книги / Механика сплошных сред Теорет. основы обраб. давлением композитных металлов

Учитывая, что в главных координатах тензор напряжений имеет вид (1.3.18), с помощью (2.2.14) выполним преобразования (1.3.12) ком­ понент c f главных координат в компоненты ам произвольного множе­ ства координат. Тогда получим

а п = + a 23a 3 = а хcos2 у + ст3 sin2 у;

<*22 = CT2l <

а 33 = а 31а | + а 33а 3 = а хsin2 у +ст3 cos2 у; ап = aj ia 3iaj + апаззаз = (а х-CT3)sinycosy.

При этом вследствие симметрии тензора напряжений аз1=ап, а ос­ тальные боковые компоненты cpq (р *q) равны нулю. Далее воспользу­ емся тригонометрическими преобразованиями

cos2 у = —(1+ cos2y);

2

sin2 у = —(1- cos2y);

2

1 . . sinycosy = —sin2y.

2

Тогда

Полагая, что движущаяся среда находится в пластическом состоя­ нии, воспользуемся условием пластичности в главных координатах тензора напряжений (1.5.80), а также - соотношением (2.2.11). Тогда из (2.2.15) получим

a u = a0+TTcos2y;

201

Подставим (2.2.16) в (2.2.13), полагая, что деформируемая среда яв­ ляется идеальной жестко-пластичной (рис. 42, д). Тогда хт = const и от­ носительно параметров о<>, у получай! замкнутое множество уравнений

Известно (п. 1.3.4), что максимальные касательные напряжения

(1.3.49) действуют на площадках, наклоненных под углом — к главным

4

направлениям тензора напряжений. Из рис. 57 следует, что в каждой точке среды имеется два таких направления и соответственно две пло­ щадки максимальных касательных напряжений. В дальнейшем с этими площадками будем связывать два направления. Условимся одно из та­ ких направлений, которое при отрицательном (по часовой стрелке) вращении от наибольшего главного напряжения Ст] встречается первым, называть а-направлением. Другое направление, которое при таком вра­ щении от oi в противоположном направлении встречается первым, будем называть ^-направлением. Очевидно, а- и р-направления в каждой точке среды образуют локальное правое множество, в общем случае, криволи­ нейных координат. Непрерывную линию, касающуюся в каждой точке а-направления (^-направления), будем называть a -линией ф-линией). Яс­ но, что всю область сплошной среды можно покрыть ортогональной сет­ кой семейств а- и P-линий. Эти линии называются тишями скольжения.

Воспользуемся углом ф = у - — между a -направлением и осью Е\

4

вместо угла у в множестве уравнений (2.2.17)

Теперь после дифференцирования первого уравнения (2.2.18) по Еъ, а второго - по Е\ и вычитания второго результата дифференцирования

202

из первого получим одно дифференциальное уравнение относительно од­ ной неизвестной величины ср. Полученное таким образом уравнение от­ носится к типу дифференциальных уравнений, которые называются диф­ ференциальными уравнениями в частных производных второго порядка

составленный из коэффициентов при неизвестных величинах, отличен от нуля. Приравнивание определителя (2.2.21) к нулю дает два направ­ ления

вдоль которых вторые частные производные — ?•;— —и ----— не оп-

дЕ{ дЕ] дЕхдЕъ

ределяются. При Vft2 - 4 ас >0 уравнения (2.2.18) называется множе­ ством дифференциальных уравнений гиперболического типа, а ее вещест­ венные направления позволяют определить два семейства кривых, на­

203

зываемых характеристиками. Если использовать из (2.2.19) значения

(2.2.18) к гиперболическому типу. Подстановкой а, b и с в (2.2.22) полу­ чим уравнения характеристик

Отметим, что точно такие же уравнения получаются при записи отношений дифференциалов dEi и dEi, при перемещении вдоль линий скольжения семейств а и р соответственно (рис. 57). Это означает, что характеристики уравнения (2.2.19) совпадают с линиями скольжения. Продолжая анализ уравнений (2.2.19), (2.2.20), можно показать, что вдоль а - и р-линий должны выполняться соответствующие соотношения

2тт 2тт

где § = const вдоль а- линий; ц = const вдоль р-линий. Связь —2- и <р в

2 х т

(2.2.24) для а- и P-линий носит название соотношений Г.Генки.

Спомощью (1.3.22) разложим тензор напряжений на девиаторную

исферическую части. Тогда, учитывая, что угол между касательной к

Упражнение 2.2.3. Показать, что при плоском деформированном состоянии модуль нормального напряжения (1.3.26) имеет вид:

Рассмотрим некоторую область движения сплошной среды с гра­ ницей S, касательная к которой наклонена к оси Е\ под углом ip (рис. 58). Тогда единичная внешняя нормаль к поверхности S представляется в виде:

204

Упражнение 2.2.4. С помощью (2.2.25) и (2.2.27) показать, что мо­ дули касательного (1.3.29) и нормального (2.2.26) напряжений на на­ клонной площадке с нормалью ■ связаны с параметрами линий сколь­ жения соотношениями:

р" = сто+ Ттsin2 (q> - ф);

При решении задач ОМД наиболее часто используют закон трения Э.Зибеля - по напряже­ нию пластического сдвига

где fit - коэффициент трения по напряжению пластического сдвига, и закон трения Т.Карма- н а -п о нормальному давлению

который является следствием за­ кона трения Г.Кулона-СЛ.Амонтона, известного из курса физики

средней школы. В формуле (2.2.30) р, - коэффициент трения по нор­ мальному давлению.

При подстановке (2.2.29) во вторую формулу (2.2.28) получим

С помощью заданного коэффициента цт трения по напряжению пластического сдвига и угла ф, формула (2.2.31) позволяет определить наклон a -линий скольжения к контактной поверхности.

При подстановке (2.2.30) в (2.2.28) получим

(2.2.32)

Знаки перед радикалом в (2.2.32) определяются конкретными условиями решаемой задачи. При заданном коэффициенте р,,трения по нормальному давлению и углу ф формула (2.2.32) позволяет, используя отношение

— , определить наклон «-линии скольжения к контактной поверхности.

т т

20S

Из сравнения (2.2.31) и (2.2.32) следует, что при любых действи­ тельных значениях углов q> формулы (2.2.31) и (2.2.32) не совпадают. Это означает, что в точке контакта, где закон (2.2.29) переходит в закон (2.2.30), сетка линий скольжения должна иметь центрированный веер.

Упражнение 2.2.5. С помощью (2.2.31) показать, что при движении сплошной среды в области, представленной на рис. 59, допустимые со­ отношения между геометрическими параметрами очага деформации ср

и X* *о должны удовлетворять следующему неравенству *1

(2.2.33)

2v 2 sinvp

Для иллюстрации применения метода линий скольжения рассмот­ рим пример решения задачи о вдавливании шероховатого штампа в идеальное жестко-пластичное полупространство (рис. 60).

Рис. 59. Статически возможная сетка линий сколяниа для модешрования (фоцессов|фессаватш, прокаткипволочения

Рис. 60. Нагружение идеального жестко-пластичного полупространства плоским штампом

206

Решение начнем со свободной границы (рп-0 ; т" = 0), на которой дня удобства введем локальную вспомогательное множество координат ЩЕj. В этом множестве ц/ = 0 и из (2.2.28), зная, что т”= 0, определяем

Ф =—. Теперь, используя первое уравнение в (2.2.28), учитывая, что

4

р л= 0, определяем среднее напряжение сто= - Т т .

Для основных координат E\Ei на этой же границе ф = - + у , а сред-

4

нее напряжение вследствие его инвариантности останется неизменным, равным -Т т . Теперь по формул» (2.2.24) для a -линии определим константу

которая сохраняет свое значение при движении вдоль этой линии. Осу­ ществляя такое движение, попадем на контактную поверхность. Здесь наклон линии скольжения к оси Е\ определяем по формуле (2.2.31), учи­ тывая, что для этой поверхности \р=0, а угол q> является отрицательным

2

Подставим (2.2.35) в (2.2.24) и определим значение £ для рассматривае­ мой а-линии:

(2.2.36), принадлежат одной и той же a -линии, их можно приравнять. Из этого равенства определяем среднее напряжение под штампом

Теперь, учитывая, что у = <р+—, по формулам (2.2.16) с помощью

4

(2.2.35) и (2.2.37) рассчитаем значения компонент тензора напряжений

а 13 “ 2цтт т,

207

(2.2.38)

®22 - ’ - И +2v+arccos2|i4

Далее по формулам (2.2.28) определяем контактные напряжения j f и т", учитывая, что на контактной поверхности п\ = 0ипг= 1,

Таким образом, построенная сетка линий скольжения и заданные граничные условия позволили определить все статические параметры рассмотренного процесса. Следует однако заметить, что, хотя всякая сепса линий скольжения, удовлетворяющая статическим граничным условиям и уравнению равновесия, является статически возможной, та­ ких СВ-сеток линий скольжения для одной и той же области, при одних и тех же граничных условиях можно построил, бесчисленное множест­ во. Этим объясняется неоднозначность решения задач ТП методом ли­ ний скольжения. Классическим примером этому могут служил, сетки линий скольжения, предложенные Л.Прандглем (рис. 61, а) и Р.Хиллом (рис. 61, б) для решения одной и той же задачи о внедрении абсолютно гладкого штампа в идеальное жеспсо-пластичное полупространство.

(например, Р) к другой линии этого же семейства вдоль любой линии скольжения ортогонального семейства (например, а) приращения ве­ личин сто и ф не зависят от того, по какой линии скольжения осуществ­ лен переход;

3) . Если некоторый отрезок линии скольжения представлен прямой, то вдоль этого отрезка компоненты тензора напряжений не изменяются;

208

4). На основании предыдущего свойства устанавливаем, что для прямолинейной ортогональной сетки линий скольжения напряженное состояние является однородным.

Частным вариантом последнего свойства является сохранение прямо­ линейности линий одного из семейств линий скольжения при условии, что некоторый отрезок этой линии, отсекаемый линиями скольжения другого семейства, является прямым. Вдоль таких прямых отрезков напряжения сг* сохраняют постоянные значения, но изменяются при переходе одного та­ кого отрезка к другому того же семейства линий. Такое напряженное со­ стояние называется простым. Примером сетки линий скольжения, соот­ ветствующей простому напряженному состоянию, является центрирован­ ный веер.

При исследовании конкретных процессов ОМД методом линий скольжения приходится решать ряд краевых задач. Формулировка не­ которых из них приведена ниже.

Краевая задача О.Коиш состоит в решении уравнений (2.2.18) по заданным сто и q> на некоторой границе, не совпадающей с характери­ стическими направлениями (2.2.23) и пересекаемой характеристикой только один раз.

Краевая задача Г.Римана состоит в решении системы уравнений (2.2.18) по заданным сто и ср на двух дугах, совпадающих соответственно с а- и {3-линиями. В частности, одна их граничных дуг, например, сов­ падающая с {3-линией, стягиваемых в о дну точку, может неограниченно уменьшаться при постоянном изменении угла <р. В этом случае все а- линии сходятся в точку вырождения {3-линий, а напряжения в этой точ­ ке претерпевают разрыв. Решение краевой задачи Г.Римана с вырож­ денной характеристикой может быть найдено при заданном угле рас­ твора в точке вырождения (3-линий и известных сто и ф на а-линии.

Смешанная краевая задача заключается в построении сетки линий скольжения по заданной граничной линии скольжения и пересекающей ее линии, вдоль которой задан угол наклона линий скольжения.

Для определения компонент вектора скорости вдоль линий скольже­

ния подставим (2.2.15) в (2.2.12), учитывая, что у = ф+—. Полученный 4

результат вместе с условием несжимаемости среды (1.2.98) образует замк­ нутое множество дифференциальных уравнений гиперболического типа

209

характеристики которой совпадают с линиями скольжения. При этом вдоль а - и (3-линий должны выполняться соответствующие соотноше­ ния Х.Гейрингер:

При деформировании композитных сред на границе двух компо­ нент возможен не только разрыв вектора скорости, как отмечалось ра­ нее (п.п. 1.2.10 и 1.4.3) за счет тангенциальной к поверхности разрыва составляющей вектора скорости, но также возможен разрыв нормаль­ ного напряжения, лежащего в плоскости, касательной к поверхности разрыва. Поясним последнее примером.

Пусть напряженные состояния некоторых малых окрестностей поверхностной точки на поверхности раздела двух пласги

мируемых сред характеризуются тензорами напряжений

T j = |т » J. Для определенности оси координат назначим так, чтобы

в рассматриваемой поверхностной точке компоненты единичной внешней нормали для одной среды имели вид: п\ - 1; П) = 0; для другой - И) = -1 ; Из = 0. В соответствии с (1.3.29) и (2.2.26) для обоих топоров имеем:

(2.2.42)

Ранее (1.3.54), (1.3.57) было установлено, что р п> = р н ;тп> = т"*,

откуда следует, что <т[, = о[3 = о ,,; о,}} = of, = ст13. Для обеих сред, на­

ходящихся в пластическом состоянии, должно выполняться условие пластичности (1.5.74). Поэтому с учетом (1.3.24) для плоского дефор­ мированного состояния двух сред имеем

(2.2.43)

Отсюда

(2.2.44)

210