книги / Модели непрерывных каналов связи на основе стохастических дифференциальных уравнений

Зная величину 1/тКОр, плот­ ность вероятности wCT{x) и предполагая, что существуют f " '( 0) и /'(0 ) (что имеет место не всегда) нетрудно найти ко­ эффициент диффузии К.

П р и м е р . Рассмотрим распреде­ ление (1.5.12)

ее выражение получается довольно громоздким и содержит функции параболи­

10%, что указывает на допустимость гауссовского приближения при решении рассматриваемых задач.

2.7.4. Структурный синтез СДУ

Если при синтезе одномерного СДУ принять g(.v) = )^/(, то функция /(х ), как уже указывалось, может быть определена с точ­ ностью до постоянной К по заданной шст(л*). Тем самым опреде­ ляется структура СДУ и остается только найти значение К. Для этого можно использовать следующий прием [71]. Считая, что ве­ личина К известна, по найденному СДУ записывают УФПК, ко­ торое затем решается методами, описанными в § 2.1, и отыскива­ ется величина /(*(т), по предположению близка к экспоненте, причем показатель последней зависит от К Зная показатель экс­ поненты, определяем неизвестное значение /С

91

Поясним этот метод примером. Пусть W CT (X ) — распределение Накатами (1.5.6). Тогда в СДУ

f(x) = - j - ------2тх^, * G [0 , с»).

Составляя соответствующее УФПК, приходим к (2.2.3), решая которое, получаем Кх {х) вида (2.2.8). Пусть в заданной Кх {т) ко­ эффициент в показателе экспоненты (интервал корреляции) ра­ вен 1. Тогда из (2.2.8) К— 112т, что совпадает с результатом разд. 2.5.4.

Еще один пример касается логнормального распределения (1.5.10) , роль которого при моделировании каналов связи особен­ но велика (см. разд. 1.5.2). Соответствующее СДУ имеет вид

^ = - ^ ( 1п т + а 1 + г к~ т

где о2= о 2м, р.=\птм. Используя метод статистической линеари­ зации [45, 90], находим

K = 2 p V V ’ - l ) / w

Таким образом, описанный метод применим во всех случаях, когда есть возможность аналитического решения УФПК метода­ ми, описанными в § 2.1. Если известны приближенные или качест­ венные методы определения Кх (х) или тКор, например в виде (2.3.10) (см. также [90]), то подход этого раздела совпадает с из­ ложенным в разд. 2.7.3.

2.8. СИНТЕЗ ДВУМЕРНЫХ МАРКОВСКИХ МОДЕЛЕЙ УЗКОПОЛОСНЫХ ПРОЦЕССОВ

изменяющиеся так, что эффективная ширина энергетического спек­ тра AQ процесса y(t) удовлетворяет условию AQ/CDO'C I, т. е. про­

где шф(<р)=1/2я при <ре[—я, я].

Выражением вида (2.8.1) описываются случайные колебания типа «замирающей несущей» (см. гл. 6), а также многие негаус­ совские (в том числе замирающие) сосредоточенные помехи.

92

Рассмотрим корреляционную функцию процесса (2.8.1) в пред­ положении, что соответствующий спектр G(w) симметричен отно­ сительно частоты ©о, а стационарное распределение амплитуды ШстИ) подчиняется закону Накагами (1.5.6). Тогда корреляцион­ ная функция /Сх(т )= а 2р(т) COSWOT, а ее огибающая р(т) связана с коэффициентом корреляции амплитуды сигнала # А(т) соотноше­ нием

которое следует из результата, приведенного в [178]. Для значе­ ний l/2s^ms^5, представляющих основной практический интерес, это равенство легко проверяется расчетом.

Полагая, что узкополосный процесс (2.8.1) порождается устойчивой динамической системой, естественно принять в качестве его модели стационарное решение СДУ минимального порядка. По­ скольку СДУ первого порядка принципиально не могут порождать квазигармонические процессы, следует остановиться на СДУ вто­ рого порядка.

Как уже отмечалось, существует множество СДУ второго по­ рядка, порождающих процесс (2.8.1) и описывающих нелинейные колебательные контуры. Рассмотрим уравнение вида [34, 131]

где AQ удовлетворяет условию узкополосности, a /(=4<j2©2oAQ. Дисперсия этого процесса а2, центральная частота ©о и полоса

AQ определяются по спектру G(©). Остается найти функцию

f (у, . Следуя [36] для нее можно записать интегральное

уравнение

2п

•по d—-A2In wCT(Аг) 1= ( f (A cos Ф — A sin Ф) sin2 Ф^Ф, (2.8.51

I J

где Ф (/)=о)о^_Ь ф (0 —полная фаза; Wvr(A2) —одномерная плотность вероятности квадрата амплитуды. Она может быть определена по WCT(у) на основе известных интегральных соотношений [118]. Та­ ким образом, левая часть (2.8.5) известна, а функцию /(А соэФ —

—A sin Ф) требуется найти. Уравнение (2.8.5) не определяет ее однозначно, поэтому необходимы дополнительные предположения.

Пусть указанная функция не зависит от производной:

' ('• - 2 г Н « -

93

Следует, однако, учитывать, что вследствие упомянутой аппро­ ксимации распределения wM(y) распределение амплитуд тСт(А) процесса (2.8.1) будет совпадать с законом Накагами лишь при­ ближенно. Поэтому в тех случаях, когда требуется точное совпа­ дение распределений, необходимо рассмотреть СДУ более общего вида, чем (2.8.4):

Если fi(y, dy/dt)=f\(y), то от (2.8.8) легко перейти к интеггральному уравнению Абеля, решение которого имеет вид

где 1(A) —правая часть (2.8.8). Поскольку далее ищется решение в классе непрерывных функций, то на /(А )'сл едует наложить ус­

ловие Пт I (А) = 0.

а-*о

Указанное решение справедливо для любых функций f2(y, dy/dt), однако с точки зрения реализации удобно выбирать функ­ ции простого вида. В табл. 2.2 приведены выражения 1(A) и 1т(А) для различных функций f2(y, dyfdt) при оговоренном выше усло­ вии, что стационарное распределение амплитуд шст(А) подчиняет­ ся закону Накагами.

34

Из таблицы видно, что функции f\{y) при /2 {у, dyfdt), равной у' и dyfdt, получаются практически одинаковыми. Однако с реализа­ ционной точки зрения наиболее простой является модель, соответствующая

т. е. СДУ вида

Таким образом, найдено единственное СДУ, порождающее про­ цесс (2.8.1 с распределением амплитуд по закону Накагами. Мож­ но показать, что это СДУ устойчиво.

Рассмотрим теперь синтез СДУ для негауссовской узкополос­ ной помехи с плотностью вероятности мгновенных значений вида (1.5.13), известной под названием распределения Холла [185] и используемой при описании негауссовских помех на выходе изби­ рательного тракта приемника. Соотношения Блан-Лапиерра позво­ ляют записать стационарное распределение амплитуды в виде

( f + A2) 2

где Л е [0 , оо). Это выражение будет использовано также в гл. 3„ Подставляя (1.5.13) в (2.8.6), получаем

М ' = - ~ Ь ехр [т~{уг+ f ) ] Е‘ [~ 1 Г { f + 'f } \■

где Ei(z) — интегральная показательная функция [128]. Тем самым СДУ вида (2.8.4) для процесса с распределением Холла синтези­ ровано.

95

2.9. ВЫВОДЫ

Сравним возможности и области применения рассмотренных методов анали­ за и синтеза марковских моделей случайных процессов в каналах связи в фор­ ме СДУ.

Метод анализа СДУ на основе диагоналиэации матрицы диффузии и после­ дующего разделения переменных позволяет проследить влияние вида СДУ на поведение моментных функций любого порядка. Однако реализация его для СДУ большой размерности затруднена из-за сложности решения краевой задачи.

Метод, основанный на сведении УФПК к интегральному уравнению Вольтерра второго рода, удобен для проведения численных расчетов, так как сводит процесс решения УФПК к стандартной вычислительной процедуре.

Общие методы синтеза многомерных марковских моделей в форме СДУ требуют большого объема исходной информации и применения сложных вычис­ лительных процедур. Если, однако, ограничиться исходной информацией в виде плотности вероятности и корреляционной функции (как это чаще всего и бывает на практике), то можно синтезировать достаточно простые СДУ первого и вто­ рого порядка, порождающие случайные процессы с заданными характеристиками.

Выбор конкретного вида СДУ второго порядка диктуется удобствами реше­ ния задачи синтеза, а также перспективами дальнейшего использования его при построении имитаторов каналов и синтезе оптимальных алгоритмов обработки сигналов в моделируемом канале.

В приложении 1 приведена сводная таблица СДУ, определяющих случайные процессы с различными законами распределения, характерными для статистики реальных каналов связи (см. § 1.5). Эти СДУ получены на основе рассмотрен­ ных выше методов.

Г л а в а 3

МАРКОВСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В КАНАЛАХ СВЯЗИ

3.1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИМПУЛЬСНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ СТОХАСТИЧЕСКИМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ

3.1.1. Разрывные марковские процессы и порождающие их СДУ

Как уже отмечалось в § 1.5, при передаче информации по мно­ гим видам реальных каналов связи существенную роль играют импульсные помехи. Случайные процессы импульсного типа воз­ никают и при преобразованиях полезных сигналов в некоторых звеньях каналов связи, например в фотодетекторах оптических си­ стем.

К типу импульсных, как известно, относят случайные процессы, которые можно рассматривать как последовательности «импуль­ сов» той или иной формы с длительностью, которая предполагает-

.96

Ниже рассматриваются вопросы анализа и синтеза марковских моделей разрывных случайных процессов в виде СДУ (3.1.1) с произвольной размерностью п. Более детально исследованы од­ номерные и двумерные модели, представляющие наибольший прак­ тический интерес.

3.1.2. Методы анализа и синтеза марковских моделей разрывных процессов

Под решением задачи анализа СДУ (3.1.1) в соответствии с общим подхо­ дом, сформулированным в § 1.6, будем понимать определение плотности вероят­ ности ш(х, t) или я(х, /|хо, to) порождаемого им процесса x(i) путем решения уравнения Колмогорова — Феллера (1.4.18) при заданных начальных и граничных условиях.

Решение УКФ позволяет вычислить известными методами [142] моментные функции и спектральные характеристики векторного процесса x(t) или любой его компоненты.

Рассмотрим вначале некоторые возможные подходы к этой задаче, рекомен­ дованные в [104, 142]. Известно, что уравнения типа (1.4.18) можно решать несколькими способами: методом интегральных преобразований по Фурье или Лапласу, методом разложения по полной системе функций и др. Указанные два метода по существу сводятся к восстановлению распределения вероятностей по некоторому числу его моментов, т. е. к решению так называемой проблемы мо­ ментов [106]. Однако в случае нелинейных СДУ при ограниченном числе членов в представлении характеристической функции в виде ряда понятие плотности вероятности оказывается лишенным практического смысла [90]. При бесконеч­ ном числе членов получить выражение для суммы ряда удается только в случае линейного СДУ. Сказанное позволяет отказаться здесь от рассмотрения перечис­ ленных методов.

Рассмотрим возможность использования для решения УКФ процедуры, изло­ женной в § 2.1. Пусть начальные условия

Вводя в рассмотрение характеристическую функцию 0 (v, /), связанную пре­ образованием Фурье с переходной плотностью вероятности я(х, /|х0, t0), полу­ чаем из (1.4.18)

П

k=I

где F — символ преобразования Фурье; P(v) — характеристическая функция рас­ пределения р(А). Широкий класс нелинейных функций fh(x) в СДУ (3.1.1) до­ пускает представление [45, 79]

Поскольку

98

имеем

<эе

этом необходимо учитывать правило приближения распределений по оценкам их характеристических функций [106].

Рассмотрим возможность синтеза моделей вида (3.1.1). Под решением за­ дачи синтеза марковских моделей разрывных случайных процессов в форме СДУ вида (3.1.1) будем понимать алгоритм определения с заданной точностью раз­ мерности, п, функции f(x) в указанном СДУ, распределения р(А) в УКФ (1.4.18) и параметра порождающего процесса v по известной исходной информа­ ции о вероятностных характеристиках моделируемого процесса.

Рассмотрим интегральный член в (1.4.18)

/ = wCT(х — А) р (A) dA

кп

и положим dw(x, t) ldt=0, так как исследуется стационарный режим. Используя разложение шст(х—А) при шСт(0)=т^0 в ряд Тейлора, получаем представление

Возникает вопрос: откуда брать исходную информацию, т. е. р(А ), шСх(х)

М[А«] к ща и затем пользоваться методами построения р(А) по известному набору кумулянтов.

Обоснованность принятых допущений может быть проверена эксперимен­ тально только для каждого конкретного случая, поэтому использование соотно­ шений (3.1.4) — (3.1.7) в общем случае затруднительно. Однако они с успехом могут быть использованы при синтезе моделей в классе одномерных и двумерных СДУ, который и рассматривается ниже. Эти модели хорошо описывают многие виды индустриальных и атмосферных импульсных помех в радиоканалах.

3.2. ОДНОМЕРНЫЕ МАРКОВСКИЕ МОДЕЛИ РАЗРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В КАНАЛАХ СВЯЗИ

В этом разделе рассматривается решение уравнения (1.4.18) при п= 1 методом вырожденных ядер и путем разложения решения по степеням параметра v. Стационарная плотность вероятности мо­ жет быть найдена также на основе сведения УКФ к интегральным уравнениям или кумулянтным методом.

Сущность последнего метода состоит в представлении УКФ (1.4.18) в виде [90]

00

где К\{х) = —f(x)-\-vМ [Л]; Ki(x)=vM . [Л1], 1=2, 3, ..., после чего кумулянты {xs} стационарного распределения определяются из си­ стемы уравнений

2 C ' s (x i! -'l. К,(х)) = 0, 5 = 1 , 2 9•••

Кумулянты представляют и самостоятельный интерес при по­ строении моделей каналов связи. С их помощью, например, можно получить приближенное выражение wm (x\ щ, ...» %N ) для плотно­ сти вероятности wcx(x). Обычно используется эксцессное прибли-

100