книги / Модели непрерывных каналов связи на основе стохастических дифференциальных уравнений

для разрывных процессов аналогично предыдущему случаю, при конечном наборе амплитуд в ц (/) получаем:

схема — схема Эйлера, вторая — модифицированная схема Эйлера. Анализ показывает, что погрешности схемы Эйлера по критериям р и q имеют порядок h. Разностные схемы получены для случая постоянных амплитуд воздействия, т. е. р ( А ) = Ь { А —Л0).

6.6.3. Особенности цифрового моделирования СДУ в частных производных

Рассмотрим модель стохастического поля в форме СДУ вида (4.3.2):

*+/=--N

гауссовское б-коррелированное по t и г случайное поле. Покажем, как путем дискретизации по координате г можно

представить это СДУ в виде многомерного обыкновенного СДУ первого порядка, методы цифрового моделирования которого из­ вестны [114].

Выбирая шаг дискретизации по пространственной координате Ar— h, аппроксимируем l-ю производную по г:

i+q•

Подставляя его в СДУ (6.6.1), имеем

где

При введении вектора у ( /) = [ у 0(0* •••» Улг(01т получаем век­ торное дифференциальное уравнение с матричными коэффици­ ентами:

221

где

где

Уравнение (6.6.3) представляет собой обыкновенное линейное

(6.6.1) высокого порядка, сводить их к векторному СДУ первого порядка вида (6.6.3) не всегда целесообразно, так как при этом размерность вектора х (/) оказывается чрезмерно большой. В та­ ких случаях можно использовать другие способы цифрового моде­ лирования случайных полей, описанные, например, в [53, 98, 103].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Изложенный материал, охватывая, конечно, далеко не все воз­ можные приложения метода стохастических дифференциальных уравнений к задачам моделирования каналов связи, тем не менее с очевидностью выявляет его широкие возможности и большие практические преимущества. Но это не означает, что он полностью должен вытеснить другие, уже апробированные практикой мето­ ды, каждый из которых имеет свои достоинства и свою область применения. На наш взгляд, преимущества метода СДУ наиболее отчетливы в тех задачах, где необходимо описывать существенно негауссовские процессы и поля или непосредственно формировать реализации сигналов и помех, как это требуется при имитации каналов связи. Другой важной областью (где преимущества это­ го метода более широко известны) являются задачи оптимального обнаружения, различения и оценивания случайных сигналов на фоне негауссовских и нестационарных помех, которые возникают, в частности, при оптимальном приеме сообщений в стохастиче­ ских каналах. Метод переменных состояния позволяет не только решать эти задачи, но и обеспечивать удобную для реализации рекуррентную форму алгоритмов обработки.

Описанные в книге методы моделирования случайных процес­ сов в каналах связи воплощаются в выпускаемых ныне малыми сериями имитаторе радиоканала, имитаторе импульсных помех и в ряде других установок, которые хорошо зарекомендовали себя при -лабораторных и приемо-сдаточных испытаниях систем связи различного назначения.

Перечислим в заключение некоторые из задач, которые на наш взгляд, требуют дальнейших исследований:

более детальное исследование (анализ и синтез) моделей не­ стационарных процессов, в особенности для случаев, когда нестационарность сочетается с нелинейностью;

дальнейшее развитие методов исследования разрывных про­ цессов;

синтез моделей со случайной структурой; более глубокое изучение нелинейных и неоднородных моделей

случайных полей; развитие методов многомерного рекуррентного оценивания слу­

чайных полей, в особенности для нелинейных моделей; решение задач анализа, синтеза и идентификации моделей

пространственно-временных квантовых каналов; развитие технической базы ПВ обработки случайных полей в

каналах связи; разработка программно-управляемых комплексов для модели­

рования непрерывных каналов на основе СДУ.

223

П Р И Л О Ж Е Н И Е 3

КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О ФУНКЦИОНАЛЬНОМ МЕТОДЕ АНАЛИЗА СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И ПОЛЕЙ

При описании случайных процессов и полей в книге широко используются характеристические функционалы. Поясним это понятие подробнее.

функцию [127]

(П.3.1)

где v* — векторы новых переменных.

Для полного статистического описания случайного процесса или поля, как известно, в общем случае необходимо рассматривать его вероятностные характе­ ристики в бесконечном числе сечений. Полагая в (П.3.1) ЛГ->оо, получаем в пре­

которое задает отображение множества некоторых векторных функций {v(/, г)} на множество чисел. Такие отображения в математике принято называть фуна­ ционалами, поэтому выражение (П.3.1) называют характеристическимфункциона­ лом случайного поля х(/, г) [127]. Заметим, что характеристическая функция вида (П.3.1) является функцией многих переменных и поэтому также может рассматриваться как некоторый функционал, но в отличие от (П.3.2) — на мно­ жестве конечномерных векторов, а не функций.

Характеристические функции и функционалы нестационарных и (или) неод­ нородных полей, как это ясно из приводимого ниже подробного выражения, за­ висят от координат t и г рассматриваемой точки поля как от параметров. Одна­ ко в их обозначениях эту зависимость для упрощения записи обычно не отража­ ют, за исключением тех случаев, когда ее специально необходимо подчеркнуть (например, при дифференцировании по этим параметрам).

Если для процесса или поля существует многомерная плотность вероятности в N сечениях ш(х,, ..., хп, tu ...» гь .... rw), то характеристическую функ­ цию (П.3.1) можно трактовать как многомерное преобразование Фурье этой плотности:

N

a VA — как ее спектральные переменные (частоты).

Зная характеристический функционал поля, можно, положив

N

v(*> о = 2 v* w - * * )* ('- г*>.

229