваемого атома.
Тензоры, устанавливающие связь между параметрами напряжен ного и деформированного состояний, будем называть тензорами со стояния среды, а их компоненты - функциями состояния среды. Если компонента тензоров состояния являются постоянными величинами, то соответствующие им среды называются линейными анизотропными средами• линейно-упругими (1.5.1), (1.5.2), линейно-вязкими (1.5.3), (1.5.4). Для нелинейных сред связь между напряженным и деформированным состояниями может быть задана либо соотношениями типа (1.5.1)...(1.5.4), в которых топоры состояния имеют компонента, зависящие от пара метров состояния среды, либо - нелинейными соотношениями. Напри мер, для вязких сред соотношение последнего типа может иметь вид, похожий на (1.5.6)
119
Т а б л и ц а I.У |у у ги е и у ж и у к |
п и м и н а и уш |
металле» |
|
|
|||
(|фитинктуре 293 К) |
|
|
|
|
|
|
|
Металл |
Тип решетки |
спи |
CII22 |
С)Ш |
сзш |
С2323 |
CI212 |
Be |
Г12 |
292,3 |
13,3 |
8,0 |
336,4 |
81,2 |
61,4 |
Mg |
|
59,2 |
12,8 |
10,7 |
61,4 |
8,3 |
|
Zn |
|
165,6 |
13,6 |
22,2 |
56,7 |
20,5 |
|
Zr |
|
144,0 |
36,4 |
32,6 |
165,0 |
16,0 |
17,8 |
c d |
Гб |
109,21 |
19,8 |
18,7 |
46,03 |
7,8 |
|
A1 |
К12 |
107,3 |
30,4 |
- |
|
14,0 |
|
Ni |
|
245,3 |
73,0 |
- |
|
62,3 |
|
Cu |
|
171,0 |
61,9 |
4 • |
|
37,8 |
|
Ag |
|
124,0 |
46,7 |
- |
|
23,8 |
|
Au |
|
196,0 |
82,2 |
- |
|
21,0 |
|
PI |
К8 |
46,6 |
19,6 |
• |
|
7,7 |
|
Fe. |
237,7 |
70,5 |
Ф |
|
58,0 |
|
|
V |
|
228,0 |
59,5 |
т |
|
21,3 |
|
w |
|
500,5 |
99,0 |
• |
|
75,21 |
|
Mo |
|
440,8 |
66,2 |
- |
|
65,35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Та |
|
265,0 |
79,5 |
- |
|
41,5 |
|
П р и м е ч а н и е : координационные числа решеток - гексагональной пяотноупа кованной Г12; гексагональной Гб; кубической объемоцентрированной К8; кубической гранецентрированиой К12.
Тс = аТ5 + Т VТ5 + Т ; •(Т4Ф Т5 )+ Т ; •(Т5Ф Т5Ф Т5 )+.. .
Так же, как и предыдущих вариантах, тензоры четвертого ранга в записи (1.5.6) имеют 21 независимую компоненту. Если количество не зависимых компонент тензоров, описывающих свойства сплошной сре ды, связать с уровнем анизотропии этих свойств, то такой уровень можно повысить, используя тензоры состояния среды более высокого, чем четвертого, ранга. В частности, для вязких сред это могут быть со отношения типа (1.5.5)
Тст =а*Т? +Т ;-Т, +Т ;.(т? ®Т§)+Т *d.(T? ®Т§ ®Т?)+ ...
Для полноты изложения следует также отметить, что приведенные ВИДЫ симметрии тензоров состояния среды могут быть использованы в так называемой безмоментной теории напряжений, когда тензор пово рота в (2.1.72) и спин (2.1.152) пренебрежимо малы, а в напряженном со стоянии не учитываются напряжения, вызванные моментами действую щих сил. В противном случае все тензоры состояния среды должны иметь в общем случае единственный вид симметрии, связанный с инва риантностью энергии внутренних сил. В дальнейшем, если не будет специ альных оговорок, будем использовать соотношения безмоментной теории.
120