книги / Механика сплошных сред Теорет. основы обраб. давлением композитных металлов

ми постоянного радиуса в направлении эйлеровой оси Ег так, что ее те­ кущая высота Л не меняется по длине бочки валка в направлении оси Ег, т.е. Л = 1г{Ег). Показать, что в этом случае поле (1.2.121) принимает вид:

Такому случаю соответствует прокатка на гладкой бочке без учета прогиба и сплющивания валков.

Упражнение 1.2.9. При прокатке полосы наблюдается малозначи­ мая депланация боковой поверхности в направлении оси Ей т.е. b = b(Ei). Показать, что в этом случае поле (1.2.121) принимает вид:

Отметим, что с математической точки зрения оба случая одина­ ковы. Поэтому с точностью до символики поля (1.2.122) и (1.2.123) совпадают. С физической точки зрения они различаются: первому случаю (1.2.122) соответствует прокатка металла в абсолютно жест­ ких валках (без учета их прогиба и сплющивания), второму (1.2.123) - прокатка металла, когда бочкообразование (депланация в направ­ лении оси ЕЗ) боковой поверхности проката пренебрежимо мало. На практике векторное поле скоростей (1.2.122) может быть использо­ вано для моделирования горячей прокатки сортового и листового металла, когда деформация прокатного валка пренебрежимо мала по сравнению с деформацией прокатываемого металла, а векторное поле скоростей (1.2.123) - для моделирования холодной прокатки тонколистового металла, когда слабое искажение боковой поверх­ ности проката в вертикальном направлении по оси Ег можно не учиты­ вать в расчетах.

Упражнение 1.2.10. Показать, что при прокатке полосы на гладкой бочке абсолютно жестких валков, когда h=h(Ei), и без учета уширения

51

полосы, когда ft=fto=const, поля скоростей (1.2.122) и (1.2.123) совпа­ дут и будут иметь вид:

Такому полю скоростей соответствует прокатка в условиях пло­ ской деформации, когда все кинематические параметры движения сплошной среды зависят только от двух координат (в данном случае - от Ei и Ег), а движение в направлении третьей оси координат (в данном случае - Ег) отсутствует.

Для осесимметричных стационарных процессов ОМД, как и ранее, используем цилиндрические координаты Ег, Ер, в которой лвгранжева координата

а остальные лагранжевы координаты L,, Lp зависят только от эйлеро вых координат. При этом L 9=E9, а радиальную лагранжеву координа ту по аналогии с (1.2.111) представим в виде:

(1.2.126)

где Ron R - начальный и текущий радиусы круглой заготовки.

В цилиндрических координатах условие несжимаемости (1.2.98) в соответствии с определением скалярного произведения оператора набла на вектор (см. п. П 1.5) имеет вид:

При записи компонент вектора скорости через фук I«1Ш« тока осе' симметричного течения

условие несжимаемости среды (1.2.98), представленное в виде (1.2.127), обращается в тождество. В этом случае Т р и Lpсвязаны соотношением

(1.2.129)

52

Подстановкой (1.2.126) в (1.2.129), а результата - в (1.2.128) нахо­ дим компоненты вектора скорости стационарного осесимметричного течения несжимаемых сред

Такое поле скоростей может быть использовано при моделирова­ нии процессов прессования, волочения и прокатки круглых прутков из круглой заготовки. Если такими способами моделируется деформация полых изделий с наружным R и внутренним г текущими радиусами из полой заготовки с соответствующими начальными радиусами R0 и г0,

то вместо (1.2.126) лагранжеву координату L p следует представил» в виде:

Тогда ИЗ (1.2.129) имеем:

Далее, полагая, что R = R(E t) и r=r(Ez), по формулам (1.2.128) оп­ ределяем компоненты вектора скорости стационарного симметричного течения несжимаемых сред с внутренней полостью

В заключение отметим, что окончательный вид приведенных полей скоростей, которые могут быть использованы для моделиро­ вания процессов ОМД, определяется видом функций, описывающих значения текущих размеров и формы деформируемой заготовки. В наиболее простом виде такие функции учитывают основные геомет­ рические характеристики области течения металла. Соответствую­ щие таким функциям поля скоростей рекомендуется использовать

53

как основное решение, последующая корректировке (см. п. ПЗ.1.1) которого позволяет кроме геометрических параметров исследуемого процесса ОМД учитывать реологическое поведение (см. п. 1.5) де­ формируемого металла. В п. П3.2 приведены примеры и даны общие методы построения таких полей. В частности, для моделирования процесса прокатки в условиях плоской деформации с аппроксима­ цией изменения текущей высоты h полосы по произвольному закону, например по окружности (П3.55), может быть использовано вектор­ ное поле (П3.58).

В общем случае вид поля скоростей, соответствующий решению исследуемой задачи ОМД, определяется полнотой выполнения требо­ ваний, оговоренных в постановке задачи (см. п. 1.4). Поле скоростей, удовлетворяющее всем требованиям постановки краевой задачи, будем называть реальным полем (P-полем) скоростей. Как правило, Р-поля скоростей удается построить лишь в отдельных случаях. Чаще всего решение задачи сводится к поиску наилучшего приближения к Р-полю. Среди всех векторных полей, во множество которых обязательно вхо­ дят P-поля скоростей, выделим поля скоростей, удовлетворяющие ки­ нематическим краевым условиям (для стационарных течений - кинема­ тическим граничным условиям). Такие поля будем называть кинемати­ чески возможными полями (KB-полями) скоростей.

Для KB-полей скоростей на некоторых поверхностях допускается разрыв (скачок) вектора скорости за счет тангенциальной к этим по­ верхностям составляющей вектора скорости. Такие поля будем назы­ вать разрывными KB-полями скоростей.

1.2.7. Тензор скоростей деформаций

Изменение деформаций во времени называется скоростью де­

ей

ЗУ

по формуле (1.2.16) а =— +V (V®V) следует, что конвективные слаЭг

гаемые ускорения связаны с градиентом вектора скорости. Тензор с транспонированной матрицей получим, если найдем полную произ­ водную по времени тензора искажения (1.2.7) с учетом (1.2.90). С этим

54

тензором связано определение дифференциала вектора скорости' (век­ тора скорости искажения)

где выражение, стоящее в скобках, называется тензором скорости иска­ жения (тензором скорости дисторции) окрестности материальной час­ тицы. Только при поступательном движении V 0V - 0. Остальные вилы механического движения связаны с искажением во времени окрестности материальных частиц движущегося тела, характеризуемого тензором скорости искажения. Симметричная часть такого тензора (см. П 1.49)

называется тензором скоростей деформаций, так как каждая компонен­ та такого тензора характеризует изменение во времени (1.2.134)

•Обычно при решении задач ОМД нахождение компонент \ lk тен­ зора Т; связывают не с малыми деформациями (1.2.70) по формуле (1.2.138), а с определением их с помощью вектора скорости V по фор­ муле Дж О покса (1.2.137), которую с учетом (1.2.90) можно получить из (1.2.138) путем подстановки в нее малых деформаций, определяемых кинематической формулой О.Коши (1.2.70). С ф угой стороны, физиче­ ский смысл компонент легко устанавливается именно с помощью формулы (1.2.138): диагональные компоненты тензора скоростей де­ формаций характеризуют изменение во времени линейных размеров окрестности движущейся материальной частицы, а боковые - ее угло­ вых размеров. Поэтому диагональные компоненты (i - k ) тензора называют скоростями деформации изменения линейных размеров, а бо­ ковые компоненты (i*k) - скоростями деформации изменения угло­ вых размеров или сдвиговыми скоростями деформаций.

Используя стандартную процедуру (П1.58)...(П1.66), тензор скоро­

* В дальнейшем там, где нет оговорок, поля скоростей н связанные с ними парамет­ ры рассматриваются в эйлеровой системе координат (х = Б).

55

где главные скорости деформации должны удовлетворять соотноше­ нию (П 1.62):

(1.2.140)

и находятся из характеристического уравнения (П 1.58) матрицы тен­ зора (1.2.137)

Запишем уравнение (1.2.65) через плотность среды р(£»0» которая может быть определена, если известна масса dm движущейся окрестно­ сти материальной частицы и ее объем </Пе:

dtJg

Для одной и той же материальной частицы, попадающей в разные пространственные точки, выполняется закон сохранения массы (1.2.1). Поэтому после подстановки dOs. из (1.2.142) в (1.2.65) и учитывая, что dm*d и р*0, получим соотношение между плотностью и скоростью в окрестности материальной частицы, проходящей через различные про­ странственные точки:

dt

которое называется уравнением неразрывности среды. Если плотность окрестности материальной частицы не зависит от времени, то

d t

Среда с постоянной плотностью называется несжимаемой средой. Под­ становкой (1.2.144) в (1.2.143) получаем уже известное условие несжи­ маемости (1.2.98).

Из уравнения (1.2.143) легко получить условие неразрывности сре­ ды для окрестностей разных материальных частиц, проходящих через одну и ту же пространственную точку. Для этого умножим обе части

уравнения (1.2.143) на якобиан JL (1.2.14): JL— +pJL V-v = 0. Теперь dt

воспользуемся соотношением (1.2.64). Тогда J L— +р—^—=0, Отсюда dt dt

получим искомую форму записи уравнения неразрывности среды:

St

dt

Упражнение 1.2.11. Используя (1.2.137), показать, что сумма диа­ гональных компонент тензора скоростей деформаций точно совпадает с дивергенцией вектора скорости

Учитывая физический смысл последней (1.2.98), устанавливаем, что изменение во времени объема окрестности движущейся материаль­

ной частицы т может характеризоваться либо объемной скоростью де­ формации

(1.2.147)

либо средней скоростью деформации (П1.55)

(1.2.148)

Из (П1.54) и (П1.55) следует, что среднее значение |о тензора определяет его сферическую часть

S$=£oT«. (1.2.149)

Отсюда ясно, что сферическая часть тензора скоростей деформа• ций характеризует скорость изменения объема окрестности материаль­ ной частицы. Оставшаяся девиаторная часть (П1.56)

называемая девиатором скоростей деформаций, характеризует ско­ рость изменения формы окрестности материальной частицы.

Теперь по аналогии с (1.2.85) вектор скорости искажения (1.2.136) можно рассматривать как сумму трех векторов

характеризующих скорость изменения формы, скорость изменения объ­ ема и оставшегося вида механического движения - скорость жесткого вращения окрестности материальной частицы соответственно. В (1.2.151) тензор Tw - альтернативная часть (П1.50) тензора скоросш искажения называется тензором скорости жесткого поворота (спин).

Упражнение 1.2.12. Используя (П1.50), (П1.84) и (П1.86) показать, что последнее слагаемое в (1.2.151) может быть представлено в виде:

57

Таким образом, формула (1.2.151) так же, как и формула (1.2.85), позволяет проанализировать все основные виды механического движе­ ния во времени. При этом, как показано выше, для полного анализа используются:

дивергенция векторного поля скоростей (1*2.92)

JE

его ротор

и градиент

где вспомогательный вектор D вычисляется по формуле (1.2.94). Нижеследующая серия упражнений посвящена определению кине­

матических параметров гармонических течений (см. п.п. П3.1.3, ПЗ.1.5). Упражнение 1.2,13. Доказать, что гармоническое поле скоростей (П3.25), (П3.26) позволяет описать только скорость поступательного дви­ жения и скорость изменения формы окрестностей материальных частиц. Упражнение 1.2.14. Показать, что разложение комплексного по­ тенциала w (П3.45) на действительную <р и мнимую части у приводит к

гармоническим функциям: консервативной функции

и функции тока

Упражнение 1.2.15. Показать, что применение (1.2.156) в (П3.28) или (1.2.157) - в (П3.27) приводит к одному и тому же гармоническому полю скоростей с компонентами

4Я сЬ--------cos-----

нн

58

sh ICX2

4 Я сЬ nx2 -c o s 7CJC1

H H

Упражнение 1.2.16. Показать, что компоненты тензора скоростей деформаций поля скоростей (1.2.158) имеют вид:

ПХ1 . ИХ2

Среди трех инвариантов давиатора скоростей деформаций (1.2.150)

в теории ОМД наиболее часто ишользуется второй, с которым обычно связывают физическую величину Н, называемую интенсивностью сдви­ говых скоростей деформаций

(1.2.161)

Величина Н равна модулю вектора Н пягимерного пространства Н„ построенного по аналогии с пространством А.А.Ильюшина (1.2.86). При этом, в (1.2.86) следует заменить Г, на Н„ а е* - на ц *.

Характеристикой накопленной к времени t деформации окрестно­ сти материальной частицы при ее движении по траектории является

степень деформации сдвига

Для стационарных течений, когда траектории материальных час­ тиц и линии тока, а соответственно и формулы (1.2.15), (1.2.108), совпа­ дают, интегрирование по времени t в (1.2.162) с помощью дифференци­ ального уравнения линии тока (1.2.107) можно заменить интегрирова-

59

Упражнение 1.2.17, Используя поле скоростей деформаций (1.2.159), показать, что интенсивность сдвиговых скоростей деформаций (1.2.161)

Условие совместности компонент тензора скоростей деформаций

или условие Б.Сен-Венана имеет тот же вид, какой имеет аналогичное условие (1.2.88) для тензора малых деформаций

Совершенно очевидно, что и формула для восстановления вектора скорости по заданному тензору скоростей деформаций должна с точно­ стью до символики совпадать с формулой (1.2.89):

где Vo, Т , Хо значения тензоров V, Tw, х в начале пути интегрирования.

Упражнение 1.2.18. С помощью законов движения (1.2.111), (1.2.115), (1.2.116) и используя схему (1.2.95) -» (1.2.137) -*■(1.2.149) -► (1.2.150) -► (1.2.161), показать, что при постоянной интенсивности сдвиговых ско­ ростей деформаций Н = Н* = const в процессе испытания образца на

растяжение (+) - сжатие (-) с постоянной скоростью деформации

функция /(Г), определяющая закон изменения высоты образца А во времени t (1.2.117), имеет вид:

60