книги / Механика сплошных сред Теорет. основы обраб. давлением композитных металлов

при безмашинном определении координат цеш ра кривизны, так и при расчете их на ЭВМ. Наиболее просто и приемлемо для практических расчетов координаты цеш ра валка можно найти, если центр кривизны граничной линии тока определять в точке пересечения этой линии с осью абсцисс X). Тогда подстановкой в (2.3.22) значения ординаты х2 = 0 на оси абсциссы найдем координату х \-Н - т точки пересечения, где

AQ+AI

В точке Х \-Н -т \ х2=0 вычислим радиус кривизны граничной ли­ нии тока, которая контактирует с рабочим валком, и приравняем его радиусу валка

dx2 "]2' —2

1+

[Лс, J

d 2Xj dx12

где, как результат дифференцирования (2.3.22), имеем

Подстановкой этих производных в предыдущую формулу получим

231

х с = Н ± г+

2Нс2

(2.3.27)

С помощью формул (2.3.22) и (2.3.27) построены варианта облас­ тей с различными коэффициентами вытяжки (2.3.18) и радиусами вал­ ков (2.3.25), соответствующие процессам прокатки (рис. 71).

Рис. 71. Изменет е области течет* металла ц* прокаткеа зависимости от масштабного фактораН

Из теории прокатки известны безразмерные параметры, опреде­ ляющие процесс прокатки с геометрической точки зрения. К таким па­ раметрам относятся:

относительная деформация

K ~ h \ , i .

(2.3.28)

отношение длины геометрического очага деформации 1д к средней толщине раската hep

(2.3.29)

где £а =уЛАЛ+0,25ДЛ2 ; A/i = 0,5(/»o+/»i)

232

и отношение высоты подката йо к диаметру валка £>в= 2R

(2.3.30)

Легко показать, что из трех параметров e ; m n q независимыми яв­ ляются только два. Достаточно знать любые два из них и хотя бы один линейный параметр, например йо, чтобы полностью определить другие основные линейные размеры геометрического очага деформации про­ цесса прокатки.

Поле скоростей (2.3.17) непосредственно не зависит от параметров (2.3.27) ...(2.3.29). Все его геометрические параметры полностью опре­ деляются коэффициентом вытяжки X (2.3.14) или относительной де­ формацией (2.3.27) и шириной полосы 2Н, в которой осуществлена су­ перпозиция. Из рис. 71 следует, что при X= const (е= const) изменением величины Н можно получить необходимое отношение (2.3.29) или (2.3.28) . При этом как бы изменяется масштаб всей картины течения. Поэтому параметр Н назван в построенном KB-поле скоростей (2.3.17) масштабным фактором.

Контрольные вопросы

1.В чем суть метода склейки разрывных полей скоростей?

2.Какие поля скоростей и в каких областях можно построить с помощью

интеграла К.Шварца-Э.Кристоффеля?

3.Каково назначение вспомогательного множества координат?

4.Перечислите свойства интеграла К.Шварца-Э.Кристоффеля.

5.Что называется нормировкой интеграла К.Шварца-Э.Кристоффеля?

6.Перечислите основные этапы построения комплексного потенциала в

полигональной области с помощью интеграла К.Шварца -Э.Кристоффеля.

7.В чем преимущества и недостатки метода склейки разрывных полей скоростей по сравнению с методом интеграла К.Шварца-Э.Кристоффеля?

8.В чем суть суперпозиции гармонических течений?

9.Какие гармонические течения называются простейшими?

10.Назовите основные этапы построения для процесса прокатки основно­ го поля скоростей методом суперпозиции гармонических течений.

11.В чем преимущества и недостатки метода суперпозиции гармонических

течений по сравнению с методом интеграла К.Шварца-Э.Кристоффеля?

12. Как использовать склеенные разрывные и непрерывные гармонические поля скоростей для построения скорректированного поля скоростей?

233

П1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

П1.1. ТЕНЗОРЫ В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ

В большинстве случаев, там где нет специальных оговорок, все понятия рассматриваются в правом, прямоугольном, декартовом множестве осей координат и термин "тензор" обычно будет означать "декартов тензор"1.

Прежде чем дать определение тензора, вспомним некоторые сведе­ ния из векторной алгебры, обобщение которых приведет к понятию тензора произвольного ранга.

Втрехмерном пространстве, определяемом тремя отрезками ек (ор­ тами) единичной длины, направленными по координатным осям х к, вектор а считается заданным, если заданы три его проекции (компо­ ненты) акна направления к-тых ортов2 а = акек.

Ввекторной алгебре определены два типа умножения вектора на вектор:

скалярное

и векторное

С помощью скалярного произведения (П1.1) введено понягае нор мы (модуля) вектора а:

Если норма вектора равна нулю, то такой вектор называется нулевым, а если единице, то единичным или нормированным. Нулевой вектор не имеет направления.

В формуле (П1.2) символ ТЛеви-Чивш пы равен единице при четной (123, 231 или 312) круговой перестановке численных значений индексов символа, минус единице - при нечетной (обратной 132, 321 или 213) их перестановке и нулю - во всех остальных случаях, когда хо­ тя бы два любых из трех индексов символа принимают одинаковые чис­ ленные значения:

1В учебнике вместо понятия "система координат” используется "множество (осей) координат.

2Во всем п р и л о ж е н и и , как и в основном тексте учебника применяется правило А Эйнштейна и исключение из него А.И Лурье (см. список принлы х обозначений и со­ кращений).

235

Введем понятие обобщенного символа е,.„* Т.Леви-Чивиты произ­ вольного ранга т с т индексами. Каждый из таких символов также, как и обычный символ (П1.4), может принимать только три значения +1, 0, -1. При одинаковых цифровых значениях хотя бы двух любых индексов обобщенный символ Т.Леви-Чивиты произвольного ранга равен нулю.

Если в символе Т.Леви-Чивиты третьего ранга третий индекс за­ фиксировать на цифре три, то получим символ Т.Леви-Чивиты второго ранга

Знаки символов Т.Леви-Чивиты более высокого ранга прямо или опосредованно связаны определенными правилами со знаками символа Т.Леви-Чивиты третьего ранга (П1.4). Для четвертого ранга:

для пятого ранга:

и т.д. Иными словами обобщенный символ ТЛеви-Чивиты произволь­ ного ранга m легко определяется через символ ранга т - 1. При этом, если ранг т - четная цифра и эта цифра в качестве индекса стоит на четной позиции, то знаки символов ТЛеви-Чивигы рангов m и т - 1 совпадают, а в противном случае различаются. Точно так же, если ранг т - нечетная цифра и эта цифра в качестве индекса стоит на нечетной позиции, знаки символов ТЛеви-Чивиты рангов т и т - 1 совпадают, в противном случае - различаются.

Значение символа Т.Леви-Чивиты для МСС показано в основном тексте учебника. Здесь приведем другую полезную область его примене­ ния, связанную с раскрытием определителя произвольного порядка т:

236

В частности, при т = 2 с помощью (П1.5) имеем

при т = 3 :

ит.д.

По определению два вектора а и b называются ортогональными, если их скалярное произведение (П1.1) равно нулю. В частности, орто­ гональность и нормированносп» ортов

можно записать с помощью символа Л-Кронекера 5^, который равен единице при одинаковых численных значениях индексов символа и ну­ лю - при разных:

1 j = k

(П1.13)

* _ 0 j * k '

Векторное произведение (П1.2) коллинеарных векторов а и Ь равно нулю. В противном случае такое произведение дает новый вектор с. Ес­ ли ни один из векторов-сомножителей не является нулевым вектором, то норма векторного произведения равна площади параллелограмма, построенного на сомножителях, как на сторонах, а направлен вектор с перпендикулярно плоскости, содержащей два вектора сомножителя, так, что из его конца кратчайший поворот от первого сомножителя к второму осуществляется в положительном (против часовой стрелки) направлении. В частности, с помощью произведений (П1.1), (П1.2) и (П1.4) записывается более общее, чем (П1.12), условие чормированности, ортогональности и некомлланарности ортов:

Рассмотрим два множества координат х{ и х \ с общим началом: первое с ортами ^ назовем старым, а второе с ортами t \ - новой. Про­ екции (направляющие косинусы) к-тых ортов нового множества на на­ правлениеу'-го орта старого множества обозначим a v. Тогда

237

можно записать как квадратную матрицу ((а^)) третьего порядка на­ правляющих косинусов:

где матричные скобки (двойные круглые) позволяют внешне отличать матрицу от аналогичных выражений, заключенных в алгебраические (одинарные круглые) скобки. Каждая компонента матрицы (число)

находится на пересечении j -той строки и к-го столбца (/= 1.../и; к= 1...п). При п=1 (П 1.18) называется матрицей-столбцом, а при т = 1 -

матрицей-строкой. Если т - п , то (П1.18) называется квадратной мат­ рицей порядка т(п).

В квадратной матрице ком пон ент с одинаковыми численными значениями индексов (j= k) составляют главную диагональ, а сами ком­ поненты называются диагональными. Остальные компоненты матрицы называются боковыми.

Если все компоненты квадратной матрицы, кроме диагональных, равны нулю, то она называется диагональной матрицей. Диагональная матрица, диагональные компоненты которой равны единице, называ­ ется единичной матрицей М6. Ее компоненты записываются с помощью символа Л.Кронекера (П1.13)

М8=((5а )). (П1.19)

238

Упражнение TILL С помощью (П1.15) и (П1.16), используя (П1.12) и (П1.13), доказать справедливость:

свойств компонент строк матрицы косинусов (П1.17)

и свойств компонент ее столбцов

(П1.21)

а с использованием (П1.4) доказать справедливость свойства определи­ теля (П1.11), составленного из компонент матрицы косинусов (П1.17)

Пусть в пространстве задан вектор а с компонентами ак и а) в ста­ ром и новом множествах координат соответственно. Сам вектор в лю­ бых множествах координат остается неизменным, т.е.

а закон преобразования компонент вектора найдем из (П 1.23) с помо­ щью (П1.16)

Соотношение (П1.24) справедливо не только для рассматриваемого трехмерного, но и для любого ^-мерного пространства.

Теперь дадим определение скаляра и вектора с позиции тензорной алгебры.

Тензором нулевого ранга (скаляром) в JV-мерном пространстве на­ зывается математическая величина, характеризуемая одной (№ = 1) ко­ мпонентой "а", которая при повороте множества координат с помощью матрицы косинусов ((а^)) (П1.17) преобразуется по закону

Тензором первого ранга (вектором) в JV-мерном пространстве назы­ вается математическая величина, характеризуемая N (JV1 = JV) компо­ нентами ар каждая из которых при повороте множества координат с помощью матрицы косинусов ((а^)) (П1.17) преобразуется по закону (П1.24).

Величины, которые не меняются в результате какого-либо преоб­ разования, называются инвариантами по отношению к этому преобра­ зованию. В частности, тензор нулевого ранга инвариантен (П1.25) к повороту множества координат.

Упражнение П1.2. Доказать, что величина, определяемая форму­ лой (П1.1), инвариантна к повороту множества координат при выпол­ нении свойств (П1.20) и (П1.21) Э

239

Таким образом, изучаемые в векторной алгебре действия над ска­ лярами и векторами, фактически являются действиями над тензорами нулевого и первого рангов соответственно.

Теперь обобщим два известных из векторной алгебры понятая, на­ званные тензорами нулевого и первого рангов. Это обобщение приво-

(П1.25). Действительно, из (П1.26) при п = 0 (индексы у компонент и

а - Та, а при л = 1 - закон (П1.24) для величин а = Т а .

П

Для новых математических величин Т а сохраним структуру опре­ деления уже известных тензоров нулевого и первого рангов.

Тензором ранга я в ЛГ-мерном пространстве называется математи­ ческая величина, характеризуемая N* компонентами а, ,_к, каждая из которых при повороте множества координат с помощью матрицы ко­ синусов ((ад)) (П1.17) преобразуется по закону (П1.26).

Иногда вместо ранга тензора говорят валентность тензора.

В фиксированном множествее координат всякий тензор характери­ зуется матрицей. В частности, матрица скаляра - одно число (одна строка и один столбец); матрица вектора может быть представлена в виде матрицы-строки или матрицы-столбца; тензор второго ранга (п = 2) имеет квадратную матрицу порядка N\ тензоры более высокого ранга (п>2) имеют более сложные матрицы. Так, в трехмерном про­ странстве (N = 3) тензор третьего ранга характеризуется матрицейкубом. Такая матрица получается, если в центре куба, в центрах его граней, ребер и в вершинах поместить числа. В декартовом множестве координат примером тензора третьего ранга является тензор ТЛеви-

з

Чивиты ТЕ с компонентами (П1.4), которые в соответствии с (П1.26) при повороте множества координат преобразуются по закону

GV* = е тп- 1 -27)

В компактной форме тензор ранга л обозначается в виде:

24*