книги / Механика сплошных сред Теорет. основы обраб. давлением композитных металлов

где тензорные скобки (двойные квадратные) позволяют внешне отли­ чать тензор от матрицы, компоненты которой заключаются в двойные круглые скобки (П1.18), и от аналогичных выражений, заключенных в алгебраические (одинарные квадратные) скобки. По существу (из опреде­ лений) тензор любого ранга отличается от своей матрицы тем, что при повороте множества координат сам тензор остается неизменным, т.е.

аизменяется только его матрица.

Вдальнейшем тензоры нулевого и первого ранга чаще всего будем

называть скаляром и вектором, а обозначать светлой буквой и полу­ жирной буквой соответственно, как это принято в векторной алгебре; для тензора второго ранга, как наиболее часто встречающегося в тек­ сте учебника, по сравнению с тензорами более высокого ранга, будем опускать символ ранга над символом тензора и записывать его сле­ дующим образом:

а сам тензор второго ранга будем называть просто тензором.

Тензор произвольного ранга, магрица которого не меняется при повороте множества координат, называется изотропным. Простейшим таким тензором является скаляр. Примером изотропного тензора вто­

компоненты которого записываются с помощью символа Л.Кронекера (П1.13).

Упражнение П1.3. Используя (П1.20) или (П1.21), показать, что компоненты единичного тензора (П1.30) в любом множестве коорди­ нат имеют единичную матрицу (П1.19) 3

Любая допустимая комбинация, в том числе линейная, изотропных тензоров образует изотропные тензоры.

П1.2. ДЕЙСТВИЯ НАД ТЕНЗОРАМИ РАЗЛИЧНОГО РАНГА

Любое действие, в котором участвуют различные тензоры, воз­ можно только в том случае, когда матрицы этих тензоров записаны в одном и том же множестве координат.

241

В произведении (П1.33) р не может быть больше наименьшего ран­ га одного из сомножителей. В некоторых случаях в зависимости от значения р произведение (П 1.33) имеет следующие частные названия и соответствующую символику:

-при п=т=р=0 из (П1.33) получается произведение скалярных величин (П 1.25);

-щ и п=р =0 (т>0) или т=р=0 (и>0) - произведение (П1.32)

тензора ранга выше нулевого на скаляр (в обоих случаях символ ® опускается);

- при п =т=р = 1 из (П1.33) получается скалярное произведение (П 1.1) двух векторов;

- при и —р —1 (п <т) или т=р=1 (т<п)~ скалярное произведение тензора на вектор слева или справа соответственно, а в более общем случае, когда и - р > 1 (и<т)

или т =р> I (т<п)

Скалярное произведение тензоров различного ранга (П1.33), когда п —т —р> 1, называется полным скалярным произведением тензоров одинакового ранга

в результате которого получается скаляр (в последних трех случаях символ ® заменяется точкой - символом обычного скалярного про­ изведения векторной алгебры);

При п > 1, m'Z 1 и р = 0 запись (П1.33) называется тензорным произ­ ведением

В последнем случае символ ® заменяется символом тензорного произве­ дения в .

Например, тензор второго ранга может быть получен тензорным произведением двух векторов:

или в скалярной форме

Cfk“

243

Тензорное произведение двух векторов (П1.38) называется диадой и отличается от любого другого тензора второго ранга тем, что к-с ком­ поненты его J-й строки пропорциональны _/-й компоненте первого со­ множителя, a j-c компоненты его А:-го столбца пропорциональны А:-той компоненте второго сомножителя.

Упражнение П1.4. Показать, что всякий тензор второго ранга не­ единственным образом может быть представлен в трехмерном про­ странстве суммой трех диад 3

называется полиадойранга я.

Упражнение П1.5. Используя результаты предыдущего упражне­ ния, показать, что в А'-мерном пространстве всякий тензор ранга п (л > 1) не единственным образом может быть представлен суммой N*-1 полиад того же ранга (П1.40) 3

Представление тензоров произвольного ранга в виде суммы поли­ ад позволяет ввести обобщение векторного произведения (П1.2).

Операция нахождения р-векторного (читать: пи-векторного) про-

В произведении (П1.41) p не может быть больше наименьшего ран­ га одного из сомножителей. В некоторых случаях в зависимости от

244

значения р произведение (П1.41) имеет следующие частные названия и соответствующую символику:

- при п= т = р= 1 нз (П1.41) получается векторное произведение

-векторное произведение тензоров различного ранга;

-при п =т=р> I запись (П1.41) называется паяным векторным произведением топоров одинакового ранга

в результате которого получается новый тензор того же ранга.

Из записей (П1.43)...(П1.47) следует, что во всех этих случаях сим­ вол х, заменяется крестом "х" - символом обычного векторного произ­ ведения векторной алгебры.

Замена в полиаде (П 1.40) местами любой пары векторов называет­ ся транспонированием полиады. Если такую замену соответствующих пар векторов выполнить для всех N*-1полиад, сумма которых образует некоторый тензор ранга п (П1.28), то получим транспонированный тен­ зор ранга п. Для компонент тензора ранга п (П1.28) операция транспо­ нирования тензора сводится к замене местами соответствующих этим векторам, по их позициям в суммируемых полиадах, индексов. В общем случае допускается транспонирование по нескольким парам векторов суммируемых полиад, образующих тензор. В частности, при транспо­ нировании тензора второго ранга (П1.29) происходит замена строк матрицы заданного тензора (П1.29) на соответствующие ее столбцы с образованием нового тензора

245

(П1.48)

называемого транспонированным тензором.

Полусумма заданного тензора ранга п и тензора, транспонирован­ ного по некоторым парам индексов компонент заданного тензора, на­ зывается симметричной частью тензора ранга п по этим индексам, а сама операция нахождения такой части называется симметрированием заданного тензора по указанным индексам. Так, симметричная часть тензора второго ранга (П1.29) имеет вид:

(П 1.49)

Ть

Полуразность заданного тензора ранга л (П1.29) и тензора, транс­ понированного по некоторым парам индексов компонент исходного тензора (П1.48), называется альтернативной (кососимметричной, анти­ симметричной) частью тензора ранга п по этим индексам, а сама опе­ рация нахождения такой части называется альтернированием заданного тензора (П1.29) по указанным индексам. Для тензора второго ранга (П1.29) его альтернативная часть имеет вид:

(П1.50)

В общем случае исходный тензор ранга п (П1.28) всегда равен сум­ ме своих симметричной и альтернативной частей. В частности, для тен­ зора (П1.29), используя (П1.49) и (П1.50), легко показать, что

Так как любой тензор ранга п может быть представлен суммой полиад (П1.40) того же ранга, альтернативную часть всякого тензора вто­ рого ранга можно представить с помощью внешнего произведения век­ торов, образующих диады этого тензора. Внешнее произведение двух векторов имеет вид:

Любой тензор второго ранга можно разложить на девиатор Da и

сферическую часть Sa:

где

244

среднее значение тензора Та для ААмерного пространства

(П1.55)

Девиатор Da находят как разность заданного тензора Та и его сфериче­ ской части:

П1.3. ИНВАРИАНТЫ ТЕНЗОРОВ

Согласно теоремеД.Гильберта любому конечному множеству тен­ зоров соответствует конечное число независимых друг от друга инва­ риантов по отношению к повороту множества координат, которые мо­ гут быть использованы для вычисления других, но уже зависимых от первых, инвариантов. В ААмерном пространстве для тензоров ранга п выше нулевого количество независимых инвариантов составляет N*~K В частности, для тензора второго ранга Та среди бесчисленного множе­ ства нижеприведенных инвариантов

Ii = Та • Т*;

h = (Та®Та) • Ts; Ь = (Та®Т.®Та) • Т8;

в трехмерном пространстве независимыми являются только три инва­ рианта. В этом случае в качестве основных обычно назначают первые три инварианта, через которые могут быть выражены все остальные инварианты в (П1.57).

Упражнение П1.6. С помощью (П1.20) и (П1.21), используя закон преобразования компонент тензора (П1.26), доказать инвариантность величин Ь, 1г, 1з.

Упражнение П1.7. Показать, что для четвертого инварианта Ь в

Упражнение П1.8. С помощью (П1.27) доказать независимость от поворота множества координат первого основного инварианта топора третьего ранга

з з

I .- T а Те э

247

Инварианты тензора второго ранга непосредственно связаны с его главными направлениями. Направление, характеризуемое вектором у, называется главным направлением тензора Та, если при скалярном ум­ ножении этого вектора на тензор направление вектора остается неиз­ менным, т.е. в топорном виде:

у-Т*=Ху.

Втрехмерном декартовом пространстве тензор имеет три главных направления, которые образуют главное множ ество осей координат

тензора. Перепишем последнее уравнение в скалярной форме

У/Он-ЬУь

перенесем правую часть влево и вынесем у, за скобки

У/(аЛ~^&й:) = 0’

где 5* - символ Л.Кронекера (П1.13). Исключая тривиальное решение (У/- 0), устанавливаем, что все возможные значения скалярной величи­ ны X.должны удовлетворять характеристическому уравнению матрицы М* тензора Т»:

Раскрытие определителя в (П1.58) в общем виде приводит к пол­ ному кубическому относительно X уравнению

в котором коэффициенты а1, а11, аш называются первым, вторым и треть­ им инвариантами тензора соответственно. Эти коэффициенты получаются после группировки по степеням X результата раскрытия определителя в (П1.58). Они связаны с основными инвариантами (П1.57) соотношениями:

а1 = I,;

III_ Ь *1*2 . Л

3 2 6

Эти соотношения можно записать через компоненты тензора Та

ан

(П1.60)

248

В главном множестве координат тензор (П1.29) имеет диагональ­ ную матрицу

диагональные компоненты которой а\, аг, аз называются главными зна­ чениями тензора. Главными значения а, тензора являются корни Xi, Х2, Хз характеристического уравнения (П1.59), распределенные между ве­ личинами а,так, чтобы

(П1.62)

Процедура нахождения матрицы тензора в главном множестве ко­ ординат по его матрице, заданной в произвольном множестве коорди­ нат (П1.29), называется диагонализацией тензора. Для трехмерного пространства выполнение этой процедуры сводится к решению кубиче­ ского уравнения (П1.59) с непременным соблюдением условия (П1.62). Отметим, что для симметричных тензоров корни характеристического уравнения (П1.59) всегда являются действительными числами. При этом всегда выполняется неравенство

4 27

где

а= —(ta11 -a l2\ 3

b = — ( - 2 a I%+ 9aIa 11 - 2 7 a 111)

27 х

коэффициенты неполного кубического уравнения

получаемого с помощью подстановки в (П1.59) выражения

Х-Ф+ifl1. (П1.65)

Если неравенство (П1.63) выполняется, то для отыскания корней уравнения (П1.64) применяется тригонометрическое решение

249

(П1.66)

где

9 = arccos

Тогда корни X, уравнения (П1.59) находятся из (П1.65) с помощью (П1.66).

П1.4 ФИЗИЧЕСКИЕ И ГЕОМ ЕТРИЧЕСКИЕ АНАЛОГИ ТЕНЗОРОВ

В предыдущих подразделах п р и л о ж е н и я тензоры различного ранга рассматривались как некоторая математическая абстракция, харак­ теризуемая определенным количеством компонент, каждая из которых при повороте множества координат преобразуется по закону (П1.26). В основном тексте учебника параметры движения сплошных сред пред­ ставляются как соответствующие физические аналоги тензоров различно­ го ранга. Так, плотность, масса, объем, температура, мощность не зави­ сят от ориентации множества координат и для их математического опи­ сания используются тензоры нулевого ранга или скаляры; перемещение, скорость, ускорение, сила, напряжение описываются с помощью тензоров левого ранга или векторов; параметры деформированного и напряжен­ ного состояний окрестности движущихся материальных частиц - с по­ мощью тогзоров второго ранга; вычисление объема Д непрямоугольного параллелепипеда с ребрами а, Ь и с в декартовом множестве координат

Д = ( а х Ь ) - с

можно выполнить с помощью тензора третьего ранга Т.Леви-Чивиты (П1.27)

свойства деформируемых анизотропных материалов могут быть опи­ саны тензорами четвертого и более высокого ранга.

Кроме приведенных физических аналогов можно привести геомет­ рическую интерпретацию тензоров различного ранга.

Из векторной алгебры известно, что геометрическим аналогом скалярной величины является точка, вектора - направленный отрезок.

Геометрическим аналогом тензора второго ранга является цен­ тральная поверхность второго порядка. Из аналитической геометрии известно, что уравнение такой поверхности имеет вид

250