книги / Модели непрерывных каналов связи на основе стохастических дифференциальных уравнений

систем [20, 21]. Так при обнаружении детерминированного сигна­ ла s(/) на фоне помех информация по Фишеру

N

определяет пороговое отношение сигнал-помеха. За меру прибли­ жения процесса с распределением w N ( у) моделью, которая харак­

которая выражает в децибелах соответствующую погрешность оп­ ределения порогового сигнала [21].

Задача синтеза марковской модели может быть поставлена так же, как задача приближения моментных функций. Критерии приближения в принципе могут быть разными, но наиболее удоб­

f-Я “ Го

Аналогично можно потребовать приближения кумулянтных или квазимоментных функций.

Даже в тех случаях, когда известна iV-мерная плотность ве­

ности. Критерий (2.4.3) является в этом отношении более конст­ руктивным, поэтому его целесообразно использовать и тогда, ког­ да процесс задан Af-мерным распределением, а не моментными функциями. Последние, как известно, однозначно определяются распределением вероятностей.

На практике часто заданы только одномерная плотность ве­ роятности и корреляционная функция процесса. Тогда при синтезе целесообразно потребовать совпадения одномерных плотностей:

и наилучшего приближения вторых моментов согласно (2.4.2),

71

2.4.3. Методы синтеза

Итак, для решения задачи синтеза марковской модели необ­

в смысле (2.4.2), (2.4.3) или (2.4.4), (2.4.5). Поставленная задача относится к типу нелинейных вариационных задач, и получение ее точного общего решения встречает большие трудности. Однако используя приближенное представление искомых функций в неко­ тором базисе, можно свести ее к значительно более простой за­ даче минимизации по числовым параметрам — коэффициентам такого представления. Моментные функции также удобно пред­ ставлять в виде ряда. Тогда при минимизации вначале определя­ ются оптимальные коэффициенты в разложении моментных функ­ ций, а затем уже по ним — коэффициенты искомых функций / {(х),

£//(*)•

Внастоящее время имеется богатый арсенал приемов построе­ ния чебышевского приближения для функций, зависящих от па­

Ниже описываются два приближенных метода решения указан­ ной задачи для случаев, когда задана многомерная плотность ве­ роятности о>л'( у) :

а) метод, основанный на многократном применении процеду­ ры линейного программирования;

б) метод восстановления оператора по собственным числам. Отдельно рассматриваются более простые частные случаи син­ теза одномерных и двумерных моделей в виде СДУ (2.1.1) по

одномерным распределениям и корреляционным функциям. Важное значение имеет вопрос об однозначности решения за­

дачи синтеза. Если заданы статистические характеристики моде­ лируемого процесса в форме функций распределения и моментных функций, то можно указать несколько СДУ различных типов, по­ рождающих процессы с такими характеристиками. В случае не­ линейных моделей это является неизбежным следствием ограни­ ченности исходных сведений о процессе. Так, реально всегда мож­ но задать лишь конечное число N функций распределения процес­ са, а функции размерности выше N остаются произвольными. Из этого не следует, однако, что при конечном N задача синтеза СДУ по указанным характеристикам процесса всегда неоднознач­ на. Если заранее ограничить тип СДУ, то при таком ограничении, как будет показано ниже, задача синтеза имеет единственное ре­ шение (см. § 2.5—2.8).

Какие же соображения следует принимать во внимание на практике при выборе типа СДУ для моделирования процесса в канале?

Отметим прежде всего, что с аналогичной ситуацией инженер встречается достаточно часто и при решении других технических

72

задач, ибо он, как правило, располагает целым «спектром» конкурирующих вариантов устройств или систем, предназначенных для выполнения одних и тех же функций, но различающихся по сложности, стоимости, технологичности и т. п. В этом случае специалист выбирает из набора конкурирующих единственное тех­ ническое решение, руководствуясь соображениями, зачастую не­ посредственно формально не заложенными в процедуру построе­ ния соответствующего устройства или системы.

Такое же положение имеет место в задачах синтеза СДУ. Воз­ можным выходом из этой ситуации может служить системный подход к синтезу СДУ, основанный на использовании некоторого обобщенного критерия, учитывающего соображения сложности, экономичности, надежности, затрат и т. п.

На практике число эквивалентных СДУ оказывается неболь­ шим (не более трех, четырех) и всегда можно выбрать из них единственное. Примеры указанного выбора будут изложены в §2.8.

2.5. СИНТЕЗ СДУ НА ОСНОВЕ МЕТОДОВ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

2.5.1. Основные этапы синтеза. Определение размерности марковской модели-

Примем, как и прежде, что для реального наблюдаемого про­

и при моделировании ему приписываются свойства первой компо­

В данном разделе ограничимся синтезом СДУ в классе моде­

При этом в СДУ (2.1.1) не требуется преобразование коорди­ нат, и во всех формулах § 2.1 можно положить

U= I, ^ ( и ^ Н ( х ) , х '( 0 = х ( 0 .

Кроме особо оговоренных случаев, будем считать также, что условие потенциальности не имеет места.

Предлагается следующий метод синтеза. На первом этапе опре­ деляется размерность п многомерного марковского процесса, на­ блюдаемая компонента которого представляет моделируемый про­ цесс. На втором этапе с учетом найденного значения п определя­ ются коэффициенты синтезируемого СДУ /, (х), ga (t= l, 2, ..., /i).

Первый этап синтеза — оценку размерности п марковского про­ цесса— целесообразно осуществлять по критерию информацион-

73

использованием синтезированных моделей. Если их предполага­ ется применять для моделирования непрерывных каналов при ис­

руемого процесса совместная плотность вероятности wN{y) и ана­ логичная плотность WN{у), определяемая при условии, что про­

висимости от интервала выбора At или коэффициента корреля­ ции г соседних выборочных значений величина я, определяемая в соответствии с (2.5.2), будет различной, так как при заданной «памяти» реального процесса сгущением и разрежением выборки можно получать зависимые и практически независимые случайные величины, т. е. процедура выбора я приближенна.

Плотность вероятности $jv(y) для я-звенной цепи Маркова

в которой многомерные плотности вероятности в свою очередь, рассчитывают по заданной JV-мерной плотности

Из (2.5.4) и (2.5.5) видно, что марковская аппроксимация не изменяет соответствующих переходных плотностей вероятности и частные распределения, которые определяются непосредственно из W N (у), а погрешность аппроксимации возникает из-за искаже­ ния статистических (в первую очередь корреляционных)' связей случайного процесса. Это справедливо как для гауссовских, так и для негауссовских случайных процессов.

Увеличением величины я можно добиться сколь угодно точного описания статистических свойств реального процесса, однако тог­ да теряется привлекательность моделей процессов в виде СДУ, так как при этом увеличивается сложность их исследования и практического использования.

74

Таким образом, величина п не должна быть слишком большой, чтобы чрезмерно не усложнять модель, и в то же время не долж­ на быть слишком малой, чтобы существенно не искажать ста­ тистические связи между случайными величинами в последова­ тельности уи У2, • . Уы- Расчетным путем установлено, что коэф­ фициент корреляции г между выборочными значениями процесса следует выбирать равным приблизительно 0,8 или более. При этом по (2.5.3) с учетом (2.5.4) и (2.5.5) определяется шЛ-(у) для

следнее соотношение выполняется. Эта задача не вызывает прин­

алгебраических уравнений. Отметим также, что выбором п из не­ равенства (2.5.2) при 0,8 обеспечивается приближенное восста­ новление реализации непрерывного процесса по его выборочным

тельность которого определяется и тем, что величина п в нем мо­ жет быть определена также на основе теоремы Дуба [120]. Рас­ смотрим случай, когда до^(у) представляет собой Л^-мерное нор­ мальное распределение с нулевым средним, единичной дисперсией и корреляционной функцией вида Л ?(т)=ехр(— Ют2).

Такой процесс, как известно [131], является сингулярным, и его марковская аппроксимация принципиально возможна только приближенно. Информационные меры Кульбака, полученные на основе (2.5.3), имеют вид [20]

где D и D\ — определители корреляционных матриц реального процесса [/?*,•] — [R {U—•/,-)] и модели [£,;], причем Я ц = $ ц при '|/—Ц ^п . А информационная мера

(п ) = \ wN(y) log

имеет вид

75

не приводит к заметным искажениям энергетического спектра в диапазоне частот 0<со<3, 5AQ, где AQ — эффективная ширина спектра.

Ып)-ПГ1 Тщ(п)-Ю'г

Рис. 2.3. Зависимость /лг(л) от величины коэффициента кор­ реляции

Как следует из второй теоремы Дуба [142], размерность п марковской модели, обеспечивающей представление энергетическо­ го спектра моделируемого процесса с указанной точностью, рав­ на 4, т. е. результаты, полученные разными способами, идентич­ ны. Такой точности достаточно для описания большинства про­ цессов в каналах связи. При более низких требованиях к точности можно ограничиться значением п = 2.

В случае негауссовских процессов, если корреляционные функции реального процесса и модели совпадают, при малом зна­ чении 1ы{п) можно полагать близкими и высшие моментные функ­ ции.

Аналогично выполняются расчеты с использованием иных кри­ териев приближения. На рис. 2.5 приведены результаты расчета

76

при любых г. Для процессов с корреляционными функциями вто­

тачария. Таким образом, значения размерности марковской моде­ ли п, определенные различными способами, оказываются близкими.

Подчеркнем, что в тех случаях, когда ш^(у) близка к ЛГ-мер- ному нормальному распределению, что соответствует СДУ с ма­ лой нелинейностью, или же образована с помощью квазигауссовского приближения, т. е. условные плотности вероятности, начи­ ная с некоторой, являются гауссовскими, в описанной процедуре нет надобности. В этих случаях размерность марковского процес­ са определяется из решения задачи дробно-рациональной аппро­ ксимации энергетического спектра и равна порядку полинома N X Х ( ю 2, Я, h) (см. разд. 2.5.2), что непосредственно следует из вто­ рой теоремы Дуба [120]. В общем случае такой путь тоже воз­ можен, но приводит к определению размерности лишь в гауссов­ ском приближении.

В некоторых задачах, например при идентификации моделей непрерывных каналов связи в форме СДУ (см. гл. 5), желательно иметь возможность оценить значение п (хотя бы ориентировочно) при минимуме априорных допущений о ха­ рактеристиках процесса. Иногда это можно сделать, полагая наблюдаемую ком­ поненту п-мерного марковского процесса т раз дифференцируемой в среднеквад­

Таким образом, начиная с т—3 у возрастает на порядок и более. Приняв это значение т за минимально допустимое, получим п= 4.

К сожалению, этот способ применим не всегда, так как компонента марков­ ского процесса не обязательно является дифференцируемой случайной функцией. В таких случаях необходимо использовать описанную ранее процедуру выбора л.

77

Итак, будем считать, что на первом этапе синтеза размерность ОДУ п найдена. На втором этапе определяются коэффициенты СДУ /Дх) и gu(x), обеспечивающие наилучшее приближение моментных функций второго порядка согласно (2.4.2) и (2.4.3) или равноценное приближение спектров согласно (2.4.5). Для этого в указанные соотношения подставляются выражения Кх(х) или соответственно G(<o) в виде рядов (2.1.14) или (2.1.21), и полу­ ченные отклонения

значения Яд,*, Кд, доставляющие указанный ' минимум, подставля­ ются в выражения (2.1.17) для моментов высших порядков. В ре­ зультате получается система нелинейных алгебраических уравне­ ний относительно ag, agi (верхний индекс i, поскольку здесь рас­ сматривается первая компонента, всюда равен 1 и опущен).

После отыскания этих величин восстанавливают х?(х)> опре­ деляют аДх), da, а тем самым и /Д х), g « (x ).

Рассмотрим намеченную процедуру приближения подробнее.

2.5.2. Переход к процедуре линейного программирования

При решении перечисленных выше задач одним из наиболее простых на практике оказывается подход, основанный на сведении их к задаче линейного программирования, для которой известны эффективные численные методы реше­ ния. Суть такого подхода в следующем. Как показано в [82], задача равномер­ ного приближения, т. е. в данном случае поиска

эквивалентна задаче нелинейного программирования: при ограничениях типа не­ равенства

Эту задачу, в свою очередь, удается свести к задаче линейного программи­ рования, заменяя неравенство (2.5.9) парой эквивалентных ему неравенств без модуля:

G M - G K X, Л ) - 3 < О ,

78

Согласно (2.1.22) и (2.5.7) синтезируемой марковской модели соответствует спектр

и путем соответствующей замены переменных могут быть преобразованы в ли­ нейные неравенства.

Эти неравенства должны выполняться для всех значений to, но на практике,

требование минимума простейшей линейной формы из одного члена, в сочетании с ограничениями (2.5.14) можно рассматривать как задачу линейного програм­

мирования [82]. Решая ее известными методами, определяют величины Х5и Я, (<7=1, 2, Afo). Их число М0 зависит от числа неравенств, т. е. шага дискре­ тизации, который, в свою очередь, определяется точностью аппроксимации. Най­

Для решения полученных уравнений относительно {(aqу} можно использо­ вать разные методы, в том числе и процедуры линейного или нелинейного про­ граммирования. Для этого в соответствии с (2.5.16) составляются неравенства

функции xq(х).

Теперь обратимся к уравнению (2.1.7), связывающему указанные функции и собственные числа %q с коэффициентами СДУ. В противоположность рассмот­ ренной ранее задаче анализа в данном случае Хв(х) известны, а /ч(х) и du требуется найти. Продифференцировав произведение в (2.1.7), перепишем это уравнение в виде

Будем искать функции fi(x), как и ранее %g(x), в виде представления в ба­ зисе {?„ (х)}:

А

а=1

Подставив (2.5.20) в (2.5.18) и умножив скалярно полученное уравнение поочередно на функции (х) (v = l, 2, ..., Q), нетрудно свести его к системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов

Р,а и da:

А п п

cv<?= — J xq (х) yv (х) dx.

Rn

80