книги / Механика сплошных сред Теорет. основы обраб. давлением композитных металлов

а пространственное поло­ жение л2 соседней частицы т 2 в этот же момент вре­ мени - радиус-вектором L+c/L= (L,<+ dL) е,, где dL - произвольное направ-

ленное волокно тела М в

окрестности его частицы т\ в начальный момент

времени Го. Положения п\

и л 2 пространственных

точек, куда попадают эти частицы к моменту време­ ни t в результате движе­ ния, обозначим радиусвектором

ирадаус-вектором E + iE =

=(£,+<Щ)е, соответствен­ но. Здесь dE - то же самое

а перемещение второй частицы u+rfu = E + */E -L -rfL . Отсюда, исклю­ чая поступательное перемещение (1.2.4), получим оставшееся прираще­ ние вектора перемещения

называемое вектором искажения (вектором дисторции). В соответст­ вии с (П1.83)

где выражение, стоящее в скобках, называется тензором искажения (тен­ зором дисторции). В общем случае механическое движение малой окре­ стности материальной частицы (рис. 6, б) можно рассматривать как со­ четание отдельных простейших видов движения, к которым относятся поступательное движение (u® V=0) и искажение (u®V*0) окрестности за счет ее деформации и (или) за счет ее вращения как жесткого тела.

21

Под деформацией окрестности материальной частицы (в дальнейшем - деформацией) понимается всякое изменение в этой окрестности линей­ ных (для волокон) и (или) угловых (для пары волокон) размеров.

Применяя (П1.83) к dE и dL в (1.2.5), используя (1.2.6), получим значение тензора искажения

Однако на практике движение обычно не изучают в отвлеченной по отношению к процессу и к пространству, в котором происходит этот процесс, множестве координат х (. Соотношения (1.2.2) и (1.2.3) можно рассматривать как параметрическое, с помощью xh задание либо век­ торной функции

во множ естве координат Ж .Лагранжа L„ либо обратной векторной функции

во множестве координат Л.Эйлера Е{. Движение сплошной среды счи­ тается известным, если для любого времени t известна связь между Е и L либо в виде (1.2.8), либо в виде (1.2.9). Уравнения (1.2.8) и (1.2.9) на­ зываются законом движения во множествах координат Ж Лагранжа и Л.Эйлера соответственно.

Координаты Ь{ информируют о взаимном расположении матери­ альных частиц т в начальный момент времени Го, а сами числа (значе­ ния координат) L{ являются количественными характеристиками каж­ дой такой частицы в любой момент времени. Эта информация инвари­ антна во времени. Образно говоря, множество координат L,- как бы "вморожена” в движущееся тело М, и каждую изолинию const в сплошной среде в любой момент времени t можно рассматривать как непрерывное, упорядоченное геометрическое место материальных час­ тиц, называемое материальным волокном (в дальнейшем - волокном). Каждая материальная частица т е М находится на пересечении изопо­ верхностей Li = const. Поэтому лагранжевы координаты L, обычно называют материальными координатами. Предполагается, что мате­ риальные частицы т в процессе движения не возникают и не исче­ зают. Поэтому для каждой такой частицы т е М справедлив закон со­ хранения вещества, который с помощью количественных характери­ стик Lt этой частицы записывается аналогично виду закона сохранения массы (1.2.1)

dt

22

Если в формуле (П1.90) вектор х совпадает с вектором L, то вслед­ ствие (1.2Л0) полная производная любого тензора по времени в лагранжевых координатах совпадает с частной производной его по времени

Л а( М Э Т „М

Л= dt

Запись параметров движения сплошной среды в материальном мно­ жестве координат L, называется лагранжевым (материальным) описа­ нием движения. Например, с использованием (1.2.8), вектор перемеще­ ния (1.2.4) представляется в виде

Транспонированный тензор, стоящий в скобках формулы(1.2.12),

называегтсяматериалъным градиентом деформации

Определитель, составленный из компонент матрицы этого тен­ зора, называется якобианом преобразования лагранж евых координат в эйлеровы

Необходимым и достаточным условием существования функции (1.2.9) обратной функции (1.2.8) является конечность и отличие от нуля якобиана (1.2.14).

Координаты Е, характеризуют пространственное положение мате­ риальных частиц в произвольный момент времени. Изолинии, вдоль которых Е,= const, можно рассматривать как непрерывное, упорядо­ ченное геометрическое место пространственных точек л, куда попада­ ют материальные частицы т в момент времени t. Каждая пространст­ венная точка n e N находится на пересечении изоповерхностей E i~ const. Поэтому эйлеровы координаты обычно называют простран­ ственными координатами.

По определению изменение пространственных координат матери­ альных частиц по времени называется скоростью перемещения частиц (в дальнейшем - скоростью)

23

Если в формуле (П1.90) вектор х совпадает с вектором Е, то полная производная тензора по времени в эйлеровых координатах состоит из частной производной этого тензора по времени и конвективных сла­ гаемых, обусловленных переносом окрестности материальной частицы со скоростью V (1.2.15):

Запись параметров движения сплошной среды в пространственных координатах Е{ называется эйлеровым (пространственным) описанием движения. Например, с использованием (1.2.9), вектор перемещения (1.2.5) представляется в виде:

Дифференциал (П1.83) лагранжевой координаты (1.2.9) в эйлеро­ вом пространстве

Транспонированный тензор, стоящий в скобках (1.2.18), называет­ ся пространственным градиентом деформации

dLj

V® L = (1.2.19)

дЕк

Определитель, составленный из компонент матрицы этого тензора, называется якобианом преобразования эйлеровых координат в лагранжевы

Так же как и (1.2.14), якобиан (1.2.20) должен быть конечным и от­ личным от нуля. Материальный (1.2.13) и пространственный (1.2.19) гра­ диенты деформации связаны правилом частного дифференцирования

(V0L) ■(V0E) = (V0E) • (V0L)=Ts.

С помощью (1.2.4) тензор искажения (1.2.7) может быть записан в лагранжевом

24

и эйлеровом

множествах отсчета.

Теперь уточним понятие стационарного процесса, введенное в п. 1.1.4. Независимость процесса движения от времени J в лагранжевом и эйлеровом множествах отсчета имеет различную физическую трактов* ку. Пусть количественной характеристикой некоторых свойств сплою*

п

ной среды является тензор Та. В любом множестве отсчета процесс изменения этой величины называется стационарным, если

Для лагранжевых координат из (П1.90) и (1.2.10) следует, что запи-

п

d Т

си (1.2.23) эквивалентна запись — - = 0 . Физический смысл этого со- dt

п

стоит в том, что характеристика свойств Та окрестности одной и той же частицы т при ее прохождении через различные пространственные точки п не меняется.

Для эйлеровых координат из (1.2.16) следует, что записи (1.2.23)

d Тя

эквивалентна запись а - у. V®Ta(E,.) . Физический смысл этого dt

состоит в том, что характеристика свойств окрестности частицы т полностью определяется координатами Е, пространственных точек п и значением вектора скорости V материальных частиц в этих точках. Иными словами, в фиксированной пространственной точке п для любой материальной частицы т, попадающей в положение л, харакге*

П

ристика свойств Тане меняется. В частности, для стационарного паля скоростей

25

стоянии между этими частицами %= 1. С помощью (1.2.12) вычислим квадрат длины волокна dE в момент времени г

Формула (1.2.29) позволяет дать физическую интерпретацию диа­ гональным компонентам тензора (1.2.28). Каждая такая компонента

равна квадрату коэффициента % изменения длины элементарного во­ локна, до начала движения параллельного оси Lt. Действительно, положив, например, dL = d L ^ (рИс. 8, б), получим t\ = 1 и <2= <з= 0. Это приведет к тому, что x2= Xi2 в (1-2.29) будет равно (7ц. Аналогичным образом это можно показать для волокон dL параллельных осям Lx (<i=0; <2= 1; <3 = 0) или L i (i\ =0; <2= 0; <3= 1). В общем случае

* В одночленах с повторяющимися индексами вид буквы, используемой для обозна­ чения одинаковых индексов не имеет значения. Поэтому такие индексы называют '‘немыми”. Замена одной буквы иемых индексов на другую называется жонглироеамием индексами.

27

частицы и называются линей­ ными конечными деформация­ ми тетера А.Е.Грина. Наи­ более часто встречающуюся в практике обработки метал­ лов давлением величину от­ носительной деформации

также можно записать с по­ мощью компонент тензора (1.2.28).

Для волокна, параллель­ ного при t= t0 оси Lh

в) |фоюаол»няя ориентация вектора dL; б) вектор векторами dE' и dEn. Косинус

скалярное произведение единичных векторов, совпадающих по на­ правлению с векторами dE' и dE"

подстановки этих результатов в (1.2.34) и несложных преобразований,

учитывая (1.2.28) и (П 1.12), получим cosa =

,<71и /°22

21

Пусть в момент времени t=to его ребра будут параллельны осям Li, Li и Li соответственно (рис. 10). Тогда d£lL= dL\dLidLi. К моменту времени t в общем случае это тело станет непрямоугольным параллеле­ пипедом с ребрами dE', dE" и dEmсоответственно, а его объем будет

29