книги / Механика сплошных сред Теорет. основы обраб. давлением композитных металлов

6 ,МПа

гзо -

т

750

too

5 0

J

о о,? о,г о,з о,й о,з o,6 oj е

Рис. 40. Зависимостьмеханическихсвойств<гт (1) и а% (2) алюминиевого сплава АМц от степени

деформации s

€4—

Рис. 39. Схемадиаграммы копределению услов­ ногопределатекучести

точке е=Босг (остаточная деформация). При повторном нагружении этого же образца начало координат диаграммы как бы переносится в

точку е = Бост и процесс дальнейшего нагружения проходит все вышепере­ численные стадии. При этом увеличивается значение предела пропор­ циональности и предела текучести (условного предела текучести). Изме­ нение предела текучести в зависимости от степени пластической дефор­ мации называется деформационным упрочнением или пакленом, а дефор­ мация соответствующая этому изменению называется нагартовкой. Таким образом, после площадки текучести диаграмма механического состоя­ ния теоретически представляет собой зависимость стт= стт(е). Практиче­ ски же из-за несовершенств в реальном металле и его структурных из­ менений приходится строить специальные графики зависимости преде­ ла текучести отот предварительной степени деформации (рис. 40).

При растяжении в момент образования локального утонения (об­ разования шейки) образца происходит падение усилия, необходимого для продолжения пластической деформации металла. Этому моменту на диаграмме соответствует напряжение ст=<т4, называемое пределом прочности, которое из-за несовершенств в реальном металле, его структурных изменений также изменяется от предварительной степени деформации (рис. 40).

Параметры НДС при одноосном растяжении или сжатии (1.5.54), (1.5.55) позволяют рассчитать интенсивность касательных напряжений (1.3.24)

(1.5.71)

и интенсивность сдвиговых деформаций (1.2.87).

151

С помощью (1.5.71) и (1.5.72) диаграмма механического состояния металла, представленная на рис. 39, строится в координатах Т -Г (рис. 41). При этом началу пластической деформации соответствует напря­ жение пластического сдвига (предел текучести на сдвиг)

(1.5.73)

В некоторых изданиях напряжение пластического сдвига обозначается т,.

В связи с тем, что величины (1.2.87) и (1.3.24) являются инвариантами, со­ отношение

и условие пластичности в виде (1.5.74) используются при любой меха­ нической схеме деформации.

Упражнение 1.5.13. Показать что при плоском деформированном состоянии, характеризуемом тензором деформации

для изотропной среды, движущейся без изменения объема, напряжен­ ное состояние характеризуется тензором

152

Теперь, подставляя (1.5.77) в (1.3.24), с учетом (1.5.78) можно запи­ сать (1.5.74) в виде условия пластичности яри плоском деформированном состоянии:

(1.5.79)

Инвариантность интенсивности касательных напряжений Т позво­ ляет условие (1.5.79) записать в главном множестве координат тензора напряжений

В таком виде соотношение (1.5.74) называется условием пластичности X. Треска-Б.Сен-Венана.

Аналогичным образом можно получить частный вид условия (1.5.74) для осесимметричного НДС в цилиндрическом множестве ко­ ордин атор,^

В общем случае запись интенсивности касательных напряжений (1.3.24) через компоненты тензора напряжений позволяет представить (1.5.74) в форме условия пластичности М .Губера-Р.М изеса

Испытания показывают, что при холодной деформации (ниже тем­ пературы возврата) металлов механические свойства в основном опре­ деляются деформационным упрочнением: Т=Т(Г)> При горячей дефор­ мации (выше температуры рекристаллизации) предел текучести возрас­ тает с увеличением скорости деформации (скоростное или вязкое уп­ рочнение) и обычно снижается с ростом температуры деформирования: Т=Т(Н,6). При высоких скоростях деформации скорость повышения температуры некоторых металлов вследствие деформационного разо­ грева (1.4.61) может превышать интенсивность скоростного упрочне­ ния, что приводит в конечном счете к снижению значения предела те­ кучести.

По результатам испытаний с постоянными уровнями скоростей деформаций, например, на кулачковых пластометрах (рис. 34) с радиу­ сом кулачка, определяемым по формуле (1.5.52), можно построить диа­ граммы механического состояния < j-e-§ . Учитывая, что для одноос­

153

ного напряженного состояния выполняется (1.5.71), а условие постоян­ ства объема позволяет использовать (1.5.72), то такую диаграмму мож­

но представить в координатах Т - Г - Н . При этом для круглого образца

р

предполагается, что 4Р = 5® = -—;§* = -£• Тогда из (1.2.161) получим

Кроме того, механические испытания проводят при различных по­ стоянных уровнях температуры (6 = const). Таким образом, получают инвариантную форму определяющего уравнения (1.5.14) для несжи­ маемых изотропных сред

Т=Т(Г,Н,0). (1.5.84)

Следует отметить, что, несмотря на относительную простоту полу­ чения зависимости (1.5.84), ее построение базируется на ряде сущест­ венных упрощений, часть из которых ранее упоминалась: однород­ ность в образце схемы НДС и температурного поля, изотропность де­ формируемого металла, выполнение условий постоянства объема (не­ сжимаемости среды). Кроме того, в испытаниях на различных уровнях скоростей деформаций не учитываются инерционные силы, которые при высоких скоростях нагружения образца могут быть соизмеримы с приложенными к образцу поверхностными силами.

1.5.7. Модели пластичных сред

Сплошная среда, для которой наблюдается значимое изменение интенсивности касательных напряжений Т в некотором интервале из­ менения интенсивности сдвиговых деформаций Г (деформационное уп­ рочнение) называется упругопластичной средой (рис. 42, а).

Сплошная среда, для которой наблюдается значимое изменение Т в некотором интервале изменения интенсивности сдвиговых скоростей деформаций Н (вязкое упрочнение) называется вязко-пластичной средой

(рис. 43, а). В общем случае реальные металлы обладают деформаци­ онным и вязким упрочнением. Поведение таких металлов можно ап­ проксимировать поведением их моделей. Так, на рис. 42, б показана аппроксимация кривой (рис. 42, а) при помощи двух линейных участ­ ков. Участок АВ соответствует приближенному описанию упругого поведения среды, а участок ВС - пластического. Рядом с диаграммой показана схема ее механического аналога. В схеме растяжению двух пружин до перемещения тела массой т соответствует упругий участок диаграммы, а растяжению верхней пружины - пластический участок. Если участок ВС горизонтален (рис. 42, в), то диаграмма соответствует модели материала, называемой идеальнойупруго-пластичной средой. Если

1S4

Рис. 43. Диаграммы растяжения сжатия и механические модели вязко-пластичных материалов

155

деформация упругого участка пренебрежимо мала, то в этом случае можно использовать модель, называемую жестко-пластичной средой. На рис. 42, г представлена диаграмма жестко-пластичного материала с линейным деформационным упрочнением. Модель жестко-пластич­ ного материала с незначимым деформационным упрочнением называ­ ется идеальной жестко-пластичной средой (рис. 42, д).

Аналогичные простейшие аппроксимации можно привести для вязких материалов. По аналогии с упруго-пластичными средами мож­ но выделить модели вязкопластичных материалов: идеальная вязкопластичная среда (рис. 43, в), вязкая жестко-пластичная среда (рис. 43, г), идеальная вязкая жестко-пластичная среда (рис. 43, д) и др. В этом слу­ чае механическим аналогом таких сред будут различные сочетания со­ единений пружины и амортизаторов (рис. 43).

1.5.8. Пластическая деформация анизотропных материалов

Обобщение условия пластичности М.Губера-Р.Мизеса (1.5.82) для анизотропных материалов в тензорной форме записи имеет вид:

4

где компоненты тензора четвертого ранга Та параметры анизо­ тропии. С помощью этих компонент и компонент sfq девиатора напря­ жений De записывается скалярная форма соотношения (1.5.85)

В пятимерном пространстве Т, (1.3.25) уравнение (1.5.86) представ­ ляет собой центральную гиперповерхность второго порядка, которая при условии

превращается в цилиндр (в общем случае некруговой), ось которого совпадает с линией si =Я2 =зз в главных координатах девиатора напря­ жений D„.

Упражнение 1.5.14. Показать, что (1.5.87) приводит условие пла­ стичности (1.5.85) к его частному виду - условию пластичности М.Гу- бера-Р.М изеса (1.5.82) О

Считается, что начало пластической деформации металлов при их нагружении практически не зависит от гидростатического давления.

156

Это означает, что замша в (1.5.85) девиатора D„ на тензор напряжений Тв должна приводить к одному и тому же результату. Такая замена

имеющие индексы i - j и к* т , а также индексы i*j н к = т , равны нулю. Кроме того, одинаковыми должны быть компоненты, для которых

4

i= j= k=m . Учитывая, что в общем случае тензор Та так же, как и тен­ зоры состояния в (1.5.1)...(1.5.4), имеет 21 независимую компоненту, в рассматриваемом случае из этих компонент отличных от нуля остается только 9, а независимых - 6. Значит, с помощью соотношения (1.5.85),

4

при оговоренных свойствах компонент тензора Т а можно записать ус­ ловия пластичности для сред ромбической, тетрагональной, гексаго­ нальной и кубической кристаллических систем (см. упражнение 1.5.3).

4

Оговоренные свойства тензора T# приводят соотношение (1.5.86) к условию пластичности Р.Хнлла

(1.5.88)

+ а1212а 12 + а 2323а 23 + а 3131°31 = *•

Инвариантность соотношения (1.5.85) позволяет записать его в главных координатах тензора напряжений, в которой условие пластич­ ности Р.Хилла (1.5.88) принимает вид:

4

где через ал обозначены компоненты тензора Т « в главных координа­ тах тензора напряжений.

Геометрически соотношения (1.5.88) и (1.5.89) представляют собой один и тот же цилиндр, записанный в разных множествах координат, ось которого равнонаклонена ко всем главным координатным осям тензора напряжений. Причем сечения этого цилиндра, перпендикуляр­ ные его оси, образуют эллипсы (контуры текучести). Поверхность та­ кого цилиндра для материала, находящегося в пластическом состоя­ нии, называется поверхностью текучести.

В более общем случае поверхность текучести задается некоторой функцией напряжений /(crft) = const. В этом случае такую поверхность можно рассматривать как геометрическое место точек с одинаковым пластическим потенциалом. Поэтому функцию /(о*) иногда называют пластическим потенциалом. Нормаль к поверхности текучести направ­

157

лена по градиенту пластического потенциала, который в главных ко­ ординатах тензора напряжений имеет вид:

(1.5.90)

Вследствие неотрицательности работы, производимой напряже­ ниями на приращениях деформаций de#, последние должны бьпъ про­ порциональны компонентам градиента пластического потенциала

(1.5.91)

Соотношение (1.5.91) называют ассоциированным (с поверхностью текучести) законам текучести.

Ассоциированный закон текучести (1.5.91) носит достаточно об­ щий характер. Он может бьпъ использован для анализа движ ения сред с произвольной анизотропией. В частности, для изотропных сред в ка­ честве пластического потенциала можно использовать определенное с точностью до постоянного сомножителя подкоренное выражение усло­ вия пластичности М .Губера-Р.М изеса (1.5.82). Подстановка такого потенциала в (1.5.91) приводит к соотношениям ХЛ ееи—Р.Мизеса

По своей структуре эти соотношения совпадают с обобщенным законом Р.Гука (1.5.65). Физический смысл множителя dX показан на рис. 44.

Если в (1.5.91) подставить пластический потенциал, равный левой части соотношения (1.5.89), то получим связь приращений деформаций с компонентами тензора напряжений для анизотропных сред в главных координатах этого тензора

158

Рис. 44. Схемакпояснению физическогосмысламножителя dX : а*- текущеезначете

напряжение; I-основная деформащм; П - добавочнаядеформащм; III - добаво'вюе нагружение

Следуя У.А.Бэкофену, приведем пример определения компонент

4

тензора Т а в главных координатах тензора напряжений. Необходимо провести эксперименты, включающие испытания на растяжение образ­ цов, ориентированных вдоль главных осей анизотропии х(. Учитывая симметрию компонент яЛ= ак{ в (1.5.89) после подстановки в это урав­ нение пределов текучести a Tj вместо ai, a Tj вместо ог и a Tj вместо аз,

получаем одно уравнение относительно параметров я*. Вследствие ус­ ловия несжимаемости сумма приращений деформаций в (1.5.93) равна нулю. Поэтому из (1.5.93) получаем только два независимых уравнения, необходимые для замыкания системы уравнений относительно пара­ метров яЛ. При этом нужно знать отношение поперечных деформаций. При наличии плоскости изотропии для испытаний вдоль осей х\ и хг это отношение дая а Т{ = a Tj определяется параметром

ствуют различные значения коэффициентов отношений деформаций:

вдоль осей X|, x^ и x3 соответственно. Последнее отношение равно еди­ нице, если ось хг является осью симметрии свойств материала.

Используя уравнения (1.5.93) при одноосном растяжении, можно выразить коэффициенты R\ и Ri через параметры яЛ. Объединяя ре­ зультаты для предела текучести и отношений деформаций, выраженные через компоненты я*, получим соотношения У.А.Бэкофена

159

ловия пластичности (1.5.82), записанным в главных координатах тен­ зора напряжений для изотропных материалов:

Если (1.5.97) подставить в (1.5.98), то, полагая, что р = — , получим

При

1+Я

160