книги / Механика сплошных сред Теорет. основы обраб. давлением композитных металлов

ставляющей V* (рис. 62). Из условия сплошности деформируемой сре­ ды ее поток до поверхности разрыва S равен потоку после этой по­ верхности, что означает непрерывность изменения нормальной состав­ ляющей вектора скорости.

Мощность диссипации, приходящаяся на единицу поверхности разрыва вектора скорости, равна произведению осанка вектора скоро­ сти AV* на напряжение пластического сдвига тт деформируемой среды. Более подробно это рассмотрено в п.1.4.4 при анализе мощности, рас­ сеиваемой на межслойной границе, на которой происходит скачкооб­ разное изменение скорости при переходе от одного слоя к другому в процессе движения композитного тела. Таким образом, предположение о существовании поверхностей разрыва вектора скорости позволяет задачу о поиске непрерывного поля скоростей свести к построению ки­ нематически возможного разрывного поля скоростей.

При использовании метода разрывных полей скоростей область деформирования сплошной среды ограничивается поверхностями раз­ рыва вектора скорости, а сама область разбивается некоторым образом на блоки. Внутри каждого такого блока поле скоростей может быть однородным (V =const) или неоднородным (V =var). Ясно, что в пер­ вом случае диссипация энергии внутри блока равна нулю.

Воспользуемся изложенными предпосылками метода разрывных по­ лей скоростей для решения задачи о прессовании полосы из контейнера в условиях плоской деформации. Для этого случая область деформирования П может быть представлена четырехугольником АхАгАгА4 (рис. 63). Ос­ новными геометрическими параметрами области Q являются: высота ho контейнера, высота hi полосы, угол он матрицы, через которую прессуется полоса.

212

Рис. 63. Применение раэрьвного КВ-лоля скоростей к решению задачи о прессовании: а —область в плоскости Z физического течения; б —годограф скоростей; в —область в плоскости ^комплексного потемдиала

Для построения одного из простейших разрывных К В-полей ско­ ростей из вершины Аз под углом он, к образующей контейнера прове­ дем прямую линию до пересечения со стороной А 1 А4 в точке As задан­ ного четырехугольника.

Отрезок Аз As будет первой линией разрыва вектора скорости на пути движения среды. Вторую линию построим, соединив по прямой точки As и А 2. Угол наклона р этой линии к оси прессования можно оп­ ределить, используя основные геометрические параметры области О движения среды (рис. 63):

213

Xctga2 + (X -l)c tg a l

где X=— - коэффициент вытяжки. Л.

Выполненным построением область Q разделилась на три блока I, II, III. В каждом блоке поле скоростей является однородным. Внеш­ нюю часть 0 области деформирования среды Q назовем нулевым бло­ ком. Н а границах между /-тым и у-тым блоками происходит скачок вектора скорости на величину Vq (/=0,1,2; ./=1,2,3; /*/). При этом гладкая, без изломов траектория материальной частицы реального процесса (рис. 64) аппроксимируется ломаной линией.

»**1 « « • *

ттшй

ШВVI W 9ш

я ш т я ш

Шш т *

Рис. М.Лиммтокапри 1фессомниниихмпрокстшия ломашм« ливнми

Определение мощности, рассеиваемой на поверхностях разрыва вектора скорости, можно выполнить двумя способами.

П е р в ы й с п о с о б требует нахождения значений приращений Vf вектора скорости на этих поверхностях. С этой целью построим го­ дограф скоростей (рис. 63, б). Из точки 0 годографа в точку 1 прове­ дем направленный отрезок Voi = Vo, где Vo - скорость движения прессштемпеля. Затем из этой же точки проведем луч, параллельный линии раздела первого и второго блоков. Пересечение лучей произойдет в точке 2. Вектор V02 является скоростью во втором блоке, а вектор V 12 - скачком скорости на границе блоков I и II. Далее из точки 0 проведем луч, параллельный вектору скорости в третьем блоке, а из точки 2 - луч, параллельный линии раздела второго и третьего блоков. Вектор V03 является скоростью в третьем блоке, а вектор V23 - скачком скоро­ сти на границе блоков II и III. Из годографа скоростей, используя

214

теорему синусов, выразим модули неизвестных векторов через ско­ рость входа среды в области деформирования:

sinа 1 Пг = vo sin/dj +а^)

sinа 2

Пг = *о sin/aj +0,2) sina. sma^

0sin^sin/aj +0 2 ) rr sinctj sinfcj + P)

(2.2.50)

03 0 sinf3sin(ai +<*2)

Упражнение 2.2.6. Используя (2.2.113) и (2.2.114), показать, что на выходе из канала матрицы Уоз = XVo О

Теперь можно перейти к вычислению мощностей J* рассеиваемых на поверхностях £f разрыва вектора скорости. Для вычисления J j не­

обходимо назначить законы изменения напряжения сдвига на уча­ стках разрыва вектора скорости и определить длину этих участков.

Предположим, что на контактных поверхностях lot, I02, 1оэ это напря­ жение т^=2цтТт (2.2.29), а на поверхностях разрыва I 12, 12Э-Ту=тт (в обоих случаях тт=const). Из геометрических построений для зоны де­ формации имеем:

Ло

sina2

sin(X[

h

(2.2.51)

sinp

Остальные величины £t являются технологическими параметрами процесса прессования: £о\ - длина подпрессованного слитка; 1оз - дли­ на рабочего пояска матрицы.

Если рГ - р отнести к напряжению пластического сдвига тт, то, учитывая, что сама величина р является осредненной по размеру пресс-шайбы, получим безразмерное значение среднего удельного дав­

ления q - — . С учетом этой величины запишем баланс мощности (1.4.44) для разрывного поля скоростей

215

где J*j = eyV9T9:

JI2 =STT^I0^0

sinaj sin a 2

(2.2.53)

Введем обозначения: Я = ——; t n = ——. Тогда среднее удельное

КК

давление* на пресс-шайбе, необходимое для процесса прессования, бу­ дет равно

Для идеальной жестко-пластичной среды, о которой идет речь в рассматриваемом примере, вязкое и скоростное упрочнение отсутству­ ют. Поэтому для такой среды значащ е скорости входа ее в зону де­ формации может быть произвольным. Неизвестным параметром оста­ ется угол «2 при заданном значащ и угла матрицы ед. В этом случае не­ известный параметр может быть определен из баланса мощности (2.2.54). Если угол он также является неизвестной величиной, то реше­ ние задачи может быть осуществлено с помощью изопериметрической постановки, когда баланс (2.2.54) записывается в виде ограничения, а в качестве вспомогательного выступает функционал (2.1.55). В этом слу­ чае параметры он и он с учетом (2.1.54) находятся из условия (П2.74)

* Удельное давление - безразмерная величина, равная отношению давления к на­ пряжению, характеризующему пластическое состояние металла (пределу текучести или напряжению пластического сдвига)

216

(2.2.55)

да(

В т о р ы м с п о с о б о м эту же задачу можно репопъ, используя отображение разрывного течения в физической плоскости Z на плос­ кость W комплексного потенциала (П.3.12.). Для этого воспользуемся тем, что вдоль линии тока, в том числе и с изломами, функция тока, связанная при плоском движении с компонентами вектора скорости соотношением (1.2.105), принимает постоянное значение. В плоскости W по оси у отложим уровни у = у + и у = у - = 0 и проведем через эти уровни прямые линии, параллельные оси q>. В связи с тем, что граница, совпадающая с образующими контейнера и матрицы, а также ось сим­ метрии (рис. 63, а) являются линиями тока, их образцы в плоскости W будут прямыми ЛИНИЯМ Ц1*= const и у = const.

Аналогичное заключение можно сделать для любой линии тока внутри области деформирования (рис. 63, в). Для непрерывного поля скоростей образом физического течения в плоскости Z при отображе­ нии ее на плоскость W комплексного потенциала является непрерывное течение в прямолинейной полосе шириной FbAoДля разрывного физи­ ческого течения его образ также является разрывным. Покажем прин­ цип построения разрывного течения в плоскости W на примере физиче­ ского течения, приведенного на рис. 63.

На линии у - = const в плоскости W из точки £$, помещенной, на­ пример в начало координат, проведем линию, параллельную границе между I и II блоками физической плоскости Z до пересечения в точке £з с линией у + = const. Тетерь блок II плоскости Z перенесем в плос­ кость W так, чтобы вершина Аз этого блока совпала с точкой Вз. Затем поворотом и линейным однородным изменением размеров всего блока добьемся того, чтобы сторона АзАг совпала с линией у + = const, а вер­ шина Аз попала на линию у - = const в точке В $. Третья вершина блока II после такого преобразования будет находиться в точке Bi. Теперь из точки Вз проведем луч, параллельный линии, разграничивающей блоки II и III физической плоскости до пересечения с линией у + = const в точ­ ке £5.

Мощности J» , рассеиваемые на поверхностях разрыва вектора

скорости будут, пропорциональны длинам оснований блоков, лежащих на линиях у + = const и у - = const:

J 02 = 2 ц тттА0 K0[ctg(ot, + p )-ctg (a , + a 2)];

J *2 = т т^о *o[ctgP -ctg(a, + a 2)];

217

(2.2.53). Подстановкой всех значений 3*. в баланс мощности определя­

ем среднее удельное давление

q = 2цт [Н + Xtn + ctg(a 1+ р) - ctg(ai + aj)] +

(2.2.57)

+ ctga2+ ctgp -ctg(ai + P )-ctg (ai + a 2).

Упражнение 2.2.7. Показать, что вычисления среднего удельного давления q по формуле (2.2.54), полученной с помощью годографа скоростей* и по формуле (2.2.57), полученной с помощью отображения фи­ зического течения в плоскости Z на плоскость W комплексного потен­ циала, дают одинаковые значения С9

Изменение среднего удельного давления (2.2.54) или (2.2.57) в зави­ симости от угла а 2при a i = 60° и постоянном значении коэф­ фициента вытяжки показано на рис. 65.

Последний способ ране­ ния рассмотренной задачи по­ казывает, что приращение дей­ ствительной часта ф комплекс­ ного потенциала и> (П.3.11) пропорционально прираще­ нию мощности, рассеиваемой на граничных линиях тока и внутри области движения де­ формируемой среды на изло­ мах этих линий тока. При

Рие. 65. Зависимость среднего удеш ю го давления ЭТОМ Н8 ОСНОВанИЯХ бЛОКОВ,

(2.2.29), а на основаниях блоков, характеризующих разрывы вектора скорости, используется условие пластичности (1.5.74).

С помощью метода разрывных поло! скоростей довольно легко осуществляется моделирование стационарных многослойных течений. В частности, моделирование процесса, представленного на рис. 18, б, может быть выполнено с помощью разрывного KB-поля скоростей в об­ ласти, показанной на рис. 66. При этом осуществляется моделирование взаимодействия слоев по схеме П-С (п. 1.2.1). Аналогичным образом строится разрывное KB-поле скоростей для моделирования взаимодсй-

218

о

о

ствия слоев по схеме С-П (рис. 67). В первом случае, как видно из годо­ графа скоростей, слои имеют одинаковую скорость на выходе из очага деформации (рис. 66, б), а во втором - на входе в этот очаг (рис. 67, б).

Контрольные вопросы

1.Какие основные гипотезы и допущения используются в методе тонких сечений?

2.К какому упрощению уравнения движения приводят гипотезы и допу­ щения метода тонких сечений?

3.Как связаны линии скольжения с максимальными касательными напря­ жениями?

4.На каких гипотезах и допущениях базируется метод линий скольжения?

5.Как ориентированы касательные к а- и p-линиям семейства линий скольжения относительно главных осей координат тензора напряжений?

6.Почему метод линий скольжения можно назвать методом характеристик?

7.Каким соотношениям вдоль а- и (3-линий должны удовлетворять сред­ нее напряжение сто и угол <р наклона касательной к а-лииии?

8.Каким образом определить угол наклона касательной а-линни к по­ верхности, на которой задано касательное напряжение?

9.Какое напряженное состояние соответствует области, покрытой семей­

ством ортогональных прямолинейных линий скольжения?

10.Какому напряженному состоянию соответствует семейство линий скольжения, образующих центрированный веер?

11.На каких поверхностях при движении КМ допускается скачкообразное

изменение напряжений?

12.Как связаны KB-поля скоростей с параметрами линий скольжения?

13.На каких допущениях базируется метод разрывных полей скоростей?

14.Как строится годограф разрывных KB-полей скоростей для областей, разбитых на блоки с прямолинейными границами?

219

15.Почему диссипация мощности внутри блока с прямолинейными гра­ ницами равна нулю?

16.Как отображается область стационарного течения сплошной среды, разбитая на блоки с прямолинейными границами, в физической плоскости Z на плоскость W комплексного потенциала?

17.В чем особенность отображения многослойных стационарных течений?

18.Почему реализация метода разрывных полей скоростей с помощью го­ дографа скоростей и с помощью отображения области течения в физической плоскости Z на плоскость W комплексного потенциала дают одинаковые ре­ зультаты?

2.3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ КВ-ПОЛЕЙ СКОРОСТЕЙ

2.3.1. Склейка разрывных полей скоростей

Ранее было показано, что при построении разрывных полей скоро­ стей область Q течения сплошной среды разбивается на несколько бло­ ков. Внутри каждого блока строится непрерывное поле скоростей, ко­ торое, исходя из требований к разрывным KB-полям скоростей, стыку­ ется с полями скоростей соседних блоков. При этом только на грани­ цах блоков происходит скачкообразное изменение вектора скорости. Построенные таким образом разрывные KB-поля скоростей можно ис­ пользовать как решение для последующей корректировки. В частности, введением на стыке блоков переходных зон можно осуществить "склейку” разрывных полей скоростей (п. П3.2) и получить с помощью склеи­ вающих функций непрерывные во всей области Q поля скоростей. Принципы создания склеивающих функций изложены в п. П3.2. При­ менение их для построения непрерывных полей скоростей на основе разрывных KB-полей покажем на примере задачи о прокатке в услови­ ях плоской деформации, рассмотренной в п. 1.2.6.

Пусть в эйлеровых координатах Ей Ег в области Q, которая пред­ ставляет собой криволинейную полосу с начальным размером йо и ко­ нечным размером h\ движется сплошная, несжимаемая, однородная сре-

з

да. Сначала разобьем область Q на три подобласти Q = U П* такие,

где А - текущая высота (П3.55) второй подобласти (Ai<A<A0) на ее дли­ не (П3.53)

220