книги / Модели непрерывных каналов связи на основе стохастических дифференциальных уравнений

нейных СДУ, порождающих, как известно, гауссовские процессы и поля. Для нелинейных СДУ определение многомерной условной по 0 плотности вероятности их решения ад(хь ..., х^|0) и соответст­ вующего ОП даже при идентификации процессов требуют доволь­ но сложных процедур решения УФПК в нестационарном режиме (см. § 2.1). Что же касается моделей случайных полей, то для них, как отмечено в гл. 4, аналог УФПК вообще существует не всегда.

Поэтому при практическом осуществлении идентификации обычно идут по пути получения субоптимальных оценок, основан­ ных на тех или иных приближенных допущениях. Например, мож­ но использовать так называемый псевдобайесовский подход, при котором функция правдоподобия разлагается в произведение ус­ ловных плотностей, приближенно считающихся гауссовскими [121, 122]. Используя затем ряд допущений, удается свести задачу иден­ тификации к задаче нелинейной фильтрации калмановского типа.

Другой путь связан с представлением искомых параметров 0 как дополнительных переменных состояния. Поскольку эти пара­ метры предполагаются не меняющимися во времени, для них спра­ ведливо очевидное тождество d§/d t= 0, которое добавляется к исходным СДУ. К полученной системе уравнений относительно рас­ ширенного вектора состояний Х (/)= [х (£ ), 0] применяется проце­ дура оптимальной фильтрации [34, 45, 121, 161]. Такой путь,

в принципе, позволяет получать оценки параметров 0, оптималь­

торных и матричных величин, входящих в СДУ. К тому же рас­ ширенные СДУ, как правило, оказываются нелинейными относи­ тельно вектора Х(£). даже если исходные СДУ были линейны от­ носительно х (/). Поэтому необходимо прибегать к нелинейной фильтрации, практическая реализация которой почти неизбежно связана с теми или иными приближениями.

Применительно к случайным полям оба последних подхода на­ талкиваются на отмечавшиеся в разд. 1.3.2, 1.4.3 трудности, свя­ занные с обобщением понятия состояния, а следовательно, и алго­ ритмов фильтрации калмановского типа, на случайные функции многих переменных. По существу, для каждого типа СДУ в част­ ных производных, описывающего случайное поле, алгоритм оцени­ вания параметров должен быть разработан и обоснован отдельно.

Ниже рассматриваются некоторые, представляющие наиболь­ ший интерес для моделирования каналов связи алгоритмы иден­ тификации марковских моделей случайных процессов и полей в форме СДУ.

5.1.4. Дискретизация непрерывных СДУ в задачах идентификации

Практическая реализация непрерывных по пространству изме­ рений и обработки случайных полей при идентификации их моде­ лей, как правило, затруднительна. В большинстве случаев нзме-

141

рения осуществляются с помощью группы первичных преобразо­ вателей (датчиков), размещенных в определенных точках наблю­ даемой области пространства.

При условии линейности измерений (которое обычно соблюда­ ется) на выходах преобразователей формируются векторные сиг­ налы

где й —наблюдаемая область пространства; [0, Т] — интервал из­ мерения во времени; {t, х, р) — матричная импульсная характе­ ристика /-го преобразователя (см. разд. 1.2.1).

Если эта характеристика имеет вид

ные отсчеты поля в виде функций времени, наблюдаемых в дис­ кретных точках пространства:

занимает определенную, не сводящуюся к точке область простран­ ства и имеет инерционность во времени); поэтому точечные измере­ ния вида (5.1.12) следует рассматривать лишь как некоторое при­ ближение к реальной ситуации.

Если пренебречь инерционностью процессов в преобразовате­

где Q/ (г)— некоторые матричные функции г.

На практике для измерения во всех точках поля, как правило, используются однотипные преобразователи, обеспечивающие неза­ висимое измерение скалярных компонент поля. В этом случае диа­

где v — вектор пространственных частот, преобразователь будет измерять пространственный спектр реализации поля.

При обработке поля на цифровых ЭВМ необходима его дис­ кретизация не только по пространству, но и по времени. Для фор-

142

мирования отсчетов в дискретные моменты времени

Таким образом, дискретизацию поля следует понимать доста­ точно широко. В общем случае это некоторое усеченное представ­ ление (проекция) непрерывного поля в счетном базисе.

При условии (5.1.15) непрерывное поле может быть прибли­ женно восстановлено по своим дискретным компонентам с помо­ щью ряда

При дискретизации по пространству и времени используется представление

Если при первоначальном разложении поля использован орто­ гональный базис, то можно положить Ф *(г)=#(г) и Ч М 0 —Ы 0 - Располагая непрерывной моделью исходного поля y(t, г), мож­ но построить соответствующую дискретную модель для его конеч­ номерного представления (вектора функций [z*(/)] или матрицы

М ) .

Если, например, задано СДУ вида

f t , г у (* . г) = № Г),

143

то с учетом (5.1.21) можно записать систему уравнений:

NМ

Иг * , , { 2 2**« * »«* * (< ) ■qi(r)ta(t)dtdT

&о \k=i /=1

т

чая разные его модификации) известен под названием метода мо­ ментов или метода Галеркина [107]. Хотя выбор базиса при дис­ кретизации, в принципе, произволен, простой переход от непрерыв­ ной модели к дискретной получается только при определенных условиях. Для приведенного выше СДУ таким условием является

ных функций указанного оператора по скалярным компонентам

линейных алгебраических уравнений, в матричной записи имеющая вид

где t—оператор по временным координатам, и в итоге получает­ ся система обыкновенных дифференциальных уравнений

1 Здесь они выбраны одинаковыми по всем компонентам.

144

Для оператора дифференцирования собственными являются комплексные экспоненциальные функции

Действительно,

1VJ г

d г

Использование экспоненциальных функций приводит к извест­ ному спектральному представлению поля в конечной области, при котором СДУ заменяется моделью, основанной на введении пере­

даточных функций в приближенной дискретной форме (см. разд,

1.2.2).

Другой способ простого дискретного представления производ­ ных связан с использованием обычного представления поля его от­ счетами в дискретных точках пространства. При этом

Заметим, что дискретное спектральное представление может быть получено на основе применения к уравнению поля много­ мерного преобразования Фурье, как это подробно описано в гл. 4, и последующего взятия дискретных отсчетов по временной и про­ странственным частотам. Однако для нелинейных СДУ спектраль­ ное представление затруднительно.

На практике в основном распространена дискретизация полей путем представления их отсчетами по пространству и времени— она наиболее проста в реализации, дает удовлетворительную точ­ ность (реальные измерения обычно можно считать близкими к то­ чечным), удобна для аппроксимации производных.

Конечно, к представлению случайных процессов и полей типа белого шума своими отсчетами необходимо подходить с известной осторожностью. Не следует забывать, что спектр таких процессов даже приближенно нельзя считать финитным; поэтому восстанов­ ление их возможно только по отсчетам, взятым с интервалом Аг-> —>-0. Поэтому говоря о дискретной модели белого поля, обычно подразумевают поле с полосой пространственных частот A F=V 2Ar, а при предельном переходе к непрерывной модели вместе с Дг-*-0 полагают AF->-oo.

При дискретизации поля по пространству частные производные по координатам г заменяются соответствующими конечными раз­ ностями, в результате чего СДУ с частными производными заме­

— блочный вектор состояния, составленный из векторов состояния

Функции /(X , t) и G(X, t) определяются коэффициентами ис­ ходного СДУ в частных производных [для СДУ вида (1.4.34) — -оператором f T и матрицей G(x, t, г )]. Формулы для их расчета

могут быть получены для каждого конкретного вида СДУ и в слу­ чае нелинейных СДУ оказываются довольно сложными. Подроб­ ный пример такого расчета приведен в разд. 6.6.3.

Несмотря на сделанные выше оговорки, переход от непрерыв­ ных СДУ к дискретной модели типа (5.1.29) имеет вполне строгое математическое обоснование [165]. Показано, в частности, что если формирующий фильтр исходного поля удовлетворяет требо­ ванию физической осуществимости, то и формирующий фильтр многомерного случайного процесса, образованного отсчетами поля [т. е. фильтр, описываемый (5.1.29) ], также удовлетворяет этому требованию.

Рассмотрим теперь случай, когда производится дискретизация не только по пространству, но и по времени.

Обозначив X (th )= X (k ) и полагая

[ ■ T U ~ lX(* + 1 ) - X(*)1i - t

Заметим, что обратный переход от дискретной модели к не­ прерывной при Д/-й), N-+oo менее тривиален и для строгого обос­ нования требует привлечения понятия стохастического интеграла

446

где $ г — некоторые пространственный (дифференциальный или ин-

тегродифференциальный) оператор; Г— граница области наблюде­ ния в пространстве.

Граничные и начальные условия могут быть как детерминиро­ ванными, так и стохастическими, т. е. включать в себя некоторые случайные воздействия, а также детерминированными, но не изве­ стными (или содержащими неизвестные параметры). В последнем случае наряду с идентификацией самих СДУ возникает задача идентификации их начальных или граничных условий [112].

Однако перечисленные ситуации в основном характерны для физических, а не феноменологических моделей. В последних, как упоминалось, обычно целесообразно считать заданными какие-ли­ бо простые начальные и граничные условия, что и будет предпо­ лагаться в дальнейшем.

В частном случае, когда в (5.2.1) отсутствуют пространствен­ ные координаты, т. е. задан случайный процесс, параметры а и р в силу (1.4.16) определяют соответственно коэффициенты сноса и диффузии марковского процесса, порождаемого СДУ (5.2.1) [131, 142]. Иногда такая терминология по аналогии применяется и к мо­ делям полей, хотя в этом случае УФПК удается записать не всегда.

Рассмотрим вначале методы идентификации вектора неизвестлых параметров 0 = (а , р) модели (5.2.1) в условиях, когда шумом наблюдений можно пренебречь и уравнение наблюдений имеет вид

где С — некоторая известная постоянная матрица.

Заметим, что это условие не является, как может показаться на первый взгляд, практически нереальным. При моделировании многих случайных процессов, например помех, в каналах связи целесообразно не выделять шум наблюдений в качестве особой компоненты, а следует рассматривать его как часть моделируемого процесса.

При указанном допущении реализации вектора состояния и, следовательно, левой части (5.2.1) во многих случаях удается не­ сложно выразить через реализацию наблюдаемого поля (резуль­ таты измерений) z (t, г). Эта задача решается тривиально, когда матрица С в (5.2.2) квадратная и невырожденная, и следователь­ но, x(t, r ) = C г). Другим примером может служить случай, когда шум 1(/, г) присутствует не во всех скалярных уравнениях системы (5.2.1). Это характерно для СДУ, преобразованных к си­ стеме уравнений первого порядка (5.2.1) из одного скалярного уравнения высшего порядка, как это описано в разд. 1.3.2. Тогда между переменными состояния и наблюдаемыми переменными су­ ществует детерминированная связь. В частности, для уравнений вида (1.3.31) в разд. 1.3.2 введен двумерный вектор состояния х (t, r) = [xi(f, г), х2(/, г )]г, причем в обозначениях уравнения

148

(5.2.2)

Можно привести и другие аналогичные примеры. Один из спо­

ся точному определению по измерениям z(t, г) на некотором ин­ тервале [£о, tfi] даже при отсутствии шума наблюдений, т. е. не обладают свойством наблюдаемости [15, 161]. Это означает, что выбранная модель даже без внешнего воздействия не позволяет по наблюдениям поля z(t, г) на указанном интервале определить его значения при t>t\. Феноменологические модели с таким свой­ ством в рамках рассматриваемого подхода необходимо исключить.

Рассмотрим вначале задачу оценивания параметров а, считая G(/, г) точно известной (нередко используют, например, модели вида (5.2.1), в которых G(£, г)= 1 ).

Записав уравнение (5.2.1) в форме стохастического дифферен­ циала

dx{t, г) = f j x ( f , r)dt -j-G (/, r)d\V (t, r),

где W(£, r)— стандартное вииеровское поле, и используя методы [66, 187], получаем для логарифма отношения правдоподобия вы­

ражение

т

где у(сю) —величина, не зависящая от a, x(t, г).

1 При записи ОП для случайного процесса, описываемого обыкновенным СДУ или уравнением Ито, в качестве «нулевой» обычно удобно выбирать гипо­ тезу, соответствующую dx(t) =dW (/). Однако для некоторых СДУ с частными производными в отличие от обычных меры Z’ (х 10) и Р(х|«0») оказываются сингулярными [68].

149

присутствует идеальный белый шум, производная dx(t, т)]Ы мо­ жет не существовать. Поскольку, однако, реальные процессы всег­ да гладкие, на (5.2.4) можно смотреть, как на реализуемое при­

приближение производной вектора состояния в метрике, порождае­ мой матрицей S(/, г), в связи с чем этот метод идентификации (применительно к процессам рассматривавшийся в [121] и др.) назван методом дифференциальной аппроксимации.

При выполнении соответствующих условий дифференцируемо­

да

ЙО

(5.2.6)

Здесь и далее производные скаляров и векторов по векторам следует понимать соответственно как векторы производных с ком­ понентами dffdaj или матрицы Якоби с компонентами dfildaj.

Уравнение (5.2.6) позволяет по заданному виду оператора син­ тезировать конкретный алгоритм оценивания; некоторые примеры такого синтеза приведены в следующих разделах.

Иногда для упрощения алгоритма матрица S(/, г) в (5.2.6) за­ меняется любой постоянной положительно определенной или даже единичной матрицей, что, конечно, связано с потерей оптимально­ сти оценки по правилу МП.

Говоря о реализации алгоритмов идентификации, основанных на решении уравнения правдоподобия вида (5.2.6) или ему подоб­ ных, нельзя не отметить, что они включают в себя непрерывную пространственно-временную обработку наблюдаемого поля, осуще­ ствлять которую технически крайне затруднительно. На практике чаще всего наблюдаются и обрабатываются отсчеты поля в дискрет­ ных точках пространства. Использование при обработке цифровых ЭВМ требует и дискретизации по времени. Поэтому во многих слу­ чаях целесообразно с самого начала рассматривать при идентифи­

150