книги / Модели непрерывных каналов связи на основе стохастических дифференциальных уравнений

решение. В противном случае можно искать наилучшее (по среднеквадратиче­ скому или иному критерию) решение, для чего, в частности, можно прибегнуть, к процедуре линейного программирования. В результате решения находятся ко­ эффициенты диффузии ga и величины р,-а> определяющие согласно (2.5.20) ко­ эффициенты СДУ fг (х).

Если моментные функции процесса описываются выражения­ ми типа (2.1.14), (2.1.17) и т. п., то решение задачи синтеза можно искать в классе диффузионно-изотропных моделей для которых d a = b и СДУ имеет вид

Уравнения такого вида удобно использовать при моделиро-. ваиии квадратурных компонент замирающего сигнала в канале связи, в том числе негауссовских и недифференцируемых в среднеквадратическом. При этом соотношения (2.5.14) и (2.5.16) остаются в силе, но дальнейшие этапы синтеза существенно упрощаются. Действительно, располагая плотностью ауст(х) [о>ст(х) =а>п(х)], в этом случае можно для определения Ь<(\) вместо (2.5.21) воспользоваться соотношением

связывающим коэффициенты диффузии и сноса в изотропных мо­ делях [142]. Полученные выражения для а«(х) и Хч(х) подстав­ ляются в (2.5.17) с учетом (1.4.16)', что приводит к уравнению, определяющему Ь{х). При отыскании этой функции можно вос­ пользоваться какой-либо аппроксимацией, например искать ее в. виде

b(x) = 6o+bTiX-J-xTBx,

где bo, bi и В — соответственно некоторые скалярный, векторный н матричный коэффициенты.

Если b (х) = Ьо, то неизвестным оказывается только один по­ стоянный параметр и задача синтеза упрощается. В этом случае интегралы Ито и Стратоновича совпадают (см. гл. 1) и дальней­ шее использование СДУ также облегчается. Поэтому при синтезе. СДУ следует отдавать предпочтение уравнениям с постоянной ма­ трицей диффузии, за исключением тех случаев, когда это затрудня­ ет физическую реализацию функции а,(х) из (2.5.23).

Если функции а,(х), найденные из решения (2.5.23), являются' линейными или близки к ним, то отыскание Ьо можно производить на основе теоремы Дуба [120, 131, 142].

Отметим в заключение, что если все моментные функции мо­

решение. Действительно, при N- * оо рассмотренным выше способом могут быть найдены Хд до сколь угодно больших значений q, а оператор в (2.1.7) восстанавливается по собственным числам един­ ственным образом, поскольку обратная задача Штурма — Лиувилля имеет единственное решение [149].

2.5.3. Синтез СДУ для нормального случайного процесса

Отметим, что случайный процесс с таким спектром является недиффереицируемым в среднеквадратическом.

Методами, изложенными в разд. 2.5.1, нетрудно установить, что практически для любых значений коэффициента корреляции г моделируемого процесса при­ ближение распределении по мере Кульбака достигается при п = 2, т. е. модель двумерна. Следовательно, в качестве адСт ( х ) необходимо рассмотреть двумерное нормальное распределение:

1

® ст(*г * 2) = 2^02(1— г2) ехР

Пусть в рассматриваемом примере x(t)=x\{t), c ^ l , г^О.5. Как видно из •выражения для б(ш ), корни знаменателя равны —0,35 и — 11,6, следовательно, в (2.5.12) Я,2,=0,35, Я2= 11,6. Приведенному выше выражению для б (со) соот­ ветствует корреляционная функция вида (2.1.14), где Лця^—0,91, h\i=a—0,4, откуда следует, что <T2I = <J^= 1. Ищем СДУ в диффузионно-изотропной форме,

.полагая Ь0=К . Тогда из (2.5.23)

в/ (х) = _К2 ‘^д“ 1па'ст(х), i = l , 2,

И, следовательно, СДУ имеют вид:

Такими СДУ описываются квадратурные компоненты амплитуды замираю­ щего сигнала в рэлеевском канале.

Аналогично, полагая выполненными условия потенциальности, можно синте­ зировать СДУ для квадратурных компонент в рамках общей гауссовской модели канала и при различных негауссовских совместных распределениях wcт ( * ь Хг). Заметим, что в рассмотренном выше случае СДУ получилось линейным, посколь­ ку процесс гауссовский.

Остается определить &<р=/С. Как уже указывалось, это можно сделать либо обратившись к соотношениям (2.5.15)— (2.5.19), либо используя теорему Дуба, •только на основе спектра 6(G)).

<82

V — 1

Подставляя это разложение в (2.1.8), (2.1.15), (2.1.18) и выполняя интегри­ рование, приходим к системе уравнений вида (2.5.16) относительно неизвестных; коэффициентов(<7= 1, 2 , v = l , 2, ..., Q). После того как они найдены, с уче--

том (2.5.19) записываем выражение типа (2.5.18) при Я^О.б:

руя, получаем алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами, из

[120]. В рассматриваемом примере легко видеть, что К= 2.

2.5.4.Синтез СДУ для процессов с распределением Накагами

игамма-распределением

Вгл. 1 отмечалось, что распределение Накагами хорошо опи ­ сывает быстрые замирания во многих радиоканалах различных диапазонов — от декаметрового до сантиметрового. Гамма-распре­ делению подчиняются флуктуации сигналов в некоторых оптиче-- ских каналах и радиоканалах дециметрового диапазона. Отметим, что замирания, подчиняющиеся экспоненциальному закону (част­ ный случай гамма-распределения при а = 0 ) являются самыми глу­ бокими по энтропийному критерию.

Впредположении экспоненциальной коррелированности замира­ ний решим задачу синтеза СДУ для таких каналов.

Рассмотрим случайный процесс с распределением Накагами;

ао оттеГ(т) Г ( ш + I)

Упроцесса с таким спектром корреляционная функция имеет экспоненциальный вид (2.3.4), и поэтому модель можно искать, как показано в § 2.3, в классе одномерных СДУ (я = 1). Из сравнения,

заданного <3(о>) с (2.5.12) видно, что A ,i=l, hl =- — VG0l4.

При определении собственных функций %q(x) согласно (2.5.15) выберем в качестве базиса разложения {<pv(*)} полиномы Лагерра [128]:

х М = Xi W = 2 a,®tT(•*) i (m 11 w . V=1

где а>Ст(^) определено из (1.5.6). Подставляя это разложение в

.(2.1.11), (2.1.15), получаем систему из двух уравнений:

Г ( у - 0 , 5 ) Г ( т + 0,5)

Подставляя найденные f{x), %(х), A a=l в (2.5.18), получаем JC=l/2m . Таким образом, СДУ при Я1 = 1 синтезировано:

т - т И - ^ - Ч + К З ^ о -

* , м = 2 v=l

Подставляя %i{x) в (2.1.8), (2.1.16) и решая систему уравне­

- = г = " ( т - т ) + т + ^ < ‘ >-

34

2.6. СИНТЕЗ СДУ МЕТОДОМ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ОПЕРАТОРА ПО СОБСТВЕННЫМ ЧИСЛАМ

2.6.1. Основные этапы синтеза

Первые этапы синтеза совпадают с описанными в § 2.5. Пусть

врезультате их определены размерность синтезируемой модели п

испектр собственных чисел {Л9} линейного оператора в левой ча­ сти (2.1.7), найденный по условиям приближения моментных функ­ ций или спектров. Сам оператор (точнее, его коэффициенты), ра­ зумеется, неизвестен: соответствующее ему УФПК как раз и тре­ буется найти. В принципе, располагая собственными числами kq,

можно восстановить по ним оператор — это известная в математи­ ке обратная задача Штурма — Лиувилля [149]. Однако общее решение ее при п > 1 встречает большие трудности. Рассмотрен­ ный выше приближенный метод синтеза СДУ на основе процедур линейного программирования позволяет обойти их. Тем не менее и такой подход к синтезу, который основан на прямом восстанов­ лении оператора по собственным числам, представляет практиче­ ский интерес. Ниже рассматривается приближенный метод вос­ становления оператора по собственным числам, в основе которого лежит идея «набора» многомерного оператора из одномерных опе­ раторов такого вида, для которых решение обратной задачи Штур­ м а — Лиувилля известно [144, 149]. Этот метод можно рассматри­ вать как приближение к решению обратной задачи Штурма — Лиувилля при п~> 1.

x e R n. В таких обозначениях уравнение на собственные значения для оператора 2 приобретает вид

где (tfg(x)} — полная в L2(Rn) система собственных функций оператора 2 , удовлетворяющая заданным (например, нулевым) граничным условиям. Для отыскания этих собственных функций поступим следующим образом.

Пусть известна полная в Lz(R1) линейно-независимая система собственных функций {ф \(*л)}, * = 1» 2, соответствующего «одномерного оператора по каждой k-k координате (£ = 1, 2, ..., п), определяемая уравнениями вида (2.6.1):

(хь)

------ ^ ------ -h (ха) <tktk (х*) = \ьЛ1к (xk), (2.6.3)

85

£

полную в R” , где X — знак декартова (прямого) произведения множеств. Такая система является системой собственных функций оператора

В дальнейшем не требуется для собственных функций (2.6.4) и чисел (2.6.7) сохранять сложную индексацию, связанную со способом их построения, и удобно занумеровать их одним индексом подряд: Фу (х), xv ( v = 1, 2, . . . ) . Для отыс­

— и будем искать коэффициенты этого представления aqv из условий приближения

ции оператора (2.6.5), т. е.

ДФУ(х) = — s (х) Фу (х) + х,Фу ( х ) ,

получаем

00

v= l

Левая часть (2.6.10) одинакова при всех q, следовательно,

место в том случае, если равны нулю коэффициенты представления его левой части в любой линейно-независимой системе функций. В качестве таковой можно

87

Ограничиваясь учетом лишь конечного набора собственных чисел из беско­ нечной их совокупности, допускаем в определении / (х) погрешность 6(х), кото­ рая имеет порядок

дач: чем «беднее» исходный спектр собственных чисел, тем ниже точность реше­ ния задачи Штурма — Лиувилля. Поэтому, если известный набор собственных чисел Я, оказывается недостаточным для решения задачи синтеза с требуемой точностью, то необходимо дополнять его собственными числами какого-либо опе­ ратора в (2.6.1), первые М0 из которых совпадают с заданными Яд. Это накла­ дывает ограничения на возможность использования известных процедур решения обратных задач математической физики для синтеза СДУ.

2.7. СИНТЕЗ ОДНОМЕРНЫХ МАРКОВСКИХ МОДЕЛЕЙ

2.7.1. Постановка задачи

Рассмотрим ситуацию, когда для моделируемого случайного процесса в канале известны только одномерная плотность вероят­

ментарно отыскивается с точностью до значения К. Знание кор­ реляционной функции Кх(х) необходимо для определения К.

88

Моделями такого типа можно описать амплитуду замирающе­ го сигнала во многих из указанных в § 1.5 стохастических кана­ лах, а также широкий класс аддитивных помех, включая низко­ частотные негауссовские, помехи, действующие в полосе стандарт­ ного канала тональной частоты, некоторые помехи в гидроакусти­ ческих каналах и др.

Рассмотрим три возможных подхода к решению поставленной задачи синтеза 1.

2.7.2. Синтез СДУ на основе решения обратной задачи Штурма-Лнувилля

В соответствии с [149] коэффициент 1(х) оператора (2.6.1) может быть най­ ден по формуле

dB (х ,

(2.7.2)

dx

где В (х, z ) — функция, удовлетворяющая интегральному уравнению Вольтерра второго рода

х

89

Если потребовать выполнения последнего равенства «в среднем», т. е. при усреднении либо невязки решения, либо ее квадрата, то

Умножая обе части (2.7.4) на Д ост(х) и интегрируя в пределах 0—°°, при­ ходим к трансцендентному уравнению (предполагается, что указанные интегралы сходятся), из которого определяется К■ Подобные уравнения получаются и при других приближениях в процессе решения уравнения (2.7.3). Определяемые та­ ким образом оценки сходятся к величине Кг

Оценим точность определения К в первом приближении на следующем при­ мере. Пусть

о

(см. разд. 2.5.4), поэтому погрешность равна 80%.

Такой результат является вполне естественным, так как легко показать, что невязка решения в первом приближении недопустимо велика. Второе приближе­ ние уменьшает величину К, но незначительно, т. е. процедура решения медленно сходится.

Из результата приведенного примера следует, что эффективность использо­ вания изложенной здесь процедуры синтеза в случае вырожденной спектральной функции невысока, что является следствием «бедности» исходного спектра соб­ ственных чисел. Этот факт заставляет искать более простые и конструктивные методы синтеза в указанном случае. Отметим, что при полном задании функции о(к) метод Штурма — Лиувилля является конструктивным [149].

2.7.3.Определение коэффициента диффузии по показателю экспоненты

Всоответствии с (2.3.10) коэффициент при |т| в показателе

90