книги / Механика сплошных сред Теорет. основы обраб. давлением композитных металлов

соотношение (1.5.100) принимает максимальное значение

СТ[ 1+R

(1.5.102)

ат. Vl+2R

*в а х

адеформация становится плоской. Если в (1.5.93) положить аз = 0, то с помощью параметра 0 для <к2можно записать

При одноосном растяжении, когда a 2= a 3; <J\*Q или CTI= CT3; а 2^0, имеем

dz2= 0, что соответствует плоской деформации.

На рис. 46 приведены конгуры пределов текучести, построенные по уравнению (1.5.100). Пересечениям контуров текучести, имеющим различные значения параметра R, с пунктирной линией соответствуют значения параметра |3, рассчитанные по формуле (1.5.101). Отдельные параметры условия пластичности анизотропных теп, определяемые кон­ турами текучести, представленными на рис. 46, приведены в табл. 11.

Рис. 46. Контуры текучести в условиях плоского напряженногосостояния |рн де­ формация листов с осесиммстртюй относительно оси х$ текстурой иля плоско­

стью изотропии

161

При отличных друг от друга значениях параметров Ri и Яг в (1.5.95) получаем

(1.5.105)

Подстановкой этого значения в (1.5.89) с учетом (1.5.96), полагая, что стз=0, получим

Т а б л и ц а 11. Параметры пластического т е ч е т ! транемрсалыи изотропного тела при платком налражавюм о с т а н а м

С помощью (1.5.100) и (1.5.106) можно определить интенсивность касательных напряжений при деформации анизотропных сред

При R\ —R i= 1 формула (1.5.107) с учетом (1.5.73) совпадаете фор­ мулой (1.5.82).

Анизотропия свойств деформируемых металлов может проявлять­ ся по разным причинам. Одной из основных причин является кристал-

162

лическое строение металлов. В зависимости от температуры обработки и типа кристаллической решетки пластическая деформация монокри­ сталла может осуществляться, в основном, двумя способами: скольже­ нием или деойникованием. Скольжение представляет собой относитель­ ное параллельное смещение смежных слоев монокристалла. При этом толщина слоев соизмерима с 1 мкм, а расстояние между соседними атом­ ными плоскостями составляют порядка 10~4 мкм. Предполагается, что внутри каждого слоя пластическая деформация отсутствует (рис. 47).

Рис. 47. Схемаосуществленияпластическойдеформации скольжением

Двойникование представляет собой перемещение атомных плоско­ стей параллельно некоторой плоскости, называемой плоскостью двойникования, на величину, пропорциональную расстоянию между плос­ костью двойникования и рассматриваемой атомной плоскостью (рис. 48). При этом ребра кристаллической решетки, наклоненные сначала к плоскости двойникования под углом а, после двойникования повора­ чиваются на угол 180°-2а.

гваг-а*.

Рис. 4>. Схем»ty e c m iW M пли п н ициДдгфчиичи W >B W >W M

Скольжение в монокристаллах осуществляется по определенным кристаллографическим плоскостям, которые называются плоскостями скольжения. Обычно такими плоскостями являются плоскости с наи­ большей плотностью размещения атомов. В этих плоскостях имеются направления, в которых межатомные расстояния имеют минимальную величину. Такие направления называются направлениями скольжения. В совокупности плоскости и направления образуют систему скольжения.

163

Например, в металлах с решеткой типа К12 (табл. 1) систему скольже­ ния обычно образуют плоскости типа (1 1 1) и направления типа [1 0 1]; в металлах с решеткой типа Гб эту систему могут образовывать плос­

кости типа (0 0 0 1) и направления типа [2110] в металлах с решеткой типа К8 - плоскости типа (1 1 0) и направления типа (1 1 1] (рис. 33). Параметры систем скольжения могут зависеть от температуры. Так, при комнатной температуре для металлов с решеткой типа Г12 система скольжения включает плоскости типа (0 0 0 1), а при температуре, пре­ вышающей 480К, появляется дополнительная возможность скольжения в плоскостях типа (1011) или (1 0 1 2).

чаще - при деформиро­ вании ударом. Этот способ пластической деформации наиболее харак­ терен для металлов с решеткой типа Г12 (рис. 49).

При скольжении у металлов значения пределов текучести при ис­ пытаниях на растяжение и сжатие почта одинаковы, так как этот спо­ соб пластической деформации практически инвариантен к направле­ нию приложенной силы. При двойниковании значения пределов теку­ чести одного и того же металла существенно зависят от знака прило­ женной нагрузки: плюс при растяжении и минус при сжатии. Это объясняется тем, что двойникование может происходить лишь при оп­ ределенном направлении прикладываемого усилия, а при обратном - отсутствовать. Например, пределы текучести магния при растяжении и сжатии могут отличаться в два раза.

Другой причиной анизотропии свойств деформированных метал­ лов является неодинаковость пластической деформации в различных направлениях деформируемого объема. Такой тип анизотропии будем называть деформационным. Он проявляется не только в моно-, но и в

164

поликристаллических телах. Так, неодинаковость деформации удлине­ ния и уширения при листовой прокатке металла приводит к соответст­ вующей анизотропии свойств прокатанной продукции.

1.5.9. Оценка эффективных свойств композитных сплошных сред

Прежде чем приступить к изложению различных концепций оцен­ ки эффективных свойств гетерогенных материалов, рассмотрим реше­ ние одной из простейших задач механики композитных сплошных сред, имеющее для дальнейшего изложения важное методическое значение.

Условие задачи. В прямолинейной полосе длиной

шириной 2 hi(-hi£ E 2 lh i) под действием постоянного во времени пере­ пада давления A p= pi-рг (для определенности считаемpi> pi) на длине I движется в направлении оси Е\ многослойная линейно-вязкая, изо­ тропная, несжимаемая среда с определяющим уравнением (1.5.35) в ка­ ждом /-том слое. Кроме того, предполагается, что среда каждого слоя является однородной. Требуется определить параметры НДС (тензоры напряжений Т„, скоростей деформаций Т^) в области движения много­ слойной среды (рис. 50).

Рис. 50. К решению задач! о движемм в (фямолие^юй полосе многослойной линейновязкойсреды (I,П,Ш,... -областидвижениясредсодинаковымисвойствами)

Математическая постановка задачи. О тчала запишем замкнутую систему уравнений относительно неизвестных параметров движения

165

среды. В качестве исходного используем уравнение (1.5.37). В нем для плоского течения в плоскости EiEi принимаем Ьъ - Еъ. Тогда, исключая в (1.5.37) среднее напряжение сто, для линейно-вязкой среды при функции состояния ц.*= const из (1.5.41) без учета массовых и инерционных сил получаем, что функция тока должна быть бигармонической (П2.62):

т.е. имеем одно дифференциальное уравнение с одной неизвестной ве­ личиной.

В связи с тем, что область течения симметрична относительно оси Ei, а среда в каждом (-том слое изотропна и однородна, движение в этой области должно быть направлено по линии действия приложен­ ных сил (по оси Ei). Иными словами, линии тока в такой области должны быть параллельными оси й и в соответствии с (1.2.105) функ­ ция тока будет зависеть только от одной координаты Ег.

Поэтому (1.5.108) представляется в виде

дЕ*

В связи с тем, что по условию задачи течение среды является ста­ ционарным для искомых параметров течения, запись краевых условий сводится к записи лишь граничных условий.

Для замкнутой относительно *Р системы (1.5.109) кинематические граничные условия запишем в скоростях, учитывая свойство линейно­ вязкой среды прилипать к границам:

где 5 MC - межслойная линия тока i-го и Н-1-го слоев. Статические гра­

ничные условия заданы только на левой и правой границах области движения многослойной среды (рис. 50)

Ниже будет показано, что кинематические граничные условия (1.5.110) позволяют найти поле скоростей с точностью до константы, которая определяется интегрированием уравнения равновесия с по­ мощью статических граничных условий (1.5.111).

Таким образом, на верхней и нижней границах области течения среды (рис. 50) и на межслойных линиях тока заданы кинематиче-

166

скис граничные условия, а на левой и правой границах - смешанные граничные условия. Теперь можно приступить к решению постав­ ленной краевой задачи.

Решете задачи. Уравнение (1.5.109) легко интегрируется и с учетом граничных условий (1.5.110) с помощью (1.2.105) находим компоненты вектора скорости

Ч J

где Ао= Л1;7 ^ —1.

. Константы а, определим путем интегрирования уравнения равно­ весия (1.4.18) с учетом статических граничных условий (1.5.111). По формуле Дж.Стокса (1.2.137) поле скоростей (1.5.112) позволяет опре­ делить компоненты тензора скоростей деформаций для г-го слоя

(1-5.113)

щ

которые, в свою очередь, с помощью определяющего уравнения (1.5.35) позволяют рассчитать компоненты девиатора напряжений

где ц* - коэффициент вязкости /-ой среды. В связи с тем, что диаго­

нальные компоненты девиатора напряжений s*n = s\2 =0, для тензора

•• •

напряжений имеем ст{, = а 21 = ст{,. Теперь, с учетом последнего соот­

ношения в (1.5.114) из (1.4.18), используя граничные условия (1.5.111), находим константы интегрирования уравнения (1.5.109)

и компоненты тензора напряжений в области движения многослойной среды

Подстановкой (1.5.115) в (1.5.112) получим поле скоростей

ш

(1.5.117)

а в (1.5.113) -компоненты тензора скоростей деформаций

Таким образом, получили точное решение (1.5.116) и (1.5.118) за­ дачи о движении многослойной линейно-вязкой среды в прямолиней­ ной полосе под действием перепада давления Ар.

Если в расчетной схеме (рис. 50) принять hi = Л и h,= 0 при О 1, то получим, как частный вариант, известное в гидромеханике решение аналогичной задачи о движении во всей области однородной линейно­

вязкой среды, для которой |1* = ц .

В этом случае единственная отличная от нуля константа интегри­ рования уравнения (1.5.109) а,=а имеет вид

Aph2

(1.5.119)

2\i*t

Соответствующим образом изменятся компоненты вектора скорости

и компоненты тензора скоростей деформаций

а напряжения (1.5.116) останутся в том же воде. Последнее означает, что в рассматриваемом случае любая аппроксимация свойств линейно­ вязкой среды для получения точных значений компонент тензора на­ пряжений эффективна, так как при любых значениях коэффициентов

вязкости \i* у в том числе и при замене многослойного течения одно­

родным течением ( ц* = ц*), в результате решения задачи имеем точные значения напряжений в виде (1.5.116).

Теперь потребуем сохранения потока среды при замене много­ слойного течения с коэффициентом вязкости рГ каждого слоя течением

16$

однородной среды с эффективной в этом смысле вязкостью *Для

многослойного течения такой поток равен сумме потоков каждого из

Аналогичный поток однородной среды с эффективными свойствами получим с помощью поля скоростей (1.5.120), где вместо ц* нужно под­ ставить ц*эфф:

(1.5.123)

Приравнивая (1.5.122) и (1.5.123), находим

2h3

Рэфф = (1.5.124) 3 2 ,'

Упражнение 1.5.15. С помощью (1.5.118) и (1.5.121) показать, что эффективные свойства однородной среды, при течении которой сред­ няя по сечению полосы скорость деформации совпадает со средней в этой же полосе скоростью деформации многослойного течения, определяюттся функцией состояния

Мц*

При реализации некоторых проблем удобно использовать усред­ ненные по объему свойства композигаой среды.

В рассматриваемом случае такое усреднение необходимо провести по высоте полосы

5 > * (л ,-л ,+1)

* (=1 _____

йэфф = (1.5.126) h

169

Критерием получения эффективных свойств гомогенной среды вместо свойств гетерогенной может служить равенство энергетических затрат при движении обеих сред при прочих равных условиях.

Таким образом, при замене гетерогенных сред гомогенными эф­ фективность свойств последних определяется критерием замены. Так, если в рассмотренной задаче критерием замены является равенство по­ токов многослойной и однородной сред, то эффективные свойства од­ нородной среды определяются соотношением (1.5.122), (1.5.124); при выдвижении в качестве критерия равенства средних скоростей дефор­ маций - соотношением (1.5.125) и т.п.

Среды с эф ф ективны м и в том или ином смысле свойствами назы­ ваются эффективными модулями. В некоторых случаях удается краевой задаче МСС с определяющими соотношениями композитной среды по­ ставить в соответствии такую же краевую задачу МСС с определяю­ щими соотношениями эффективного модуля. Теория, основанная на определении свойств однородной среды путем решения такой задачи, называется теорией эффективного модуля. Чаще всего такая теория применима для сред с несложными свойствами упругих, вязких компо­ зитов. На основании теории эффективного модуля, в результате реше­ ния двух указанных краевых задач МСС в области движения компо­ зитной среды можно рассматривать движение однородной среды с “размазанными”, как назвал их Б.Е.Победря, свойствами. При этом предполагается совпадение осредненных по объему энергетических по­ тенциалов: для упруго-пластичных сред

170