книги / Механика сплошных сред Теорет. основы обраб. давлением композитных металлов

Приведенная выше задача о движении линейно-вязкой среды по­ зволяет с помощью (1.5.116) и (1.5.118) рассчитать потенциал (1.5.130) для композитной среды

Лр2£ 2

(1.5.131)

а с помощью (1.5.116) и (1.5.121)- дня эффекгивного-модуля

Подстановкой (1.5.131) и (1.5.132) в (1.5.129), на основании теории эффективного модуля, имеем

Так же как и ранее (1.5.124)...(1.5.12б), эффективные свойства (1.5.133) позволяют в частном случае получить точное значение напря­ жений (1.5.116), но они не дают достоверной информации о характере распределения кинематических параметров. В более общих случаях теория эффективного модуля не позволяет оценить достоверность рас­ чета параметров НДС. Однако можно показать, что с помощью энер­ гетических потенциалов удается произвести оценку области изменения характеристик эффективных модулей, внутри которой находится точ­ ное решение. Границы такой области называют “вит ой”.

Для приближенного определения эффективных характеристик гетерогенных сред, кроме приведенного, существует много других энергетических методов. К ним, в частности, относятся принцип ДжшДшЭшелби, двухсторонние оценки по методу В.Фойгта-А.Рейсса или по методу З.Хашина- С.Штрикмана и др. Два последних метода связаны с применением вариационных принципов МСС и будут рас­ смотрены ниже.

Сущность принципа Дж.Д.Эшелби состоит в замене интегрирова­ ния по объему при вычислении энергии деформирования упругих сред интегрированием по поверхности. Предположим, что сплошная среда М =AfaU3fp состоит из матрицы (окружения) М а и включения ЛГр, а параметрами НДС при упругом деформировании этого тела являются тензор напряжений Та и тензор деформаций Те.

Определим энергию внутренних сил деформирования гетерогенно­ го тела с учетом соотношения (1.4.50)

171

Если же эту область будет занимать только среда окружения М а, то при прочих равных условиях параметрами НДС будут тензоры Т° и

Полагая, что для обоих тензоров напряжений Т„ и Т ®выполняет­ ся уравнение равновесия (1.4.18), к правой части (1.5.136) можно доба­

Применяя здесь к объемному интегралу формулу М.В.Остроградского - К.Гаусса (П1.103), с учетом формулы О.Коши (1.3.13) имеем

где a" = a j - поверхностные напряжения гетерогенного и гомогенного тел соответственно.

Теперь рассмотрим тело М а отдельно без включения. Очевидно, что внешнее по отношению к М л воздействие тела включения Л/р сле­ дует представить множеством сил на поверхности Б ф а внутренние па­ раметры НДС такого тела, используя принцип суперпозиции, можно записать в виде

Т „*Т ® + Т ';

172

где т / ,т / , - параметры НДС, возникающие в теле М л, свободного от внешнего воздействия, приложенного к телу М . Энергия внутренних сил тела М а, где Int° определяется формулой (1.5.135) и

In t' = / Т ' Т / dQ,

Здесь UINT учитьшает энергию взаимодействия двух схем НДС среды М а, помещенной в объеме Г2а=£Ж1р, где Qp - объем тела включения Мр. Для упругих тел, свойства которых описываются соотношением (1.5.1), энергию удобно записать в ином виде.

Формула М .В.Остроградского-К.Гаусса (П 1.103) при выполнении для Т° уравнения равновесия (1.4.18) из (1.5.145) с помощью формулы

Если формулу (1.5.139) применить к телу М а, то вместо в следует подставить перемещение в , определяемое из (1.5.140).

В этом случае

173

Сравнивая (1.5.146) и (1.5.147), имеем

Для окончательной записи результата представим U IN T (1.5.145) в виде суммы интегралов по областям Да и Др

где знак минус учитывает силовое взаимодействие (1.4.34) тел окруже­ ния и включения в объемах Д* и Др соответственно. Так, как о } = 0 на на S, то

Вместо перемещения и напряжения <?/ подставим их значения, по­ лучаемые с помощью (1.5.140)

Изначально предполагалось, что 5 } = а" и а = о. Поэтому

174

Подстановкой (1.5.154) в (1.5.148) получаем окончательный ре­ зультат, представляющий собой формулу Дж Д.Эшелби при заданных статических граничных условиях гетерогенного тела

(1.5.155)

Формула (1.5.155) получена для гетерогенного тела с заданными статическими граничными условиями в напряжениях.

Упражнение 1.5.17. Доказать, что при заданных кинематических граничных условиях в перемещениях формула Дж.Д.Эшелби имеет вид

(1.5.156)

Таким образом, при определении общей для гетерогенного тела внутренней энергии деформирования интегрирование по объему с по­ мощью формул (1.5.155) и (1.5.156) можно заменить частичным интег­ рированием по поверхности, что значительно упрощает исследования гетерогенных.сред.

Кроме приведенных примеров отметим еще несколько способов определения эффективных характеристик композитов.

Наиболее простым является метод вириалкного разлож ения, ос­ нованный на разложении эффективных характеристик в ряд по кон­ центрации одной из компонент композита. При этом объемная доля содержания такой компоненты в композите должна быть достаточно мала.

При описании поведения поликристаллических материалов, в ко­ торых скачкообразное изменение свойств при переходе от одной точки к другой связано с ориентацией кристаллитов, А.В.Хершей и Е.Кренер использовали метод самосогласования, в котором каждый анизотроп­ ный кристаллит рассматривается как шар или эллипсоид, включенный в бесконечную гомогенную среду с неизвестными свойствами. Такая комбинация тел подвергается однородному внешнему воздействию на значительном расстоянии от включения. Затем средние параметры во включении приравниваются (согласовываются, с чем и связано назва­ ние метода) значениям параметров приложенного к системе внешнего воздействия. В результате получается система уравнений, которая оп­ ределяет свойства эффективного модуля.

При решении некоторых задач могут оказаться полезными методы механики смеси, которая по сути является механикой набора сплошных сред. Так, для многокомпонентной сплошной среды уравнение нераз­ рывности в эйлеровых координатах имеет вид (1.4.7), который с помо­ щью (П1.91) может быть преобразован

175

Если эффективную плотность смеси представить в виде

где масса т смеси в рассматриваемом объеме равна сумме масс та ком­

Уравнение (1.5.157) совпадает с уравнением (1.4.5) для гомогенных сред, если ввести понятие эффективной скорости в соответствии с предложениями Л.И.Седова

Pa=l

Механика смеси позволяет учитывать явления, связанные с хими­ ческими реакциями, ионизацией и диффузией, происходящими внутри композитного тела.

При химической реакции и ионизации допускается изменение мас­ сы компоненты

<х=1

В этом случае уравнение неразрывности тела М а имеет вид

где Ха - изменение массы тела М а в единицу времени на единицу объе­ ма вследствие химической реакции или ионизации.

С помощью эффективного значащ а скорости (1.5.159) в общем случае с учетом химического взаимодействия компонент и процессов диффузии уравнение неразрывности (1.5.162) записывается в виде

176

(1.5.163)

%at + * . ( р аУа ) = Ха-?-1а1

где вектор потока диффузии

удовлетворяет условию

N

Zia=o. (1.5.165)

a = l

В заключение раздела отметим, что многообразие применяемых композигаых металлов и видов изделий из них, постоянное их увеличе­ ние, связанное с потребностями различных отраслей науки и техники, по-видимому, не позволяют, по крайней мере, в ближайшее время, раз­ вить сколько-нибудь общую теорию построения эффективных модулей, пригодную для произвольного сочетания компонент композита. В от­ дельных случаях, как было показано, удобно применять те или иные способы оценки эффективных свойств и с этой точки зрения, очевидно, полезно в дальнейшем развивать теории расчета эффективных характе­ ристик КМ. Наиболее перспективными представляются методы, позво­ ляющие учитывать индивидуальные особенности каждой компоненты КМ, если не для произвольного их сочетания, то хотя бы для опреде­ ленных классов КМ, например, многослойные, волокнистые, армиро­ ванные и т л .

Контрольные вопросы

1. Какова роль тензоров состояния при описании механических свойств анизотропных материалов?

2. По каким признакам специальные типы анизотропии объединяются в кристаллографические классы, системы?

3.Как описываются механические свойства анизотропных сред?

4.Какие среды называются трансверсально изотропными, ортотропными,

изотропными?

5.Какие уравнения называются определяющими? В чем суть принципов детерминизма, локального действия и материальной независимости от системы отсчета?

6.Что такое М -образец и какие условия должны выполняться при прове­ дении М-опытов?

7.В чем суть математической постановки краевых задач и какова роль в ней определяющих уравнений?

8.Каким образом осуществляются кинематическая и статическая поста­ новки краевых задач? В чем особенность постановки температурных задач?

177

9. Как строятся диаграммы механического состояния металлов? Какие способы испытаний наиболее часто используются для определения механиче­ ских свойств металлов?

10.5 чем суть гипотезы единой кривой и как она используется при реше­ нии задач ОМД?

11.Как с помощью диаграммы механического состояния металла опреде­ лить предел текучести при заданной остаточной деформации? Что называется деформационным и вязким упрочнением?

12.Как записывается условие пластичности для изотропных сред?

13.Какие модели пластичных сред используются для приближенного опи­ сания поведения металлов при пластической деформации?

14.В чем особенность записи условий пластичности для анизотропных

материалов?

15.В чем суть скольжения и двойникования? Что называют плоскостью, направлением и системой скольжения?

16.Перечислите способы оценки эффективных свойств КМ. В чем их суть?

Что такое эффективный модуль?

17. В чем особенности решения задач механики смеси?

178

2.1. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ СПЛОШ НЫХ СРЕД

Теоретическое развитие законов дви­ жения тел - проблема настолько интерес­ ная» что она привлекла к себе внимание всех самых выдающихся математиков...

У.Р.Гамильтон

2.1.1. Принцип Ж. Лагранжа

В основе рассматриваемого вариационного принципа лежит метод виртуальных кинематических параметров» представляемых для различ­ ных задач либо полем перемещений а и связанным с ним по формуле О.Коши (1.2.70) тензором деформаций Те, либо полем скоростей V и связанным с ним по формуле Дж.Стокса (1.2.137) тензором скоростей деформаций Т^. Векторные поля (а или V) обозначим через Ь, а соот­ ветствующие им тензорные поля (Тс или Т$) - через Та.

Сначала предположим, что на части SCTповерхности S тела М с объемом Q заданы статические граничные условия (1.3.50), а на частях Sb1 Spb и Si» если таковые имеются, заданы нулевые кинематические (Ь" = 0, 1^ = 0 и Ьт= 0 соответственно) граничные условия. На трех по­ следних частях поверхности S статические граничные условия в общем случае могут быть отличны от нуля. По сути типы оговоренных меха­ нических граничных условий определяют класс задач, решаемых рас­ сматриваемым ниже вариационным методом, область применения ко­ торого будет расширена в конце этого пункта.

Для замкнутой поверхности S запишем вариацию мощности при b = V (работы при Ь = п) поверхностных сил, развиваемой на вариации

кинематических параметров j o n •SbdS'. Так, как статические парамет- s

ры на поверхности S считаются заданными, то их вариация равна ну­ лю. Используя формулу О.Коши в статике (1.3.13) и (П. 1.103), запишем

179

Тогда по аналогии с (1.4.29) и (1.4.30), уч и твая, что Тст-V®5b = Т^-8 Та, правую часть соотношения (2.1.1) можно изменил»

Для простоты изложения будем считать инерционные и массовые силы пренебрежимо малыми. При произвольном тензоре напряжений в (2.1.3) уравнение равновесия (1.4.18) в общем случае будет давать неко­ торую невязку, отличную от нуля. Интеграл по объему П от скалярно­ го произведения этой невязки на вариацию тензора Т» (2.1.2) обозна­ чим через 8Лл. В этом случае из (2.1.3) получим

С помощью потенциала Пь (1.5.128) или (1.5.130), вариация которого

учитывая, что в поверхностном интеграле заданные напряжения не свя­ заны с вариацией кинематических параметров и знак вариации может быть вынесен за знак этого интеграла, из (2.1.4) имеем

Отсюда с точностью до несущественной, неварьируемой фунции J„ = J n b< /n - Ja " - b rfS .

оs

Полученный функционал Ja называется функционалам Ж Лагранжа, а вариационный принцип, связанный с поносом минимума этого функционала, - вариационным принципом ЖЛагранжа.*

* В том случае, когда вектором b является вектор скорости V, этот функционал ино­ гда называют функционалом Журдена.

180