книги / Модели непрерывных каналов связи на основе стохастических дифференциальных уравнений

поведения моментных функций, оценка влияния коэффициентов СДУ на вероятностные характеристики его решения позволяют су­ щественно упростить сложную задачу синтеза модели, однако большинство известных методов в общем случае не дает таких возможностей. Поэтому с учетом специфики рассматриваемых здесь задач ниже будут изложены модификации известных мето­ дов решения УФПК.

2.1.2. Метод разделения переменных

Этот метод удобен для оценки поведения моментных функций, и на его основе получают результаты, обобщающие разложение Баретта— Лэмпарда [164] на многомерный случай.

Следует отметить, что применение метода разделения перемен­ ных (метода Фурье) к УФПК общего вида (1.4.14) в том виде, как это иногда делается, не является вполне корректным. Извест­ но, что для параболических уравнений применение метода Фурье всегда возможно в случаях представления УФПК в симме­ трическом виде, а также для некоторых таких несамосопряжен­ ных операторов, которые допускают разложение решения в ряд Фурье по собственным функциям их самосопряженной части. В общем случае должны выполняться весьма жесткие ограничения на взаимосвязь щ (х) и bij(x) в УФПК для того, чтобы соответст­ вующий ряд Фурье сходился, а собственные функции и собствен­ ные числа задачи удовлетворяли некоторым полезным свойствам, обсуждаемым ниже [81].

Проверка условий корректности метода Фурье не всегда является простой задачей. Однако в рассматриваемом ниже част­

амплитуды замирающего сигнала, аддитивных помех и т. п. Моде­ ли такого типа удобны для имитации случайных процессов, а так­ же решения задач приема сигналов методами теории переменных

К преобразованному УФПК с диагональной матрицей диффу­ зии во многих случаях, встречающихся на практике, можно при­ менить метод разделения переменных и получить решение в фор­ ме сходящегося ряда.

Поскольку согласно [131] B = G G T — симметричная положи­ тельно определенная матрица, то всегда существует ортогональная

52

матрица U, обеспечивающая преобразование (2.1.2), причем 1 Н =

=U T,

Вновых координатах СДУ (2.1.1) приобретает вид [131]

Решая преобразованное УФПК (2.1.4) обычным методом раз­ деления переменных [131, 142] при начальной плотности вероят­

^ c r ( * ' o )

m=0

и соответствующее представление двумерной плотности вероят­ ности

{х?(х/)}> применимы известные приближенные процедуры, напри­ мер метод Галеркина и др. [81, 95].

условий и для случая вырожденной матрицы диффузии. При их выполнении ряд (2.1.6) сходится, собственные числа функции

53

R"

Стационарная плотность вероятности W CT(X') может быть опре­ делена как функция Хо(х'), соответствующая Яс=0:

де (2.1.13), как отмечено выше, возможно не всегда, можно ука­ зать ряд типичных для каналов связи случайных процессов, приме­ нительно к которым удается получить для нее замкнутое аналити­ ческое выражение. Среди них в первую очередь следует назвать гауссовские процессы. Другим важным примером являются узко­ полосные процессы.

Рассмотрим, например, СДУ второго порядка:

54

с «малой» нелинейностью, находящегося под воздействием «малых» случайных сил. Очевидно, что при этом решением уравнения является случайный процесс в форме квазигармонического колебания

y{t)=A(t) cos [о)оН-фо(0],

где A(t) и фо(0 — случайные амплитуда и фаза соответственно. Если они изме­ няются достаточно медленно, т. е. их спектр не выходит за пределы частоты (i)r<^(*)o, то процесс y{t) оказывается узкополосным. Энергия такого случайного процесса E(t) изменяется во времени также медленно. Это обстоятельство су­ щественно используют при анализе рассматриваемого СДУ. В [131] показано, что введением новых переменных

с последующим дифференцированием по t анализируемое СДУ сводится к систе ме из двух уравнений:

dx2

Hi

определяющих двумерный марковокий процесс х (t) = [*i (/), Х г(0]т*

Отсюда

w (у |хг) = const

и

55

где No — энергетический спектр шума £(f), а функция F(x2) определяется из уравнения

Из выражения для а>Ст(*ь х2), возвращаясь к старым переменным y(t) и dyfdt, получаем

Щт

где С — некоторая константа.

Выражение (1/ю2о) [(dy/dt)2]-\-y2(t), являющееся аргументом функции F, совпадает с квадратом огибающей, определенной по Тихонову [140]. Отсюда

Шст(А). В рамках корректности определения огибающей по Тихонову Л (/) явля­ ется одномерным марковским процессом, удовлетворяющим СДУ первого поряд­ ка [12].

В заключение приведем выражение для шст(Л), полученное в [12] для СДУ более общего вида:

Последнее соотношение понадобится в дальнейшем при решении задач синтеза СДУ второго порядка.

Аналогичным образом, используя понятие гамильтониана

56

Располагая выражением для плотности вероятности анализи­ руемого процесса, нетрудно найти и его другие вероятностные ха­ рактеристики.

Записанное выше соотношение (2.1.6) с учетом (2.1.8) и (2.1.9)

*,M= f

q = \

Для определения моментных функций высших порядков необ­

57

Ввиду вещественности х<?(х/) естественно считать, что коэффициен­

Тогда из (2.1.14) следует, что /С.(т) является непрерывной и монотонной функцией т. Общее выражение для моментной функции произвольного N-ro порядка оказывается довольно сложным.

Зная моментные функции вектора х'(^), нетрудно рассчитать по ним и соответствующие моментные функции исходного вектор­ ного процесса х(£). Учитывая, что x '= U x и поэтому в силу орто­ гональности U

интегрального уравнения Вольтерра второго рода, для которого известны сходящиеся итерационные алгоритмы [81]. Из приклад­ ной литературы применительно к УФПК этот метод исследован в [43, 85].

Преобразуем УФПК (1.4.14), продифференцировав произведе­ ния под знаками сумм, к виду

где

58

Дифференциальный оператор 2? в левой части (2.1.22) являет­ ся линейным по отношению к функции ау(х, /). Это позволяет искать решение (2.1.22) в виде суммы

причем Г— граница области Q e R n. Граничные условия задаются

на регулярной части Г границы Г. Методы выделения регулярной

части границы Г изложены в [102, 142]. В дальнейшем полагаем, что функция

Ф (х, t ) = w ( x , t) |s,

где 5 = Г Х [ 0 , оо) на регулярной части границы равна нулю, а на остальной части границы определяется в ходе решения задачи.

Заметим, что в [85] рассматривается только первая из пере­

t

К(х, s, t, %)*=у0(х — s, s, t, x ) - f JcfA f у0(х — г, г, t, A )X т R«

59

где Q(x, s, /, т) удовлетворяет уравнению Вольтерра второго рода

брать и другие начальные приближения, однако в каждом таком случае необходимо отдельно доказывать сходимость метода.

Для решения интегрального уравнения Вольтерра (2.1.31), применяя к нему метод последовательных приближений, получаем общее выражение

где Km (х, s, t, т) — итерированные ядра, определяемые последова­ тельно по формулам

С учетом (2.1.31) — (2.1.33) соотношение (2.1.30) можно пере­ писать в виде

60