книги / Механика сплошных сред Теорет. основы обраб. давлением композитных металлов

E ' - l B t + w w a ^ a S ) ^ .

где

На стыке сл о я функция тока основного решения принимает зна­ чащ е \|/= \|/сг, которое вычисляется по формуле (1.2.181).

Расчет основных кинемэтических параметров двухслойного тече­ ния в условиях осесимметричной деформации покажем на примере движения биметаллического цилиндра в локально сходящемся канале с углом конуса со (рис. 19). Результаты анализа такого течения могут быть использованы для исследования процессов прессования и волоче­ ния круглых биметаллических прутков.

71

Функцию тока \|/р основного решения представим в виде (1.2.126), (1.2.129)

Рис. 19. К построенгео КВ-поласкоростей при омсимистргаюм деформироватм бнмсталлического|дотка

зависит от вспомогательной координаты z с точностью до символики, совпад ающей с (П3.57):1

v|/p= vj/i . Так же по формуле (1.2.191) при EP=R находим значение

R }

7J

По формулам (1.2.178), где все значащ а функции тока для осесим­ метричных течений нужно рассматривать с индексом р, с помощью (1.2.194) и (1.2.195), учитывая, что \\>~ =0, найдем коэффициенты сты­

ковки слоев

г*

ки внутреннего слоя р2 =Л - величины Ь\ =Ьг =0 и все кинематические

параметры слоев совпадают с параметрами слоев основного решения. С помощью (1.2.196), учитывая, что в области ЕгйЕ а функция

(1.2.177) равна единице, а ее первая производная по Ег—Ег равна нулю, по формулам (1.2.189) определим компоненты вектора скорости в этой области. Следует отметил», что характер распределения скоростей в рассматриваемой области определяется видом основного решения. Здесь применяемое основное решение с функцией тока (1.2.191) и соот­ ветствующим полем скоростей

приводит к тому, что в области поступательного движения среды, где

скорость выхода обоих слоев из зоны возмущенного дви-

73

жения. Так же как при плоской деформации, в данном случае выполня­ ется условие постоянства потоков обоих слоев.

Упражнение 1.2.21. Показать, что при совпадении коэффициентов вытяжки обоих слоев двухслойного течения (плоского или осесиммет­ ричного) с общим коэффициентом вытяжки деформируемой заготовки

величины VQ и VQ совпадают.

Упражнение 1.2.22. По приведенному выше алгоритму анализа те­ чения со схемой П-С выполнил» анализ полей скоростей (1.2.179) и (1.2.189) двухслойного течения со схемой С-П кинематического взаи­ модействия (J

1.2.11. Двухмерное стационарное течение многослойной среды

Принцип стыковки слоев двухслойных течений, изложенный в предыдущем пункте, распространим на более общий случай течения TVслойного тела.

В области Л с границей S, включающей граничные линии тока

N vj/=vj/+ и vj/=vj/-, рассмотрим течение многослойного тела М = \J M a

а=1

(рис. 20). На стыке /-го и (/+ 1)-го слоев, используя для определенности схему П-С их взаимодействия, расположим точки Е„ и Ес , через ко­

торые проведем изолинии Вс - const так, чтобы в точках ЕП величина

Вс= 1, а в точках ECj - В е = 0. В упрощенном варианте такие изолинии можно аппроксимировать ломаной В = const, получаемой фиксиро-

Рис.21 Схемаю м щ сйетвм слоев№слойноготела

74

ванием функции Вс^ = Вс\ Е г) в этих точках в каждом i-м слое, кроме

Так же как в случае двухслойного течения, коэффициенты Ь, и а, полностью определяются значениями v|/r. на стыке слоев у входа в зо-

ну их возмущенного движения (ц/Г = чу ) и от точек Е е до выхода из

этой зоны (у|/ч = V|/y( ).

По формулам (1.2.105) для плоского течения или по формулам (1.2.128) для осесимметричного течения с использованием (1.2.198) и (1.2.199) находим компоненты вектора скорости /-го слоя. В частности, для плоского течения:

3ЧУ,

-(l +btBCi )+М чу, “ V/ j4 )

дЕг

(1.2.202)

где

дЕг

75

(1.2.203)

Если во всей зоне возмущенного движения многослойного тела по­ строена непрерывная функция Вс, то в формулах (1.2.190), (1.2.191), (1.2.194), (1.2.195) вместо В с необходимо использовать эту функцию. В

случае аппроксимации такой функции для каждого i-го слоя можно ис­ пользовать функцию сцепления слоев в виде (1.2.177):

где

Упражнение 1.2.23. По формулам Дж.Стокса (1.2.137) с помощью поля скоростей (1.2.202), (1.2.203) получил» компоненты тензора скоро­ стей деформаций плоского стационарного многослойного течения.

Упражнение 1.2.24. Используя функции тока (1.2.190), (1.2.191) и формулы (1.2.116), определить компоненты вектора скорости и тш зора скоростей деформаций осесимметричного стационарного течения мно­ гослойных теп э

Опыт построения полей скоростей плоских течений многослойных сред можно использовать при построении полей скоростей многослой­ ных течений в трехмерном пространстве.

1.2.12. Объемное стационарное течение слоистых композитов

В основе построения объемного стационарного течения много­ слойной среды используется общий принцип построения трехмерных полей скоростей (1.2.104). Изложенный ниже метод может быть ис­ пользован для построения полей скоростей при моделировании про­ цессов деформирования металлов для получения изделий с частичной одно- и двухсторонней плакировками (тонкими слоистыми покрытия­ ми), а также изделий, армированных одним или несколькими волокна­ ми (рис. 21). При необходимости криволинейные образующие попереч­ ных сечений основного слоя, плакировки или волокна аппроксимиру­ ются ломаными прямолинейными образующими.

76

вует вертикальная деплана- Рис. 21. К посту м— КВнилей скоростей мщн тсчешм плакнровантх (а), (б) и армяфоватых (а),

(1.2.199), а построение функ­

ции L* выполним по аналогичной процедуре. Тогда в соответствии с (1.2.104) для ik-ro слоя получим векторное поле объемного течения

По этой же формуле определяется поле скоростей в более сложном случае, когда функции Y, и L* зависят от всех эйлеровых координат

Ei, Ег, Ез.

Применение метода построения поля скоростей для объемных ста­ ционарных течений рассмотрим на примере деформации основного слоя прямоугольного сечения с частичной двухсторонней плакировкой

исимметричным расположением плакирующих слоев относительно плоскости Ез = 0. Предполагается, что искривление поверхностей vP=\p+

иY-vp- в направлении оси Ез и искривление поверхностей L%- L\ и

77

Рис. 23. Поперечимеечет е тем сдрухсторомоейчатчюй плакировкой

Lg = L j в направлении оси Е\ пренебрежимо мало (рис. 23). Сначала с помощью основного решения с функцией тока у в плоскости Еу - 0 в интервалах Ч7( £ 4^ й \|/+; 4 7 , й Т 2 й 4 7 ,; у ' -й47 й 4 7 ,, исполь­

зуя формулы (1.2.198), (1.2.199), построим функцию тока так, как если бы мы рассматривали трехслойное плоское течение:

У, =\|/ + 6,(ч/-\|/+)вС);

'i'r, ='K + « i ( w " K i :

где в соответствии с (1.2.200), (1.2.201)

И

ь%=

4 7 , -V +(4 7 . - 'И 'Ц2 д° с 2

По аналогии с построением основного решения (П3.54) в плоско­ сти £ з = 0 построим такое же решение в плоскости Ег = 0 с лагранжевой координатой

78

где bo, b - начальная ширина всего тела и ширина его в момент дефор­

При этом L . = £j.£f = £+. Во всех ik-ых слоях, кроме последних по

индексу к, коэффициенты стыковки слоев вычисляем по формулам

(1.2.200)

В последнем по индексу к М-м слое

(1.2.212)

В формулах (1.2.209), (1.2.210) коэффициенты ск и dk полностью опре­ деляются значениями L . на стыке слоев у входа в зону их возмущен­

ного движения (L ^ ( - £ , к ) и от точек Е' до выхода из этой зоны

(Ч =* fk )•

Функции сцепления В'Ск в (1.2.209) и (1.2.210) могут быть пред­

ставлены общей для всей объемной области течения непрерывной функцией Вс, принимающей постоянное значаще Вс—1 в точках Е г-Е п и значение Вс=0 в точках Ег-Ес. Как отмечалось, в упрощенном вари­ анте эта функция при плоской деформации в каждом слое аппроксими­ руется функциями (1.2.204), а при объемной деформации - дополни­ тельно аналогичными функциями

79