книги / Механика сплошных сред Теорет. основы обраб. давлением композитных металлов

которая, очевидно, так же как и обратная ей величина (1.2.25), характе­ ризует взаимное расположение рассматриваемых частиц.

С помощью (1.2.18) вычислим квадрат длины волокна dL в момент времени Го

называется тензором конечных деформаций О.Коиш.

Учитывая, что единичный вектор, совпадающий по направле­

И’

определим значение квадрата коэффициента (1.2.43)

Формула (1.2.48) позволяет дать физическую интерпретацию диа­ гональным компонентам тензора (1.2.46). Каждая такая компонента

8Е( 8Е{

обратно пропорциональна квадрату коэффициента изменения длины элементарного волокна, которое к рассматриваемому моменту времени t стало параллельным оси Et. В частности, положив dE =dEi e i, из

(1.2.47) получим Ci = 1, с2= Сз = 0. Эго приведет к тому, что Д - = —- в X X,

(1.2.48) будет равно Си. Аналогичные результаты можно получить дня волокон dE, параллельных осям Ег (е\ =0, ег = 1, е3= 0) и Ез (в\ = 0, с2= 0, е} = 1). В общем случае

(1.2.50)

31

Таким образом, диагональные компоненты тензора (1.2.46) характе­ ризуют изменение линейных размеров окрестности материальной частицы и называются линейными конечными деформациями тензора О.Коиш.

Величину относительной деформации (1.2.33) для волокна, ставше­ го параллельным в момент времени t от Еь также можно рассчитать с помощью диагональных компонент тензора (1.2.46)

Теперь рассмотрим движение двух элементар­ ных волокон, например, dE' и </Е", параллельных в рассматриваемый момент времени t осям Е\ и Ег (рис. 11). К этому моменту времени положение dE' = = dE\e\ займет элемент, который при t = to занимал положение dL\ а второе положение dE" = dEi е2 - элемент, занимавший по­ ложение dE". Определим

Рис. 11. Схем» к вычислению сдвиговойдеформащт в УГОЛ Р Между веКТОраМИ

ное произведение единичных векторов, совпадающих по направлению с векторами dE1и dE"

подстановки этих результатов в (1.2.52) и несложных преобразований,

Vo7V^T’

Введем угол v12 = — р , дополняющий угол р до прямого угла. Тогда

2

VC11V^22

32

Сравнивая (1.2.54) с аналогичным выражением (1.2.38), устанавли­ ваем безусловную связь якобианов (1.2.14) и (1.2.20)

Таким образом, выполненным анализом установлен физический смысл компонент тензора (1.2.46) и якобиана (1.2.20): диагональные компоненты этого тензора характеризуют изменение линейных разме­ ров окрестности движущейся материальной частицы, боковые компо­ ненты определяют изменение угловых размеров этой окрестности, а якобиан преобразования координат равен отношению ее исходного объема к его текущему значению.

Отметим идентичность физического смысла соответствующих компонент тензоров (1.2.28) и (1.2.46), а также якобианов (1.2.14) и (1.2.20). Все эти величины характеризуют состояние одного и того же процесса движения окрестности материальной частицы, отличного от поступательного движения и жесткого вращения. Различие этих харак­ теристик состоит лишь в том, что их вычисление с помощью одних и тех же параметров dL и dE осуществляется в разных отсчетах. Несмот­ ря на это, расчет инвариантных параметров движения окрестности ма­ териальной частицы приводит к одинаковым результатам. Наиболее наглядно, например, это демонстрируется идентичностью условия по­ стоянства объема в обоих множествах координат.

При анализе движения окрестности часгицы удобно вместо тензо­

В связи с тем, что в (1.2.57) постоянный сомножитель перед скоб­ ками и единичный тензор не вносят дополнительной физической ин­ формации, физический смысл компонент Ец и С# полностью совпадает. По аналогии с компонентами тензора (1.2.46) диагональные компонен­ ты тензора (1.2.57) называются линейными конечными деформациями тензора Л.Эйлера, а его боковые компоненты - сдвиговыми (угловыми) конечными деформациями тензора Л.Эйяера.

Тензор (1.2.57) можно представить в виде функции вектора пере­ мещения. Для этого из (1.2.17) находим

Подстановкой (1.2.58) в (1.2.46), учитывая, что в эйлеровых коор­ динатах V®E=E®V=Т8, из (1.2.57) получим

т

34

Рассмотренные здесь и в п. 1.2.2 теории называются теориями ко­ нечных деформаций.

В заключении этого пункта рассмотрим вычисление полной произ­ водной интегральной тензорной величины по времени в эйлеровых коор­ динатах.

Пусть некоторая тензорная величина определяется соот­ ношением

где Об - объем тела М к моменту времени t, который в начальный мо­ мент времени to имел значение QL.

п

Требуется н а й т полную производную тензора Тъ по времени t с

ПП

учетом того, что Та = Та(£,,П и Ое=Ое(0-

Используя правило дифференцирования произведения двух функ-

п

ций Та(£рМ и яПе(0, имеем

Пn

Прежде чем раскрыть содержание второго слагаемого в правой части уравнения (1.2.61), установим связь между элементарным объе­ мом dClh малой окрестности материальной частицы т еМ в виде пря­ моугольного параллелепипеда и объемом dSlе окрестности этой же час­ тицы в произвольный момент времени X.

Вследствие выполнения закона сохранения материальных частиц (1.2.10) исходный материальный объем dClL= dh\dL 2d h $ m зависит от времени, т.е.

= 0.

Поэтому после дифференцирования (1.2.38) по времени получим

(1-2.62)

dt dt ^

Из (1.2.14) следует, что якобиан JL полностью определяется компо­ нентами градиента (1.2.13) вектора dE, полная производная которых по времени с учетом (1.2.10), (1.2.15) и (П1.90) имеет вид

35

dEm

Упражнение 1.2.2. Используя (1.2.63), доказать справедливость следующей связи якобиана (1.2.14) и вектора скорости V

Подстановкой (1.2.64) в (1.2.62) с учетом (1.2.38) получим соотно­ шение

dt

которым воспользуемся в формуле (1.2.61) для получения окончатель­ ного вида полной производной интегральной топорной величины по времени:

Физический смысл полной производной по времени t тензора Ть» по-

п

лучаемого интегрированием по объему Пе другого тензора Та, стано­ вится более ясным после некоторых преобразований подынтегрального выражения в (1.2.66).

Сначала преобразуем формулу (П 1.91) с учетом х}= Е} и (1.2.15):

пп n

Эта формула позволяет вычислять полную производную тензорно­ го поля по времени в эйлеровых координатах. Затем, учитывая, что

применяя формулу М.В.Осгроградского~К.Гаусса (П 1.103), получим

&Е

3*

n

Теперь ясно, что изменение Ть за время dt в общем случае может происходить по двум причинам: 1) вследствие изменения во времени

п

тенора Та; 2) вследствие изменения во времени объела </Ое окрестно­

сти материальной частицы.

п

В первом случае за время dt тен ор Ть получит приращение в виде первого слагаемого (1.2.68), умноженного на dt, а во втором - за счет прохождения сплошной среды со скоростью V через поверхность dS с единичной внешней нормалью и за это же враля в виде второго слагае­ мого в (1.2.68), умноженного на dt.

1.2.4. Тензор малых деформаций

Деформация окрестности материальной частицы называется малой

В этом случае нет значимого различия между эйлеровой и лагранжевой координатами, проявляющегося в отличии, в общем случае, между компонентами тензоров конечной деформации (1.2.42) и (1.2.59). При выполнении условия (1.2.69) эти топоры с точностью до величин V®u-u®V второго порядка малости по сравнению с тензором искаже­ ния u®V совпадают. Эго позволяет использовать обобщенное безотно­ сительное множество координат х, (рис. 13) вместо L, или Е, с операто­ ром У.Р.Гамильтона в виде (П1.74). В отличие от рассмотренных в п.п. 1.2.2 и 1.2.3 теорий конечных деформаций, построенная на допущении (1.2.69) теория называется теорией малых деформаций. В рамках этой теории ДС окрестности точки характеризуется тензором малых дефор­ маций (в дальнейшем - просто тензором деформаций)

который получается из топоров конечной деформации (1.2.42) или (1.2.59) опусканием, вследствие малости, квадратичных слагаемых, и заменой лагранжевых L, или эйлеровых Е, координат соответственно на обобщенные координаты х? Запись (1.2.70) топора малых деформа­ ций через перемещение называется кинематической формулой О.Коиш.

37

Рассмотрим движение двух материальных частиц mi, m2 (рис. 6) и разложим матрицу тензора искажения в (1.2.6) на симметричную (П.1.49) и альтернативную (П1.50) части. Тогда вектор искажения (1.2.6) представляется в виде

Видно, что симметричная часть тензора искажения точ­ но совпадает с тензором малых деформаций (1.2.70). Альтер­ нативная часть Тштензора ис­ кажения в (1.2.71), называе­ мая тензорам поворота, свя­ зана с вращением, что под­ тверждается соотношением (V ® u-u ®V)*</x = (V xu)xrfx, совпадающим с точностью до символики с тождеством (П1.86) с учетом (П1.84). Зна­ чит, симметричная часть тен­ зора искажения u®V характе­

ризует малую деформацию в окрестности материальной частицы, а альтернативная часть - вращение:

Физический смысл компонент тензора малых деформаций стано­ вится ясным, если их рассматривать как часты й случай компонент тензоров (1.2.42) и (1.2.59) при условии (1.2.69). Поэтому диагональные компоненты тензора малых деформаций называют линейными дефор­ мациями, а боковые компоненты - сдвиговыми деформациями или де­ формациями сдвига.

Из формулы (1.2.33) с помощью (1.2.28), (1.2.40), (1.2.42) в коор­ динатах Xj получим приближенное значение относительной дефор­ мации

Здесь второе слагаемое под знаком радикала опускается как вели­ чина второго порядка малости по сравнению с первым слагаемым. Аналогичный вывод с помощью (1.2.46), (1.2.57) и (1.2.59) при тех же допущениях получается, если использовать формулу (1.2.51)

38

между недеформированными волокнами в процессе движения преобра­ зуется в прямой, то поворот волокон происходит в одном направлении. Если же острый угол между волокнами после деформации получается из прямого угла, то поворот осуществляется в обратную сторону. Та­ ким образом, в рассматриваемом случае y$=-Vg и абсолютные значения боковых компонент тензора малых деформаций в обоих случаях сов­ падают.

Тензор малых деформаций поворотом координат можно привести

где главные деформации е, определяются из (П1.58) и удовлетворяют со­ отношению (П1.62):

где в0 =-$- - средняя деформация (П 1.55). Ясно, что условие постоянст­ ва объема (1.2.39) в данном случае имеет вид во= 0 или

Отличие знака в этом выражении от знака в (1.2.80) опять перено­ сится в теорию малых деформаций из материального и пространствен­ ного представлений движения в теории конечных деформаций.

Из (П1.54) с помощью среднего значения ео тензора Те определяем

40