книги / Механика сплошных сред Теорет. основы обраб. давлением композитных металлов
.pdfгде главные напряж ения а , определяется по стандартной процедуре (П1.58)...(П1.61) и удовлетворяют соотношению (П1.62)
01^02^03. (1.3.19)
Величину
(1.3.20)
вычисляемую По формуле типа (П1.55), называют средним напряжени ем. С точностью до знака эта величина совпадает с гидростатическим давлением (р= -ао) в окрестности материальной частицы. Из (П1.54) следует, что среднее напряжение оо тензора Тв определяет сферическую часть тензора напряжений
S„= CTOT4. |
(1.3.21) |
Оставшаяся часть (П1.56) называется девиатором напряжений
De - [[&&]] T„-S0. |
(1.3.22) |
Сферическая часть S„ тензора напряжения Та характеризует ту часть напряженного состояния, которая вызывает изменение объема в
окрестности материальной частицы т. Девиаторная часть D„ тензора напряжения характеризует ту часть напряженного состояния, которая вызывает изменение формы в этой окрестности.
Среди трех инвариантов
S1=0; Sп= —I |
Sm= ^ з М к |
(1.3.23) |
девиатора напряжений в теории ОМД чаще всего используют второй, с помощью которого вычисляют интенсивность касательных напряжений
Т = |
(1.3.24) |
|
равную модулю вектора Т в пятимерном пространстве Т„ получаемом преобразованием пространства $ft по аналогии с (1.2.86).
7} =$11 COS Р+— -$22 s'nP;
^6 )
7*2 = $ 2 2 COS Р+1 )+$22 sinP;
6 )
7J= ^I2>7’3=$23; 73—$3I-
91
Упражнение 1.3.1. С помощью формул (1.3.22) и (1.3.23), используя (П1.58)...(П1.61), показать, что главные компоненты тензора напряже ний при переходе от произвольного к главному множеству координат определяются по формулам
2 |
ф_ |
ст. = on +—.=Тcos-5—; |
|
V3 |
3 |
срст з arcos 3V3S111
гт
с соблюдением соотношения (1.3.19).
Упражнение 1.3.2. Используя (1.3.22) в формуле О.Коши (1.3.13), по казать, что полное поверхностное напряжение о" определяется девиаторной и сферической частью тензора напряжений с помощью соотношения
o" = D0-n+aoii. |
(1.3.25) |
Упражнение 1.3.3. Используя (1.3.22) и (1.3.13) в формуле (1.3.15), показать, что нормальное поверхностное напряжение вычисляется по девиаторной и сферической частям тензора напряжения с помощью со отношения:
pn = D o Tn+<r0B Э |
(1.3.26) |
Теорема. Касательное напряжение не зависит от среднего напряже ния с0 и полностью определяется девиаторной частью D„ тензора на пряжения.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Эту теорему можно доказать двумя способами. Первый способ основан на подстановке (1.3.25) и (1.3.26) в (1.3.16).
Отсюда получаем подтверждение теоремы:
тп = D 0 B - D 0 Tn. |
(1.3.27) |
Второй способ сводится к подстановке (1.3.25) в (1.3.17). В этом случае, учитывая, что векторное произведение вектора п самого на себя равно нулю, имеем
т"=шх(Е)о*в)хв q.e.d. |
(1.3.28) |
Упражнение 1.3.4. Доказать идентичность формул (1.3.27) и (1.3.28) О С помощью формулы (1.3.28) легко записать модуль вектора каса тельного напряжения. Действительно, в связи с совпадением модулей
92
вектора поверхностного касательного напряжения, вычисляемого по формуле (1.3.28), и вспомогательного вектора т*= (D„ • n) х п типа (1.2.173), для последнего имеем
хП |
(1.3.29) |
где т"'-т"’= |
J*mVn"nrnyn ,. |
Упражнение 1.3.5. Показать, что при плоском напряженном со стоянии длина вектора касательного поверхностного напряжения (1.3.29) имеет вид:
т" =2 ^11и1л2 -J1 2 (n2 -И22)Э
1.3.4.Напряжения на характерных площадках
вглавных координатах тензора напряжений
Площадка, равнонаклоненная ко всем главным координатным осям тензора напряжений, называется октаэдрической площадкой. В трехмерном пространстве таких площадок получается восемь и они об разуют правильный многогранник - октаэдр. С количеством таких площадок связано их название.
Напряжения о6” , р0** и т0*1, действующие на таких площадках, на зываются полным октаэдрическим, нормальным октаэдрическим и каса тельным октаэдрическим напряжениями соответственно. Компоненты внешних единичных нормалей к таким площадкам в главных осях оп ределяются (рис. 29):
(1.3.30)
Учитывая, что в главных |
|
координатах тензор напряже |
|
ний имеет диагональный вид |
|
(1.3.18), используя в формуле |
|
О.Коши (1.3.13) нормаль |
|
(1.3.30), находим вектор пол |
|
ного октаэдрического напря |
|
жения (рис. 29) |
|
О-3-31) |
|
По формуле (1.3.14), при |
Рис. 29. Схема действия октаэдрических |
|
|
нимая во внимание (1.3.30) и напряжетй |
|
93
(1.3.31) с учетом (1.3.20), устанавливаем, что длина (1.3.14) нормально' го октаэдрического напряжения точно равна среднему напряжению
р°"= оь. |
(1.3.32) |
При этом вектор этого напряжения имеет вид:
p°rr=CT0n^rret |
(1.3.33) |
С помощью (1.3.31) и (1.3.33) по формуле (1.3.16) находим вектор касательного октаэдрического напряжения
т 0" = (о* -со )» * "* * . |
(1.3.34) |
модуль которого т огг = - U ( c , - о 0)2 +(сг2 -<т0)2 +(ст3 -ст0)2 . V3
Упражнение 1.3.6. Показать, что с помощью (1.3.20) модуль касатель ного октаэдрического напряжения при N = 3 можно привести к виду:
т°” = -J= V (°i-<*г)г + (° 2 ~ а г)г +(°з - ® i) 2 - |
(1.3.35) |
Упражнение 1.3.7. Показать, что с точностью до постоянного со множителя модуль касательного октаэдрического напряжения совпа дает с интенсивностью касательных напряжений (1.3.24):
|
т ОКТ |
(1.3.36) |
Учитывая, что |
jtt) формулу (1.3.35) можно представить |
|
в виде: |
|
|
хокт = ~ ^ (s l - s 2 )г +(s2 - s ^ 1 +(s3 - J , )2, |
(1.3.37) |
|
3 |
|
|
где s, -главные компоненты девиатора напряжений.
Связь поверхностных напряжений, действующих на октаэдриче ских площадках, со средним напряжением (1.3.32) и с интенсивностью касательных напряжений (1.3.36), имеющих важное значение в теории ОМД, является одной из причин выделения их среди множества других характерных площадок тензора напряжений.
Если в формуле (1.3.34) выражение, стоящее в скобках, заменить главными компонентами девиатора напряжений sk = о* - во (1.3.22), то получим частный вид подтверждения теоремы из п. 1.3.3 о незави
94
симости касательных напряжений от гидростатического давления:
т °" = sknl'n e k . Здесь следует напомнить (п. П1.4), иго главные на
правления тензора и его девиаторной части всегда совпадают. Другими характерными площадками тензора напряжений являют
ся площадка экстремальных касательных наяряженшй, ориентация ко торых, так же как и ориентация площадок октаэдрических напряжений, определяется в главных координатах тензора напряжений, где послед ний имеет вид (1.3.18).
Квадрат модуля касательного напряжения (1.3.27) или (1.3.28) в главных осях представляется функцией компонент nt единичной внеш
ней нормали (1.2.169) |
|
|
т"* |
= s}nf - (sknl f , |
(1.3.38) |
где Sj (как и ранее) - |
главные компоненты девиатора |
напряжений |
(1.3.22). |
|
|
Исследуем на экстремум функцию (1.3.38) при условии |
|
|
|
1Гв = л*п*=1. |
(1.3.39) |
В частности, из (1.3.39) имеем |
|
|
п\ = 1 - п\ - п\ . |
(13.40) |
|
Подставляя (1.3.40) в (1.3.38), найдем |
|
|
т"* =s}n* + j | n 2 + 5 |(l-B ,2 —n | )—[s^inf +$2и2 + J3 ^ _ n f ~ л 2 )]2- (1-3.41)
Частные производные функции (1.3.41) no nt и т приравняем нулю:
»i(*i |
“ *з +2»,2(J3 -* i)+ 2 n 2(*3 - * 2)]=0; |
(j.3.42) |
и2 ^ 2 |
-^зН^г ~ s +2nf(s3 - J , ) + 2 n |( j 3 - J 2)]=0. |
(1.3.43) |
При »i = 0 и в2 =0 выполняются оба соотношения (1.3.42) и (1.3.43). Тогда, согласно (1.3.40), щ - 1, т.е. получили направление, соответст вующее одной из главных площадок, перпендикулярной главной оси 3, на которой касательное напряжение минимально по модулю: т" = 0. Это значение будем относил» к первому семейству экстремальных зна чений модуля V вектора V в главном множестве координат топора на пряжений.
Для безусловного выполнения (1.3.42) положим Л| = 0. Тогда из (1.3.43) следует
95
|
(s2 - J 3)2 (l-2 n f )= 0 . |
(1.3.44) |
В общем случае s2—s3 0. Поэтому из (1.3.44) с учетом (1.3.40) име- |
||
1 |
~ |
семейства экстре- |
ем п2 = п3 = ± -= . |
Это означает, что часть второго |
|
V2 |
|
|
мальных значений т" достигается на площадках с первыми направле ниями нормалей, которые в топорной форме записи имеют вид:
(1.3.45)
Все эти площадки расположены под углом — к главным осям 2 и 3 тен-
4
зора напряжения и параллельны его главной оси 1. Аналогично, учитывая безусловное
выполнение (1.3.43) при л2 = 0, из (1.3.42)
и (1.3.40) получим |
n3 = n t = ± —=, т.е. |
|
||
|
|
|
V2 |
|
другие экстремальные значения т” вто |
|
|||
рого семейства достигаются на пло |
|
|||
щ адках со |
вторыми |
направлениями |
|
|
нормалей |
|
|
|
|
в11- |
±-Г 0±_Г |
(1.3.46) |
|
|
|
V2 |
Л |
|
|
Такие площадки расположены под |
Рис. 30. Одна из двенадцати пло |
|||
щадок максимальных касатеАных |
||||
углом ^ к главным осям 3 и 1 тензора
напряжения и параллельны его главной оси 2 (рис. 30).
Третьи направления нормалей мш площадок экстремальных значе ний т" получаются путем решения (1.3.39) относительно и, или и2 так,
как это было сделано для п3 в (1.3.40). Для краткости изложения опус
тим процедуры, связанные с получением формул типа (1.3.41)...(1.3.44), которые легко можно получил» из (1.3.41)...(1.3.44) циклической пере становкой индексов 1 -> 2 -» 3.
При «1 = 0 и и3 = 0 или при п3 = 0 и П2 = 0 согласно (1.3.40) получим либо и2 = 1, либо П\ = 1 соответственно, т.е. имеем направления двух главных площадок, перпендикулярных главным осям либо 2, либо 1, на которых касательное напряжение минимально по модулю: т" = 0. Ранее мы оговаривали, что это значение будем относить к первому семейству
9б
экстремальных значений модуля т" вектора т" в главном множестве ко ординат тензора напряжений.
При из = 0 из уравнений типа (1.3.41)...(1.3.44) имеем щ = и2 =
V2 т.е. очередные экстремальные значения т" второго семейства достига ются на площадках с третьими направлениями нормалей (рис. 30)
1Н М л |
(1.3.47) |
|
Площадки с такими нормалями расположены под углом — к главным
4
осям 1 и 2 тензора напряжения и параллельны его главной оси 3. Подставив в (1.3.38) значения направляющих косинусов единич
ных нормалей п1 (1.3.45), п11 (1.3.46), пш (1.3.47), получим второе семей ство (при j * к) экстремальных значений
= ± - (* « -■**). |
(1.3.48) |
2 |
|
которые принимает модуль т" вектора т” на соответствующих площад ках в главных координатах тензора напряжений.
Таким образом получили, что на главных площадках, перпендику лярных главным осям коорд инат, тензора напряжений, как н следовало ожидать отсутствуют касательные напряжения и их нулевые значения (первое семейство решений), относящиеся к первому семейству реше ний, являются минимальными (по модулю). На остальных площадках экстремальных по модулю касательных напряжений (второе семейство решений) действуют максимальные касательные наггряжения (1.3.48).
С использованием (1.3.22) формулу для вычисления максимальных по модулю касательных напряжений (1.3.48) можно представить в виде
** * ± - ( о ,•-«*)■ |
(1.3.49) |
2 |
|
Среди всех экстремальных значений т*наибольшим по абсолютной
величине,учитывая(1.3.19),является ттах = т 31 = ± —(ст3 - о , ) .
2
Максимальные касательные напряжения xft (г * к) и ориентация пло щадок в пространстве главных координатах тензора напряжений, где дей-
'ствуют тЛ, имеют важное значение в теории ОМД. В частности, с ними связывают плоскости и направления скольжения, по которым преимуще ственно осуществляется пластическая деформация металлов.
97
1.3.5. Статические граничные условия
Так же как и кинематические, статические граничные условия при постановке задач ОМД назначаются на основе априорных или апосте риорных представлений об изучаемом процессе. При этом на границе области движения сплошной среды задаются статические параметры.
Статические условия в напряжениях на границе S a с единичной внешней нормалью в (2.1.169) считаются заданными, если в каждой точ ке s этой границы известно полное поверхностное напряжение о”, ко торое по формуле О.Коши (1.3.13) определяет вид тензора напряжений:
П’Тв= CT"VJ е S a. |
(1.3.50) |
Если граница Sa тела М а содержит участки Soa, свободные от внешнего механического воздействия, то на таких участках статические граничные условия задаются в виде равенства нулю полного поверхностого напряжения
п-Тв= 0 Vs е Soa- |
(1.3.51) |
При задании смешанных граничных условий используется либо |
|
нормальная рл, либо касательная т“ к поверхности S |
составляющая |
полного поверхностного напряжения. В первом случае на поверхности Sr„или статические граничные условия задаются в виде (1.3.15)
TV Т„ =P"VJ6 ^ (S € S J . |
(1-3.52) |
Во втором случае используется заданное значение т" касательного к по верхности SXy или SXu напряжения, связанного с девиатором напряже ния формулой (1.3.27) иди (1.3.28):
з
D e ' M - D o * T n = T " V j € S ' tv( j € 5 XB);
■ x (D ,* a )x a = iillV 3 E 5 v ( 3 E £ J . |
(1.3.53) |
Таким образом, формулы (1.3.53) показывают, что при определен ных условиях (например, если для всего тела М имеем 5 = 5 * ) для ре шения краевых задач напряженное состояние в сплошной среде М дос таточно определить с точностью до гидростатического ляштения, т.е. определить только девиатор напряжений.
1.3.6, Статика композитных сплошных сред
При решении задач о деформировании сплошных композитных сред (1.1.1), когда на границе двух компонент М а и Л/р такой среды
98
отсутствуют разрывы, на этой границе необходимо учитывать соотно шение сил взаимодействия этих компонент в соответствии с третьим законом И.Ньютона:
Р « = _ рР у^е5аЭ. |
(1.3.54) |
В общем случае напряженное состояние в а - и Р-средах характери |
|
зуется собственными полями тензоров напряжений-Т“ и |
Т£ соответ |
ственно. Вследствие (1.3.6) и единства поверхности взаимодействия двух компонент из (1.3.54) имеем равенство по абсолютной величине
полных поверхностных напряжений c j и or2 . Применяя |
формулу |
О.Коши (1.3.13), для контактирующих сред имеем |
|
Т “ •п«= •npVj е £„0, |
(1.3.55) |
где единичные внешние для сред Afa и Л/р нормали п* и п, отличаются знаком: na =-np.
Упражнение 1.3.8. Используя тензор Т“ , получаемый по формуле
(1.2.172) с помощью вектора п<„ и девиатора D “ тензора напряжений
Т “ , показать, что на свободной поверхности So» условие (1.3.55) может
быть заменено эквивалентными условиями |
|
T a -T a = ft. |
|
жа жп |
|
ne x (D “ na) = OV5 e 5 0e3 |
(1.3.56) |
Ясно, что при отрыве компонент композитной среды друг от друга часть поверхности Sо,, где произошел отрыв, в общем случае становит ся поверхностью 5^, и Sip, на каждой из которых условия (1.3.55) заме няются условиями (1.3.50) для а- и P-сред соответственно. В частности, при 5ja=5oa и 5j;p = 5ор для этих сред условия (1.3.55) заменяются усло виями (1.3.56) с соответствующими индексами а и р .
Если при решении задач о движении КМ нарушение сплошности среды не происходит, то на поверхности стыка контактирующих ком понент композитной среды обычно вместо статических условий (1.3.55) записывают смешанные граничные условия, обеспечивающие непре
рывность нормальной к поверхности составляющей вектора скоро сти (1.2.171) и парность касательных напряжений
V ,-T “ = V„-TP;
99
■ a x ( D “ * « o ) x i e = l p X ( D ^ * l p ) x i p V S € Safi. |
(1.3.57) |
В этом случае допускается возможное проскальзывание а - и P-сред на их общ ей границе S ^ .
Контрольные вопросы
1.Чем характеризуется внешнее силовое воздействие на рассматриваемый объем сплошной среды и какова внутренняя реакция его на это воздействие?
2.Что называется напряжением?
3.В чем физический смысл компонент тензора напряжений?
4.Как по заданному напряженному состоянию определить напряжения на наклонной площадке с известной внешней единичной нормалью?
5.Какой физический смысл имеют сферическая часть тензора напряже ний и девиатор напряжений?
6.В чем особенность напряжений на октаэдрических площадках главно го множества координат тензора напряжений?
7.К каким изменениям нормальных и касательных напряжений на на клонной площадке приведет приравнивание сферической части тензора на пряжений к нулевому тензору?
8.На каких площадках действуют экстремальные касательные напряже ния? Сколько таких площадок?
9.Как определяются среднее напряжение и интенсивность касательных напряжений? Чему равно гидростатическое давление?
10.Какие типы граничных условий можно записать с помощью статиче ских параметров?
11.Как записываются статические граничные условия на свободной границе?
12.В чем особенность граничных условий на поверхности, разделяющей компоненты КМ? Приведите примеры частных вариантов таких условий.
13.Как учитывается неразрывность КМ на стыке его компонент с уче том их возможного проскальзывания?
1.4. ДИНАМИКА
м... в механике, выигрывая время, мы проигрываем в силе.**
Ф.Волътер
1.4.1. Уравнение неразрывности
Фундаментальным законом ньютоновской механики является за кон сохранения массы (1.2.1). Следствием этого закона является урав нение неразрывности среды (1.2.143). Действительно, если (1.2.142) представить в виде
100