книги / Модели непрерывных каналов связи на основе стохастических дифференциальных уравнений

где fii(s) — i-я компонента вектора нормали к границе, а функция p,(s, т) удовлетворяет уравнению Вольтерра второго рода

Для этого интегрального уравнения методом последовательных приближений получается решение

Рассмотренный метод решения УФПК применим и к таким не­ линейным марковским моделям, параметры которых зависят от

времени, т. е. в СДУ (2.1.1) /,(х )= /,(х , 0 . ёи (х) = g u (х> 0 - Та­ ким образом, он является одним из наиболее универсальных ме­ тодов анализа марковских моделей каналов связи и позволяет исследовать взаимосвязь статистических характеристик случайных процессов в канале с параметрами модели как в стационарном,, так и в переходном режимах [43].

2.2. ПРИМЕРЫ АНАЛИЗА СДУ, ОПИСЫВАЮЩИХ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В КАНАЛАХ СВЯЗИ

Рассмотрим в качестве примеров несколько конкретных СДУ вида (2.1.1), определяющих одномерные марковские процессы, ха­ рактерные для каналов связи.

где т, а2— параметры, смысл которых будет ясен из дальнейшего анализа.

В случае одномерного процесса, очевидно, нет надобности в предваритель­ ном преобразовании переменных и можно положить х'= х , Fi(vTx) —f(x), rf,, =

61

=К~ С учетом этих упрощении уравнение (2.1.7), определяющее собственные функции и числа, после элементарных преобразований приобретает вид

ОО

,СЧ q\v (т)

распределения или распределения Накагами [76, 178] и, как указано в § 1.5, хорошо описывает различные виды замираний в радиоканалах и некоторые виды помех. Там же пояснен смысл параметров т и а2. Отметим, что СДУ (2.2.1) — не единственное, определяющее процесс с распределением Накагами. Другой пример приведен в [141, 142].

щение об экспоненциальной коррелированности замираний, что позволяет описы­

<62

2.2.2. Пример анализа двумерного марковского процесса

Полагаем, что с2^х\^си '—°°< х2<со.

Матрица диффузии не вырождается ни в одной точке границы, т. е. (рис. 2.1)

2

2 dUn* = dun*+ **2,я2 = ± dit- i=1

Поэтому вся граница является регулярной [102] и граничные условия зада­ ны в следующем виде:

И*1> *2» 01*.=*, = W(*l> *2> OI*,=fa= °» —ОС<Ха<00 —O0<jc2<00

Подставляя полученное выражение в (2.1.30) и ограничиваясь только первым приближением, находим решение задачи Коши:

(2.2. 11)

Из (2.2.11) видно, что слагаемые, стоящие в круглых скобках, определяют кор­ реляцию х\ и х2. Кроме того,

оо

J J v (х,, х2, 0 йХуйхг = 1.

—00

Используя (2.1.34) с учетом (2.1.36), находим решение краевой задачи:

О'•—со

63

где

X |^1 + 0,1 (£ — т)—^ ( х 22 — 1,25х,Х2 — 0,75x,5а+ °»75*2SI +

+ 1 ,25х,х2 — s%) j »

Аналитически интегрирование в (2.2.12) может быть выполнено только по про­ странственной переменной. После вычислений получаем

Интеграл в (2.2.13) является сходящимся, и его просто вычисляют на ЭВМ. Значения коэффициентов а,-—Ц, £=1,2 приведены в табл. 2.1.

Полное решение УФПК в первом приближении записывается в виде

ляются числовые характеристики функции w(x, t) и может быть построена ■функция w(x, t), вычисленная в первом приближении.

Ы

Известно [131, 142], что марковский процесс, описываемый ли­ нейным СДУ первого порядка, т. е. (2.3.3) при f(x) = — ах и

g = ] / r~f(, является гауссовским и имеет корреляционную функцию

личины q при 4TCN 0/C2=\. Как видно из рассмотренных выше примеров, и для некоторых нелинейных СДУ определяемые ими процессы, являясь негауссов* скими, все же имеют корреляционные функции экспоненциального

вида *.

Рассмотрим один из возможных методов приближенного экспоненциального представления корреляционной функции негауссовского процесса, описываемого

1Корреляционную функцию марковского процесса формально можно всегда записать в виде одной экспоненты, однако ее показатель в общем случае не является линейной функцией [90, 117].

66

Используя рассмотренный метод, можно получать приближен­ ные представления корреляционных функций в виде экспоненты или суммы нескольких экспонент. Оценка погрешности приближе­ ния в общем случае затруднительна, и приведенные соотношения, разумеется,нельзя рассматривать как доказательство близости корреляционной функции произвольного одномерногомарковского процесса к экспоненте.

Тем не менее можно показать, что в частном случае, когда

где п = 1 с погрешностью не более 10% в точке т = т Кор можно ограничиться тремя членами ряда (2.1.14):

з

так называемом эксцессном приближениях. Первое из них пред­ полагает статистическую линеаризацию СДУ (2.3.3)’, т. е. вычис­

ление величины а(х), а второе — аппроксимацию плотности ве­ роятности с помощью первых четырех кумулянтов. При этом по­ лучается, что в гауссовском приближении в условиях, когда

достаточно ограничиться в (2.1.14) только первым

членом, а эксцессное приближение совпадает с (2.3.12).

Из сказанного можно сделать вывод, что во многих ситуациях

Следует упомянуть также, что существует класс так называе­ мых Л-процессов [85, 142, 166], для которых всегда корреляци­ онная функция

где а — некоторая константа. Отличительной особенностью таких процессов является возможность представления собственных функ­ ций из (2.1.7) в форме произведения:

где ®q{x) — ортонормированные полиномы.

Для моделей случайных сигналов и помех в каналах связи такой или близкий к нему вид собственных функций, как показы­ вают вышеприведенные примеры, а также материал [141, 142], где рассмотрены процессы с распределением Пирсона, имеют ме­ сто довольно часто.

68

2.4. МЕТОДЫ СИНТЕЗА МАРКОВСКИХ МОДЕЛЕЙ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

2.4.1. Постановка задачи синтеза

Выше были рассмотрены некоторые методы анализа характе­ ристик случайных процессов, описываемых марковскими моделя­ ми в форме СДУ. Обратимся теперь к решению обратной задачизадачи синтеза марковской модели процесса на основе некоторой априорной информации относительно его характеристик. Именно эту задачу приходится решать при построении марковских моде­ лей непрерывных каналов связи.

Под решением задачи синтеза марковской модели случайного процесса в форме СДУ будем понимать алгоритм определения с заданной точностью функций Д(х), g,-j(x) и размерности п, опре­ деляющих СДУ (2.1.1), по известным вероятностным характери­ стикам моделируемого процесса y(t).

Для гауссовских процессов известно полное и математически строгое решение указанной задачи синтеза: оно определяется те­ оремами Дуба [120, 142]. В негауссовском случае общий алго­ ритм такого представления неизвестен.

Проблема аппроксимации произвольного случайного процесса марковским с математической точки зрения является весьма сложной и далеко выходит за рамки задач этой книги.

Если непрерывный, с гладкими реализациями несингулярный случайный процесс представим в виде решения уравнения

где |(t)—m раз дифференцируемый гауссовский процесс, a F{-) — некоторая нелинейная функция весьма общего вида, то y(t) мо­ жет быть представлена в виде компоненты «-мерного марковского процесса [122, 126, 131, 132, 162]. Это справедливо при любом конечном т. При т-*-оо процесс £(?) становится сингулярным, однако и в этом случае возможно приближенное представление y(t) в виде компоненты «-мерного марковского процесса за счет аппроксимации £ (/) компонентой «г-мерного гауссовского мар­ ковского процесса (см. разд. 2.5.1).

Из физических соображений ясно, что большинство непрерыв­ ных каналов связи может быть представлено феноменологической моделью такого типа. Это, однако, не означает, что любой случай­ ный процесс представим в виде марковского. В частности, вырож­ денное нелинейное преобразование марковского процесса приво­ дит к потере марковского свойства, однако подобные явления имеют место, например, при квантовании случайных процессов, а при моделировании непрерывных каналов практически не встре­ чаются. Заметим, что при квантовании непрерывных случайных процессов известны методы приближенного представления кван­ тованного процесса с дискретным временем в виде «-связной мар­ ковской цепи.

G9

Ниже будут рассмотрены приближенные методы синтеза мар­ ковских моделей в условиях, отличающихся характером априор­ ной информации о моделируемом случайном процессе. Некоторые результаты в этом направлении уже получены в работах [20, 21, 40, 142, 194].

При постановке задачи приближенной замены реального слу­ чайного процесса марковским в первую очередь возникает вопрос о выборе критерия такой «аппроксимации». Один из возможных подходов здесь — требование близости тех или иных его вероят­ ностных характеристик, в число которых естественно включать лишь такие, которые известны или по крайней мере однозначно определяются известными характеристиками. Таким образом, вы­ бор критерия существенно зависит от характера исходной инфор­ мации о случайном процессе. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

2.4.2. Критерии приближения при синтезе

Как известно, случайный процесс полностью определен, если заданы его Лг-мерные функции распределения или соответствую­

Поэтому в качестве достаточно общей меры приближения синте­ зируемой модели процесса к реальному процессу в канале можно принять информационную меру Кульбака

ской модели о>лг(у). Здесь и в дальнейшем для упрощения записи

что служит верхней границей соответствующего байесовского ри­ ска [151].

Наряду с критерием Кульбака известны и другие меры рас­ хождения распределений и>н(у) и wN(y)t позволяющие опреде­ лить уменьшение достоверности приема сигналов за счет замены точного распределения приближенным, не прибегая к синтезу оп­

ление информации по Фишеру, поскольку в ряде случаев его уда­ ется непосредственно связать с характеристиками оптимальных

70