книги / Механика сплошных сред Теорет. основы обраб. давлением композитных металлов

Отсюда ясно, что сферическая часть тензора малых деформаций характеризует изменение объема. Оставшаяся часть (П1.56), называемая

девиатором деформаций

характеризует изменение формы окрестности материальной частицы. Теперь вектор искажения (1.2.72) можно рассматривать как сумму

трех векторов

характеризующих изменение формы, изменение объема и жесткое вращение окрестности материальной частицы соответственно, где Т« называется тензором жесткого поворота.

В связи с тем, что для Se любое направление осей координат явля­ ется главным, главные направления De совпадают с главными направ­ лениями Те. Отметим, что первый инвариант (П1.60) любого девиатора (П1.56), в том числе и De, равен нулю, а остальные его инварианты в

общем случае отличны от нуля: е1 = 0; е11= - —е^е**,; еш = е^едеуез*.

Известно, что выбор множества осей координат является субъек­ тивным фактором. Однако свобода ее выбора всегда связана с необ­ ходимостью решения поставленной задачи. В некоторых случаях в качестве независимых координат можно назначить компоненты тен­ зора деформации или связанные с ним величины. В частности, в теории малых деформаций удобно применять шестимерное пространство А.А.Ильюишна, в котором параметры движения характеризуются сред­ ней деформацией со (1.2.80) и пятью независимыми компонентами е^- девиатора De деформаций. С помощью замены

Г, =2 e!!Cosfp+-|j- е22sinP ;

для произвольного значения параметра р, независящего от времени, характеристики движения представляются скалярной величиной со и пятимерным вектором Г = Г,еЛМодуль такого вектора

(1.2.87)

называется интенсивностью сдвиговых деформаций.

41

1.2.5. У словие совместности деформаций

Предполагается, что исходное недеформированное в момент вре­ мени to и деформированное в произвольный момент времени t состоя­ ния всегда рассматриваются в евклидовом пространстве. Из геометрии Г.Римана известно, что математически это предположение относитель­ но компонент градиентов (1.2.13), (1.2.19) и компонент тензоров (1.2.28), (1.2.40), (1.2.46), (1.2.57) записывается в виде равенства нулю тензора Г.Римана - Э.Б.Кристоффеля (П1.99) либо в лагранжевых, либо в эйлеровых координатах. Решение задач с использованием таких со­ отношений выходит за рамки излагаемого курса. Для малых деформа­ ций (1.2.70) равенство нулю компонент тензора (П1.99) эквивалентно условию

V2xTe=0. (1.2.88)

На основании (П1.88) подстановка (1.2.70) в (1.2.88) приводит к тождеству. Это означает, что при решении задач МСС в перемещениях нет необходимости проверять выполнение условия (1.2.88), когда тен­ зор деформаций определяется по формуле О.Коши (1.2.70). При раде­ нии же этих задач в малых деформациях на тензор Те должны быть на­ ложены ограничения в виде соотношения (1.2.88), которое называется

условием Б.Сен-Венана или в данном случае условием совместности де­ формаций. С математической точки зрения выполнение соотношения между компонентами тензора деформаций Те в (1.2.88) является необ­ ходимым и достаточным условием интегрируемости системы уравне­ ний О.Коши (1.2.70) относительно компонент вектора перемещения (п. П1.6), которые вычисляются по обобщенной формуле Е.Чезаро (П 1.108) с заменой в ней а на и; ао на ио; ТСо на Tffio и Тъ на Те

где ио и ТшО - значения вектора перемещения и н тензора жесткого по­ ворота Тшсоответственно в начале пути интегрирования при х= х0.

Определение вектора перемещения и по тензору деформаций Те с помощью формулы (1.2.89) удобно лишь тогда, когда этот тензор удов­ летворяет уравнению совместности деформаций Б.Сен-Венана (1.2.88). В противном случае интегрирование может быть трудно выполнимым. Эго является основной причиной редкого применения решения задач МСС в деформациях.

42

1.2.6. П оле скоростей

По определению, скорость перемещения материальных частиц вы­ числяется по формуле 0-2.15). Учитывая (1.2.4) и (1.2.10), вектор скоро­ сти V можно также рассчитать по формуле

dt

дура приводит к тождеству У = Т5*V. Для практики наибольший инте­ рес представляет раскрытие полной производной (1.2.10) с помощью

п

Откуда решая замкнутую относительно компонент V,- вектора ско­ рости V систему, приходим к формуле И.И.Гольденблата

V

где компоненты Д вспомогательного вектора D получаются из яко­ биана (1.2.20) путем замены дифференцирования лагранжевых коорди­ нат по координате Е{ дифференцированием по времени t. Если такую замену дифференцирования выполнить в декартовых координатах, то компоненты вспомогательного вектора будут иметь вцд:

a z ^ a z a .

1 ijk dt дЕ2 дЕ3 ’

п -= dLf dLj dLk

2 'Jk dEx dt dE3 ’

(1.2.93)

3 v* dEl dE2 dt '

Для произвольных координат вспомогательный вектор

43

Подстановкой (1.2.94) в (1.2.92) получим окончательный вид фор­ мулы, предложенный Б.В*Кучеряевым, для определения вектора скоро­ сти по заданному закону движения (1.2.9) в эйлеровых координатах

В частном случае при выполнении (1.2.55) устанавливаем, что в окрестности материальной частицы, движущейся без изменения объе­ ма, поле скоростей должно быть солеиоцдальным

Эго соотношение называется условием несжимаемости сплошной среды. Выполнение условия постоянства объема (1.2.55) приводит (1.2.92) к виду:

В частности, в декартовых прямоугольных координатах такой век­ тор имеет компоненты, совпадающие с точностью до знака с компо­ нентами вектора D в формуле (1.2.93).

Каждая функция L/(Ek,t) в пространстве Ек при фиксированном времени t представляется семейством изоповерхностей L,=const. Ес­ ли две такие функции, например, Li и L i ие зависят от времени

Li —const n L i=const в пространстве Екие меняется по времени. dL дЬ,

преобразуется к виду

44

Ясно, что при выполнении условия (1.2.55), учитывая тождество (П1.85), из (1.2.101) получаем условие несжимаемости (1.2.98). Такое поле скоростей полностью определяется константой vo и двумя функ­ циями Li(£i) и Ьз(Е^\

В гидродинамике обычно одну из лагранжевых координат, напри­ мер Li, связывают с функцией тока Y, совпадающей с L i с точностью до постоянного сомножителя и несущественной аддитивной константы:

Тогда из (1.2.102) с учетом (1.2.103) получим

В частности, при двухмерном течении, когда Ь з-Е з, из (1.2.104) имеем:

Из теории векторных полей известно, что векторной линией назы­ вается пространственная линия, в каждой точке которой касательная к ней совпадает с направлением вектора в этой точке. Векторная линия поля скоростей называется линией тока. Следовательно элемент длины dE линии тока колинеарен вектору скорости V: V х </Е = 0. Отсюда в со­ ответствии с (П1.2) имеем

где dX - скалярный параметр. В скалярной форме (1.2.106) имеет вид

45

Эта соотношения называются дифференциальным уравнением линии тока. Подобно соотношению (1.2.15) уравнения (1.2.106), (1.2.107) пред­ ставим в виде

(1.2.108)

Отличие (1.2.15) и (1.2.108) состоит в том, что в (1.2.15) время t входит как в левую, так и в правую части равенств, а в (1.2.108) - толь­ ко в правую часть. Интегрирование (1.2.15) по времени позволяет рас­ считать траекторию движения материальной частицы - линию, по ко­ торой перемещается эта частица. Таким образом, в общем случае ли­ ния тока и траектория материальной частицы не совпадают. Для ста­ ционарных полейскоростей (1.2.24) время как переменная величина не входит в первую часть соотношения (1.2.15). Поэтому для стационар­ ных течений скалярные параметры dt в (1.2.15)и dkn (1.2.106)...(1.2.108) практически совпадают, что для таких течений приводит к совпадению понятий траектория материальной частицы и линия тока.

Покажем, что в стационарных течениях на линии тока величины *Р и Ьз, входящие в (1.2.104), постоянны. Для этого подставим (1.2.104) в дифференциальное уравнение линии тока (1.2.107).

Упражнение 1.2.5. Показать, что вдоль линии тока величины Y и

Обращение (1.2.109) в тождество может быть связано либо с равенст­ вом нулю дифференциалов 'F и Ьз:

либо с пропорциональностью *F и Ь з. Последнее невозможно, так как в соответствии с (1.2.103) функция *F пропорциональна лагранжевой ко­ ординате Ь\ и вследствие линейной независимости (П2.1) всех коорди­ нат Li функция Y не может быть пропорциональна двум другим лагранжевым координатам, в том числе и Ьз. Следовательно, (1.2.110) яв­ ляется единственным условием обращения (1.2.109) в тождество. Так, как условия (1.2.110) выполняются вдоль линии тока, то это значит, что на этой линии имеем *F= const и Ьз = const, а сама линия тока находится на пересечении изоповерхностей ¥(£,) = const и Ьз (Е^ = const (рис. 14). Изоповерхность *Р= const называется поверхностью тока.

Таким образом, функцией тока называют всякую функцию ¥ ти­ па (1.2.103), принимающую на линии и поверхности тока постоянное значение.

4б

Рис. 14. Линия тока как пересечение поверхноститока 'Р* const с лагранжевой поверхность1) ■const

Рассмотрим несколько примеров построения поля скоростей по заданным законам движения (1.2.9).

Сначала рассмотрим сжатие (осадку) между двумя параллельны­ ми абсолютно жесткими плитами прямоугольного параллелепипеда с исходными размерами Ло, Ло, 1о и текущими размерами Л, Л, I, в котором не происходит изменения объема (hobo£o=tibt) и отношение начальной к текущей ширине равно отношению начальной к текущей длине

Пусть Л= Л(г) - изменение высоты параллелепипеда во времени t, удовлетворяющее начальному условию Л(Го)= Ло- В общем случае при осадке в направлении оси Е\ с увеличением времени t происходит уменьшение текущей высоты Л и соответствующее увеличение размеров b и £. Закон движения (1.2.9) для рассматриваемой задачи может быть представлен в виде:

(1.2.111)

Условия задачи позволяют записать лагранжевы координаты через высотные параметры

47

Тогда для начальных условий имеем: А=Аои Lt=Eh а из граничных условий на гранях параллелепипеда (Li=Ao; Ьг=Ьо\ L i = to и Ei=h; Е г-Ь \ Ei =i) с учетом заданного условия постоянства объема получим:

Определим пространственный градиент деформации (1.2.19)

V 0L =

Далее устанавливаем, что якобиан (1.2.20), составленный из компонент тензора V0L, равен единице и условие задачи о неизменности объема параллелепипеда, выражаемое формулой (1.2.55), выполняется незави­ симо от времени t. Поэтому вектор скорости (1.2.95) должен удовле­ творять условию несжимаемости (1.2.98), а его компоненты в соответ­ ствии с (1.2.99) в эйлеровых координатах Е{ определяются формулами (1.2.93):

Упражнение 1.2.6. Используя соотношение (1.2.111) и условия рас­ смотренной выше задачи об осадке параллелепипеда, построить поле скоростей в лагранжевых координатах L,.

Упражнение 1.2.7. Выполнить расчет компонент тензоров дефор­ мации по теориям конечных (1.2.42), (1.2.59) и малых деформаций (1.2.70). Показать, что во всех случаях поля деформаций являются од­ нородными и не зависят от координат в любой момент времени. По­

48

получаемых при замене конечных деформаций малыми 3 Закон движения (1*2.111) может быть использован для расчета па­

раметров осадки при плоской и осесимметричной деформации.

В первом случае отсутствие движения в одном из направлений, на­

пример Ь ь обеспечивается равенством £=£о и его следствием L i -Е ъ Тогда изменение ширины полностью определяется условием постоян­

ства объема Ь = Ьц— , а закон (1.2.111) принимает вид: h

Во втором случае расчеты удобнее вести в цилиндрических коор­ динатах, для которых в индексированных переменных при подстановке значений индексов вместо цифр 1, 2, 3, как это делалось ранее, следует использовать буквы z, <р, р. При осесимметричной деформации L 9=Er Параметры Ь и Ы в законе движения (1.2.111) обозначим Л и й соот­ ветственно. Тогда, учитывая условие постоянства объема для цилинд­

рического образца (h^Rl = hR2), закон (1.2.111) принимает вид:

(1.2.И6)

Таким образом, закон движения (1.2.111) при А=А(*)£А<> позволяет с помощью формулы (1.2.95) построить нестационарное поле скоро­ стей, соответствующее процессу осадки образца в условиях объемной и двухмерной (плоской или осесимметричной) деформации.

Отметим, что формулы (1.2.111) и их частные виды (1.2.112), (1.2.115), (1.2.116) также можно использовать для построения поля ско­ ростей, соответствующего процессу растяжения образца. Для этого не­ обходимо представить закон А=Л(г) так, чтобы с увеличением времени t происходило увеличение текущей высоты А и соответствующее умень­ шение размеров Ъ и (. В общем случае закон нестационарного измене­ ния высоты образца может быть представлен в виде:

где ДА - абсолютное изменение высоты образца к конечному моменту времени tk] f ( t ) - положительная безразмерная непрерывная функция времени, удовлетворяющая условиям: /(Го)=0 и f(t$ = 1. При решении

49

задач растяжения в правой части (1.2.117) ставится знак плюс, осадки -м инус.

Дня стационарных процессов, как отмечалось ранее, поле скоро­ стей определяется по формуле (1.2.101), а при выполнении условия по­ стоянства объема (1.2.55) - по формуле (1.2.102).

Пусть в (1.2.111) координата Ьг линейно зависит от времени t

=h (Er, Ei) и b = b(Ev,Ei) - зависят только от эйлеровых координат. То­ гда. используя функцию тока в виде (1.2.103), по формуле (1.2.104) для объемного течения в декартовых координатах имеем:

Такое поле скоростей можно использовать для моделирования многих стационарных и квазисгационарных процессов ОМД, в кото­ рых в качестве модели металла допустимо применение сплошной не­ сжимаемой среды. Например, к таким процессам относятся прокатка прямоугольной заготовки в калибрах и в валках с гладкой бочкой (с постоянным радиусом R B валков), прессование и волочение такой же заготовки в профилированный канал матрицы. В некоторых частных случаях, имеющих большое прикладное значение, вид поля (1.2.121) существенно упрощается. Нижеследующая серия упражнении посвяще­ на таким случаям.

Упражнение 1.2.8. Металлическая полоса с поперечным сечением ho х bo пропускается (прокатывается) между двумя вращающимися валка-

so