книги / Модели непрерывных каналов связи на основе стохастических дифференциальных уравнений

g

ратор&г и матрица G (/, г, 0), до достижения экстремума функ­ ционала, по которому осуществляется идентификация.

5.4.3. Нелинейное оценивание

Рассмотрим теперь нелинейную модель поля в форме СДУ

уравнение наблюдения, начальные и граничные условия — того же вида, что и в разд. 5.4.2. Обычно предполагается, что оператор £ ’ хорошо обусловлен в смысле Адамара [192], т. е. задача удов­

летворяет определенным условиям корректности.

Нелинейные СДУ, как известно, даже при гауссовском воздей­ ствии порождают негауссовские поля и поэтому представляют большой интерес для моделирования каналов связи. Однако оце­ нивание их параметров и состояний даже применительно к слу­ чайным процессам без пространственных координат значительно сложнее, чем при использовании линейных моделей, и для полу­ чения реализуемых алгоритмов, как правило, приходится исполь­ зовать ряд упрощающих допущений и приближений.

Рассмотрим вначале задачу нелинейного оценивания поля по наблюдениям в дискретных точках пространства. В этом случае уравнения поля аналогично разд. 5.4.2 сводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям для блочных векторов отсчетов поля:

где f(X , t) — нелинейная векторная функция, определяемая видом нелинейного оператора, а остальные допущения, начальные усло­ вия и обозначения те же, что и в разд. 5.4.2.

Способ определения функции f по оператору $Гх поясним на

примере. Пусть г— г и

181

Если дискретизация осуществляется формированием отсчетов по­ ля в точках г*=ЛДг(&=1, 2, . . М), то

[ ^ k ~ - ^ tw <)- x‘ wb

h ( X ) «■- L -:F [X ,« ] [x*+1 (0 - X„ (()].

Будем искать, как и прежде, наилучшую среднеквадратическую оценку состояния поля х(/, г*) в виде условного среднего (5.4.15).

Представление поля обыкновенными СДУ (5.4.36) позволяет применить метод оценивания, известный для многомерных случай­ ных процессов [122] и основанный на использовании уравнений Фоккера — Планка — Колмогорова (УФПК) (см. разд. 1.4.2) для условной плотности вероятности ш {Х(/) |Z(T), т е [0 , /] } процесса, порождаемого СДУ (5.4.36). По этой условной плотности, найден­ ной в результате решения УФПК, определяется соответствующее условное среднее, являющееся искомой оценкой. При таком под­ ходе для собственно оценки и матрицы пространственной корре­ ляции ее ошибки получается система нелинейных дифференци­ альных уравнений, причем во второе уравнение нелинейные функ­ ции входят под знаком среднего. Чтобы записать результат тако­ го усреднения в явном виде и затем решить уравнения, приходится прибегать к тем или иным приближениям. Наиболее простой путь — разложение нелинейных функций под знаком среднего в

ряд Тейлора по степеням ошибки Х(£)—Х(£) с удержанием же­ лаемого числа членов [122, 125]. Опуская промежуточные выклад­ ки, приведем лишь окончательный результат для векторного поля, представленного в исходной форме (его отсчетами).

Уравнения оценки имеют вид

(эти уравнения записаны без использования приближения). Корреляционная матрица ошибки фильтрации может быть

найдена из уравнения, которое, если ограничиваться упомянутым выше степенным приближением первого порядка, записывается

182

в виде

(5.4.40)

Начальные условия соответствуют (5.4.19).

При необходимости нетрудно записать уравнение типа (5.4.40) и с учетом большего числа членов ряда, но тогда его решение усложняется.

Сравнивая (5.4.38) — (5.4.40) с уравнениями (5.4.16) — (5.4.18), описывающими линейный фильтр, нетрудно заметить, что послед­ ние являются частными случаями первых. Так, в линейном случае

м^

Обратимся теперь к задаче фильтрации калмановского типа непосредственно для непрерывных СДУ в частных производных вида (5.4.35) без пространственной дискретизации. Для получения уравнений оценки вида (5.4.4) по наблюдениям в непрерывной области пространства в [192] предложен подход, аналогичный используемому в дискретной задаче. Однако в непрерывном слу­ чае для условной плотности вероятности поля вместо обычного УФПК с матричным коэффициентом диффузии справедливо более общее интегродифференциальное уравнение, содержащее диффу­ зионный оператор. Используя, как и в дискретном случае, ряд приближений [192], в итоге получаем уравнение оценки

в котором пространственная ИПХ фильтра для сигнала ошибки имеет, как и в линейном случае, вид

ах

где R(t, 1, р) определена (5.4.29), а матрица пространственной корреляции ошибки оценивания удовлетворяет уравнению

+ G 0, r)Q6(<. г. p)Gr (f, р ) -

Напомним, что полученные уравнения, как и другие СДУ, при­ водимые в этой книге следует рассматривать как условную запись соответствующих уравнений в стохастических интегралах.

Однако, сопоставляя (5.4.41) — (5.4.43) с уравнениями дискрет­ ной фильтрации (5.4.38) — (5.4.40), нетрудно заметить, что в дан­ ном случае (как уже было неоднократно ранее) уравнения непре­ рывной фильтрации можно рассматривать как предельный случай соответствующих дискретных соотношений при бесконечном «сгу­ щении» точек наблюдения, что упрощает их применение на практи­ ке. Конечно, как те, так и другие уравнения являются приближен­ ными, в точной записи они значительно сложнее и их аналогия не столь очевидна. Точные уравнения представляют главным об­ разом теоретический интерес, так как синтезировать на их основе реализуемые алгоритмы фильтрации, не прибегая к тем или иным приближениям, практически невозможно.

Даже на основе приведенных приближенных формул осущест­ вить фильтрацию поля непросто. Пути ее реализации и последую­ щего использования оценок поля при идентификации модели ана­ логичны тем, что рассмотрены в разд. 5.4.2. Структурная схема фильтра также по виду не отличается от структурных схем рис. 5.7, 5.8, разница лишь в том, что здесь операции нелинейны.

Заметим, что задача оптимального оценивания поля рассмотре­ на выше для модели типа (5.4.35), которая является, конечно, не самой общей формой нелинейных уравнений состояния и вы­ брана исходя из разумного компромисса между общностью и про­ стотой модели (а также и ее применений). Уравнения (5.4.35) с нелинейным оператором & , даже при линейности остальных чле­

нов и уравнения наблюдений описывают широкий класс негаус­ совских случайных полей, обладающих марковским свойством во времени, и оказываются достаточно общими для большинства за­ дач моделирования каналов связи. Однако метод, описанный в [192], позволяет получить уравнения фильтрации и в том случае, когда в отличие от (5.4.35) не т о л ь к о ^ , но и G (/, г), С являют­

ся не матрицами, а нелинейными и пространственными оператора­ ми, а шумы-дельта-коррелированы только по времени. Структура уравнений фильтра при этом существенно не меняется.

5.4.4. Некоторые другие виды задач оценивания случайных полей

Выше были рассмотрены задачи идентификации и оценивания случайных полей по наблюдениям в области [0, /] Х й , которая имела меняющуюся границу только по t, а по пространственным координатам г была фиксирована. При интерпретации t как вре­ мени такой подход является вполне естественным и продиктован желанием использовать при формировании оценки наблюдения во

184

всей доступной области пространства £2 вплоть до текущего мо­ мента времени t. Если, однако, ни одна из координат не интер­ претируется как реальное время (т. е. рассматривается статиче­ ское поле), то такой подход является довольно искусственным.

или оценку по области, у которой обе границы — текущие:

Иногда и в тех случаях, когда одна из координат интерпрети­ руется как время, может оказаться полезным наблюдать поле не одновременно во всех точках заданной области пространства, а последовательно и формировать оценку типа (5.4.46). В целом, однако, такие задачи оценивания не типичны для обработки по­ лей в ПВ каналах связи, поэтому охарактеризуем их здесь лишь в общих чертах.

Методы построения оценки типа (5.4.44), но в более общей форме, когда г\ интерпретируется как время, а г2 — как вектор пространственных координат произвольной размерности, подроб­ но рассмотрены выше. Оценка (5.4.45) получается полностью ана­ логичной в силу очевидной симметрии обозначений. Однако боль­ шой интерес представляет вопрос: не может ли быть получена оценка, одновременно удовлетворяющая условиям (5.4.44) и

а это, в свою очередь, достигается, если поле описывается урав­ нением типа (1.4.35) [197—200]. При этом для оценки и диспер­ сии ее ошибки получаются системы из двух уравнений, каждое из которых отвечает «своему» СДУ, или единые уравнения со сме­ шанными производными, по структуре соответствующие (1.4.35).

Значительно сложнее задача построения оценки типа (5.4.46). Здесь возникают те же проблемы, связанные с упорядочением от­ счетов поля, что и при определении состояния и марковского свой­ ства. О них говорилось в разд. 1.4.3 и др. Действительно, смысл рассмотренных выше уравнений «одномерного» оценивания в слу­ чае поля на плоскости (рис. 5.9,а) состоит в том, что оценка

х(£, г) в любой момент времени t может быть найдена на основе

оценки х (to, г) в предыдущий момент to<it и новых наблюдений

185

z(t, г), поступивших за время f—to. Если в соответствии с (5.4.46) потребовать рекуррентности оценки не только по it но и по г, это

означает, что оценка х(/, г) на границе «внешнего» прямоуголь­ ника Г (рис. 5.9,6) должна вычисляться на основе оценки х (/, г) на границе «внутреннего» прямоугольника Г о и наблюдений в по­

гралов второго рода) [116, 196—200]. Практическое осуществление такой «двумерной» фильтрации случайного поля пока затрудни­ тельно.

5.5. ОБНАРУЖЕНИЕ И РАЗЛИЧЕНИЕ СИГНАЛОВ

ВСТОХАСТИЧЕСКИХ КАНАЛАХ СВЯЗИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СДУ

5.5.1.Постановка задачи

При передаче информации по каналам связи, об общих принципах которой уже говорилось в § 1.1, возникает необходимость в восстановлении на приеме исходного сообщения по сигналу, который, как правило, поступает искаженным и смешанным с шумом. Такое восстановление сводится к выносу оптимального по некоторому критерию решения о значении соответствующего информационно­

общение и представляющий его параметр а (как правило, зависящие от време­ ни) являются непрерывными, то указанное решение называют оценкой пара­ метра; обычно оно выносится на основе наблюдений сигнала за весь период от начала отсчета tQдо текущего момента t [138].

В частном случае (например, в системах без модуляции) оцениваться (фильтроваться) может сам сигнал. Такие задачи оценивания рассмотрены вы­ ше, в § 5.4.

В системах передачи дискретных сообщений информационный параметр сиг­ нала принимает значения из некоторого дискретного, как правило, конечного множества. Его элементы можно пронумеровать и отождествить с целыми чис­ лами 1, 2, ..., q. В системах связи элементы дискретного сообщения обычно пе­ редаются с определенным тактовым интервалом, поэтому интервал наблюдения сигнала на приеме и задержка в принятии решения в этом случае в отличие от

186

Сформулированная задача носит название задачи различения сигналов на фоне шума. В частном случае, когда возможна только одна из двух ситуаций — наличие или отсутствие одного сигнала на фоне шума [si(*)= s(f), s2(/)= 0 ], го­ ворят об обнаружении сигнала. Различение иногда называют многоальтернатив­ ным обнаружением. Хотя здесь в основном рассматриваются вопросы, касаю­ щиеся систем связи, следует ртметить, что указанные задачи играют важнейшую роль и в других областях техники: в радио- и гидролокации, системах распозна­ вания образов, автоматического управления и др.

В системах передачи дискретных сообщений основным критерием, по кото­ рому стремятся оптимизировать вынос решения на приеме, является минимум средней вероятности ошибки. Он реализуется при решении по правилу максиму­ ма апостериорной вероятности, а в случае равенства априорных вероятностей

где w[z{ti, гл)дгJV|S^] — совместная условная плотность вероятности всех отсче­ тов поля в области наблюдения.

При решении задачи различения заведомо неизвестен априори «номер» / пе­ реданного сигнала. В остальном же степень априорной неопределенности относи­ тельно сигналов Sj(f, г) может быть самой разнообразной. Наиболее простым является случай, когда прием ведется в детерминированном канале, т. е. в кана­ ле, относительно которого точно известно отображение вход — выход для полез­ ного сигнала (см. разд. 1.1.2) и единственным случайным фактором, затрудняю­ щим передачу, является аддитивный шум. В этом случае возникает задача раз­ личения детерминированных сигналов.

187

практике при различении, как и при оценивании параметров, в большинстве слу­ чаев оказывается реализуемой только обработка отсчетов поля в дискретных точках пространства и в этом смысле формулы типа (5.3.21) достаточно для по­ строения алгоритма различения поля, в теоретическом плане представляет опре­ деленный интерес и получение формул ОП для непрерывных по пространству наблюдений.

Как отмечалось в § 1.4, запись СДУ в виде (5.5.4) или ему подобном в строгом математическом смысле является лишь условным эквивалентом неко­ торых уравнений, записанных с использованием стохастических интегралов и имеющих в общем случае разный вид в зависимости от того, какое из опреде­ лений интеграла взято за основу. Поэтому даже для сигналов без пространст­ венных координат формулы ОП при использовании интегралов Ито и Стратоновича получаются разными [126]. Для случайных полей представление еще более усложняется.

В § 1.4 были изложены два возможных подхода к определению стохастиче­ ских интегралов от случайного поля. Первый основан на представлении о поле как случайном процессе со значениями в гильбертовом пространстве функций от г. Поскольку в прикладных задачах обычно рассматриваются сепарабельные гильбертовские пространства, имеющие счетный базис [5, 70, 149], ясно, что этот

ла ОП по непрерывной выборке при этом является прямым обобщением соответ­ ствующей формулы для случайных процессов [22, 84, 126]. Она по-разному вы­ водилась многими авторами [78, 158, 165 и др.] и при наличии белого шума на­ блюдений п (t, г) с матрицей спектральных плотностей г) имеет вид

где первый интеграл принимается в смысле Ито с учетом упомянтой выше трак­ товки вияеровского поля (см. разд. 1.4.3); dn=z(t, r)dtdr\

где x(t, г|у)— оценка состояния, аналогичная по виду (5.5.7). Эта оценка полу­ чается методами, описанными в разд. 5.4. С учетом (5.5.8) формула ОП приоб-

189

ретает вид1

т

ШЛ, = J ( У ((, г | n c ^ - ' v , г)А « . г) -

го

иявляется предельным случаем (5.3.19) при Дг-»-0.

Второй подход к предс!явлению полей стохастическими интегралами [195— 200] ориентирован на равноправный учет «динамики поля по всем координатам и является естественным в тех случаях, когда ни одна из них не интерпретиру­ ется как реальное время. Он обоснован пока только для двумерных полей и предполагает введение двух видов стохастических интегралов на плоскости (см. разд. 1.4.3).

При такой трактовке СДУ, описывающих поле, отношение правдоподобия, обобщая результаты [198] на векторные поля, можно записать в виде

в (5.5J10) представляют собой стохастические интегралы первого рода, обобщаю­ щие обычный интеграл Ито, а остальные — многократные стохастические инте­ гралы по неупорядоченным парам координат, названные интегралами второго рода (см. разд. 1.4.3).

1 Можно записать аналогичную формулу и с интегралом Стратоноеича, тогда стохастические интегралы являются пределами обычных (для гладких функций), но добавляется член, равный пределу последнего слагаемого в (5.3.19) и завися­ щий от корреляционной матрицы ошибки оценки. При достаточно точном оцени­ вании этим членом на практике нередко можно пренебречь.

190