книги / Модели непрерывных каналов связи на основе стохастических дифференциальных уравнений

Рассматриваемая здесь задача оценивания поля в более об­ щей форме, чем это сделано выше, может быть поставлена сле­ дующим образом. Пусть задана модель случайного поля в виде СДУ с частными производными одного из типов, введенных в

разд. 1.4.3, с теми или иными ограничениями на входное воздей­ ствие, коэффициенты уравнений, краевые условия и т. п.

Необходимо синтезировать алгоритм формирования наилучшей

по критерию (5.4.3) оценки поля у (t, г) или его вектора состоя-

ния х(/, г) в точке (t, г) на основе наблюдения реализации поля y{t, г) в аддитивной смеси с шумом п(/, г),

в некоторой заданной пространственно-временной области /. Вы­

рой оценивается поле, на границе области /, вне или внутри нее, говорят об оптимальной фильтрации, экстраполяции (прогнозиро­ вании, предсказании) или интерполяции (сглаживании) поля.

При идентификации модели поля (5.2.1) методом, изложенным в §5.3, рассматривается область наблюдения / = [ 0 , Т] XQ, ив не­ прерывном случае необходима оценка, которая является решением задачи фильтрации, а в дискретном — экстраполяции по времени на «один шаг» по наблюдениям в этой области. Именно эти зада­ чи и рассматриваются в последующих разделах.

Такое обобщение калмановского оценивания, когда поле опи­ сывается уравнениями состояния типа (5.2.1) или им подобными, предполагающими упорядоченность состояний по времени, и в ана­ логичном виде ищется оценка, оказывается наиболее простым. Под состоянием в фиксированный момент t при этом понимается поле х (/, р), рассматриваемое как векторная функция р, опреде­

Ясно, что в этом случае рассматриваемая задача сводится к задаче калмановского оценивания для случайного процесса со значениями в функциональном пространстве, а при наблюдении поля в конечном числе точек — к задаче оценивания многомерного марковского процесса.

Наряду с этим можно использовать и модели, основанные на других способах упорядочения поля (см. разд. 1.3.2 и 1.4.3), и формировать оценку рекуррентно не только по времени, но и по пространству, например искать

x(t, r)= M {x (f, r)|z(t, р), т £ [0 , /], р £ [0, г]}.

Рассмотрим некоторые пути реализации перечисленных подхо­ дов к задаче калмановского оценивания полей.

171

5.4.2. Линейное оценивание состояния поля

Рассмотрим модель марковского по времени поля, задаваемую векторным уравнением состояний

ot г

и уравнением наблюдений

где ^ — некоторый линейный интегральный или интегродиффе-

ренциальный оператор по пространственным координатам на мно­ жестве векторных ПВ сигналов; § (/, г) и п(£, г) — некоррелирован­ ные между собой и дельта-коррелированные по времени слу­ чайные поля с матрицами пространственной корреляции (когерентности) Q£(^, г, р) и Qn(£. г, р);

М1(/, r)iT(,, P) = Q6(<. г. р) 8 (/-•*),

Предполагается, что для полезной компоненты наблюдаемого поля или самого вектора состояний заданы детерминированные1 начальные и граничные условия

блюдаемой области Q.

Нелинейные модели, а также уравнения существенно иной по сравнению с (5.4.5) структуры рассмотрены в разд. 5.4.3, 5.4.4.

Задача оптимальной фильтрации калмановского типа для слу­ чайных полей, описываемых СДУ вида (5.4.5) с теми или иными ограничениями на вид оператора &г граничные условия рассма­

тривалась многими авторами, например [4, 44, 78, 92, 159, 164,

блюдаемой области пространства или осуществляется дискретиза­ ция поля по пространству более общим методом за счет представ­ ления его в некотором базисе, как описано в разд. 5.1.4, то можно заменить СДУ в частных производных (5.4.5) системой обыкно­ венных СДУ относительно компонент дискретного представления вектора состояния Xk(t) [в частном случае — отсчетов x(t, г^)].

1 Можно рассматривать (см., например, [190]) и задачу со стохастическими граничными условиями.

172

Эту систему удобно записывать в виде одного векторного урав­

дискретного представления векторов состояний x(t, г) и %(t, г),

Если дискретизация поля производится простым взятием от­ счетов в различных точках пространства и G(/, г) в исходном

а поле заменяется отсчетами Xk ( t ) =x( t , га), взятыми с интерва­

Z (/) =

® — знак кронекеровского произведения.

173

Блочные векторы шумов в (5.4.9) и (5.4.12) в силу (5.4.7)

B SM = Kf) ^ М = ф аы8 (<—т)'

К уравнению (5.4.9) уже применим обычный алгоритм опти­ мальной фильтрации Калмана — Бьюси, известный для многомер­ ных марковских процессов. Поскольку получаемые при этом оцен­ ки необходимы для осуществления идентификации параметров, описанной в § 5.3, приведем для них выражения применительно к частному (и наиболее типичному) случаю, когда поле y(t, г) представляется обычными отсчетами y ( t , гд) в дискретных точках пространства. Такие выражения интересны еще и потому, что позволяют наглядно (хотя и нестрого) проследить переход к не­ прерывной фильтрации. Рассмотрим кратко и другой тип дискре­ тизации. Искомая оценка

х(1, г „)= М {х (/, r*)|Z(t, г,), *= [0, 1],

в которых сигнал ошибки фильтрации умножается на матричные

Х[х(1 . г ,) - х ( 1 , г,)]г

—матрица пространственной корреляции ошибки фильтрации, удовлетворяющая матричному уравнению Риккати

174

х (0. г*) = х (0, гЛ)=|*х(0, гй),

(5.4.19)

В уравнения (5.4.16) входят блоки обратной матрицы прост­ ранственной корреляции шума наблюдений [ON (Z)]” 1. Обращение

блочной матрицы высокой размерности — весьма трудоемкая опе-

Рис. 5.7. Структурная схема фильтра Калмана для случайного поля, наблюдаемого в дискретных точках пространства (буквенные обо­ значения указывают матричные коэффициенты передачи звеньев).

рация. Поэтому целесообразно осуществлять дискретизацию поля по пространству так, чтобы компоненты шума были не коррелированы не только по t, но и по г. При взятии отсчетов это обеспе­ чивается выбором интервала отсчетов, соответствующего нулям функций пространственной корреляции:

Аналогично можно потребовать и для возбуждающего поля

Q|(<, АДг, Мг) = Ф |(/, Гц)8ы.

При других, более общих видах дискретизации некоррелиро­ ванность обеспечивается выбором базиса Карунена — Лоэва [127].

175

При условии (5.4.20) обращение матрицы Фм (/) существенно

упрощается, так как она становится блочно-диагональной и

мы в (5,4.18) остается только по одному члену], а следователь­ но, и реализация фильтра. Иногда для упрощения реализации можно использовать близость матриц к теплицевым [61].

Структурная схема фильтра калмановского типа, реализующе­ го описанный алгоритм, показана на рис. 5.7. Оценки поля в ди­ скретных точках пространства, формируемые таким фильтром, достаточны для осуществления идентификации по методу, опи­ санному в § 5.3 ,(см. рис. 5.6).

Задача дискретизации и последующего восстановления непре­ рывного поля после фильтрации допускает более строгое решение при представлении уравнения (5.4.5) в собственном базисе опе­

где фь(г)— собственные функции оператора^, выбранные оди­

наковыми по всем скалярным компонентам поля (см. разд. 1.2.2), получаем с учетом его линейности

где Lk(t) — матрица собственных чисел оператора по скалярным компонентам поля. После подстановки (5.4.23) в (5.4.5) и ска­ лярного умножения на биортогональные функции quij) (они явля­ ются собственными для сопряженного оператора) получается си­ стема обыкновенных дифференциальных уравнений (в векторной записи)

где

«n*W = jG(<, г) 80, г)?*(«, г)dr.

С

К системе (5.4.24) применяется точно так же, как описано вы­ ше, алгоритм калмановской фильтрации. Заметим, правда, что в этом случае он проще, так как (5.4.24) состоит из М отдельных независимых систем я-го порядка и матрица F (/) вместо (5.4.11)

176

имеет вид

Упрощение фильтрации достигается ценой усложнения процес­ са дискретизации (разложение по собственным функциям реалилизовать гораздо сложнее, чем простое взятие отсчетов поля). Однако в этом случае в силу (5.4.22) обеспечивается простое вое-

k=i

Разумеется, реально во всех суммах приходится ограничивать­ ся некоторым конечным числом членов М. При необходимости реализовать алгоритм оценивания в цифровой форме нетрудно описанным методом получить уравнения калмановской фильтра­ ции для дискретного времени.

По вопросам фильтрации дискретных двумерных полей имеет­ ся обширная литература [13, 143, 150, 186, 202 и др.]. Хотя в ос­ новном в ней рассматриваются двумерные статические поля (изо­ бражения), одну из координат обычно можно интерпретировать и как время.

Обратимся теперь к синтезу алгоритмов оценивания полей на основе измерений, непрерывных как по времени, так и про­ странству.

Применительно к модели (5.4.5), соответствующей упорядоче­ нию состояний поля по времени, можно рассматривать оценку (5.4.4) по наблюдениям в интервале [0, t] и по непрерывной об­ ласти пространства Q как предельный случай рассмотренный вы­ ше оценки по наблюдениям в дискретных точках пространства при Дг->0, М->оо. Формально записать в соответствующей пре­ дельной интегральной форме соотношения (5.4.16) — (5.4.18) не­ трудно. Главная проблема состоит в строгом математическом обосновании подобного перехода. По-видимому, одними из пер­ вых работ, где были предложены и обоснованы непрерывные уравнения калмановской фильтрации поля, явились [4, 178, 188]. В [189] аналогичные результаты получены на основе аппарата характеристических функционалов, в [191] обобщены на случай

решение указанной задачи для одномерного СДУ с использовани­ ем стохастических интегралов от случайного поля.

По существу, все перечисленные работы имеют одну общую

не раз говорилось выше. Поскольку рассматриваемые при обра­ ботке сигналов пространства обычно имеют счетный базис, су­ ществует очевидная связь указанного непрерывного представле­ ния с дискретным.

При выводе и обосновании уравнений калмановской фильтра­ ции случайного поля, описываемого (5.4.5) можно использовать те же подходы, которые известны для случайных процессов: лем­ мы об ортогональных проекциях, применяемые к ошибке фильтра­ ции, отношение правдоподобия и байесовские процедуры [188], пространственно-временные аналоги УФПК и аппарат характери­ стических функционалов [189, 190, 192].

Здесь приведем лишь основной результат. Уравнения непре­ рывного фильтра калмановского типа, определяющие наилучшую

2

и в них входит матричная пространственная ИПХ фильтрации сигнала ошибки

оX

R(f, 1, р) = ф ~! (£, 1)8(1 — р)и интегрирование по 1 устраняются. Если не требуется определение корреляционной матрицы ошибки

К„(t, г,1) (при идентификации по методу разд. 5.3 она необхо-

х

178

дима), то для нахождения матричной ИПХ можно использовать непосредственно уравнение

— '■ 0 =SerK((, г, I) — J К(/, г, l)CK(f. г, 1)Л. (5.4.32)

Я

Оптимальный фильтр выше определен как пространственнораспределенная динамическая система, описываемая уравнениями (5.4.27). Естественно, в принципе, можно перейти и к альтерна­ тивной модели — интегральному представлению (см. разд. 1.2.1) вида

где Н(£, х, г, р).— матричная ИПХ фильтра. При этом Н(^, t, г, р )= = К (t, г, р). Однако расчет указанной ИПХ оказывается непростой

задачей (заметим, что можно с самого начала искать модель фильтра в виде (5.4.33), что соответствует задаче винеровского типа).

Некоторым недостатком описанного подхода является то, что при чисто «белом» возбуждающем воздействии §(/, г), дельтакоррелированном не только по времени, но и по пространству,

Q6(*. г, р) = 'Чг5(/| г)-8 (г — р)

и в уравнении Риккати (5.4.31) в явном виде (не под знаком интеграла) присутствует дельта-функция. Строгое математическое обоснование оптимальной калмановской фильтрации поля для та­ кой модели можно найти в [198, 199], где рассматривается част­ ный случай задачи получения оценки типа (5.4.4) для двумерного (плоского) скалярного поля, описываемого с помощью стохасти­ ческих интегралов по винеровскому полю (см. разд. 1.4.3) в виде

в «нестрогой» форме с использованием белого шума, в частности СДУ видов (1.4.37) и (1.4.41). На основе теории двухпараметри­ ческих мартингалов выводятся уравнения оценки и уравнение

(5.4.34). Поскольку в (5.4.34) винеровское поле входит под инте­ гралом, в уравнении Риккати дельта-функция не присутствует.

Некоторые более общие задачи и алгоритмы оценивания полей кратко рассмотрены в разд. 5.4.4.

Говоря о реализации рассмотренных выше алгоритмов, нельзя не отметить, что она достаточно сложна: для получения оценки не только необходимо решить уравнения фильтра (5.4.27), но и предварительно найти решение интегродифференциального урав­

Рис. 5.8. Структурная схема аналогового фильтра Калмана для непрерывного случайного поля

всем) координатам одним из способов, общий подход к которым изложен в разд. 5.1.4. Дискретизация необходима и при фильтра­ ции с применением ЭВМ. Ясно, что в таких случаях целесообраз­ но использовать уравнения дискретного фильтра Калмана, при­ веденные в начале этого раздела. Таким образом, необходимость в решении задач непрерывной фильтрации полей (а задачи эти, как правило, встречают определенные трудности математического характера, связанные с существованием мер, стохастических инте­ гралов) на практике возникает относительно редко. Вместе с тем, думается, было бы неверным полностью исключить непрерывные модели и алгоритмы фильтрации из арсенала техники обработки полей. В принципе, уравнения фильтра могут быть реализованы и непосредственно в непрерывной форме на базе аналоговых мето­ дов моделирования полей, некоторые из которых описаны в §6.4. Имеются определенные технические возможности и для аналого­ вой реализации фильтров сигналов оптического диапазона.

Наконец, в непрерывной форме многие алгоритмы имеют бо­ лее простой вид, чем в дискретной, что нередко является указани­ ем на возможность упростить практическую реализацию и соот­ ветствующих дискретных алгоритмов за счет использования при­ ближения, справедливого при достаточно малом интервале ди­ скретизации.

На рис. 5.8 представлена структурная схема аналогового филь­ тра Калмана, реализующего уравнения (5.4.27) — (5.4.34). Для использования оценок поля, формируемых описанными фильтра­ ми, в задачах идентификации, рассмотренных в § 5.3, необходимо варьировать параметры 0, от которых в этом случае зависят опе-

180