книги / Модели непрерывных каналов связи на основе стохастических дифференциальных уравнений

Как следует из приведенного выше определения марковского' процесса, в качестве одной из его основных характеристик мож­ но рассматривать функцию л(х, t\xr, /'), выражающую плотность вероятности перехода его из состояния х' в момент f в некоторое другое состояние х, соответствующее моменту t. Благодаря свой­ ству (1.4.12) многомерная плотность вероятности марковского1 процесса разлагается в произведение

т. e. полностью определяется плотностью вероятности перехода и начальной плотностью до(хо, /о)-

Вид функции л;(х, t\x't t') может быть весьма разнообразным. Тем не менее у диффузионного марковского процесса она не про­ извольна, а удовлетворяет некоторому уравнению в частных произ­

/=1 /=1

где а,(х, t) и by{xt t) известны как коэффициенты сноса и диффу­ зии или локальные характеристики марковского процесса (эти на­ звания сложились исторически в связи с описанием процесса диф­ фузии).

Такому же уравнению удовлетворяет плотность вероятности ш(х, t). Заметим, что при начальной плотности ау(х0, /о )= б (х —хо) имеет место равенство

граничных условиях, о которых подробнее сказано в § 2.1.

Не останавливаясь на определении смысла локальных характе­ ристик, подробно освещенного в [131, 142 и др.], отметим глав­ ное: если марковский процесс описывается СДУ вида (1.4.3), то его локальные характеристики полностью определяются коэффи­ циентами СДУ. При записи стохастических интегралов по Стратоновичу

ШП

31

Соотношения (1.4.14) и (1.4.16) устанавливают фундаменталь­ ную связь вероятностных характеристик марковского процесса, по­ рождаемого СДУ (1.4.3), с коэффициентами этого СДУ.

Многомерные диффузионные марковские процессы, описывае­ мые СДУ (1.4.3), образуют весьма обширный класс. Он включает в себя как стационарные, так и нестационарные процессы с раз­ личными функциями распределения.

Стационарные процессы описываются СДУ, у которых коэффи­ циенты f(x), G(x) не зависят от времени1.

Линейные СДУ вида (1.4.3), у которых

f(x, f ) = F ( f ) x ( f ) , G(x, t ) = G ( t ) ,

порождают гауссовские процессы. В общем случае, когда модель нелинейна, функции распределения могут быть весьма разнооб­ разными.

Существует, однако, важный класс случайных процессов, кото­ рый не охватывается непрерывной моделью типа (1.4.3). Это раз-

.личного рода импульсные случайные процессы, в первую очередь импульсные помехи, которые играют существенную роль во мно­ гих реальных каналах связи. Процессы такого типа возникают также при преобразованиях полезных сигналов в некоторых звеньях каналов связи, например на выходах фотодетекторов опти­ ческих систем.

К типу импульсных относят, как известно, случайные процессы, реализацию которых можно рассматривать как последовательность ■отдельных «импульсов» той или иной формы. Как правило, их длительность можно считать малой в рамках решаемой задачи (например, если у помехи она намного короче длительности полез­ ного сигнала).

Применяя для представления таких процессов аналогично то­ му, как это было сделано выше для непрерывных процессов, метод формирующих фильтров, можно рассматривать импульсный слу­ чайный процесс как реакцию некоторой динамической системы на

1 Однако обратное неверно, некоторые нестационарные процессы, например винеровский, также описываются СДУ с коэффициентами, не зависящими от времени.

32

П

шой универсальностью и пригодны для описания различных видов случайных сигналов и помех в каналах связи: в общем случае не­ стационарных и негауссовских, как непрерывных, так и разрывных.

Кроме того, они весьма удобны для построения на их основе физических моделей случайных процессов, используемых в имита­ торах каналов и с другими целями. Это преимущество имеет место как при аппаратурной реализации моделей на базе цифровой или аналоговой техники, так и при моделировании случайных процес­ сов на универсальных ЭВМ и подробно обосновано в гл. 6.

Наконец, у них имеется еще одно, последнее по счету, но не по важности преимущество: на основе марковских моделей сигналов и помех в каналах связи возможен эффективный синтез оптималь­ ных алгоритмов обработки сигналов. Некоторые из подобных при­ менений марковских моделей рассмотрены в § 5.4 и 5.5.

Конечно, заменяя реальный процесс в канале компонентой не­ которого /г-мерного марковского процесса, не следует забывать, что это представление (как и всякая другая математическая мо­ дель, например модель в виде стационарного гауссовского процес­ са с заданной корреляционной функцией) является лишь одним из возможных приближений. Однако за счет выбора достаточно высо­ кой размерности п для весьма широкого класса процессов (см. разд. 2.4.1) можно обеспечить такое представление с необходимой для практических задач точностью. Методы построения марков­

ских моделей для различных видов случайных процессов и полей в каналах связи составляют основное содержание последующих глав.

1.4.3. Модели случайных полей в ПВ каналах

Как отмечалось, в ПВ канале помехи распределены в прост­ ранстве и представляют собой случайные поля, а если канал явля­ ется стохастическим, то и его системные характеристики необхо­ димо рассматривать как случайные функции времени и простран­ ственных координат.

Случайные поля, как и случайные процессы, описываются функциями распределения1 или соответствующими плотностями вероятностей, моментными функциями и спектральными характе­ ристиками. Заметим, однако, что для случайных полей понятие плотности вероятности гораздо, чаще, чем для случайных процес­ сов, теряет обычный смысл, и ее следует рассматривать как неко­ торый функционал [89].

где v(t, r ) — векторная функция из множества, на котором опре­ делен функционал. Напомним, что функционалом в математике принято называть отображение множества функций на некоторое числовое множество.

Моментные функции поля выражают через так называемые ва­ риационные производные его характеристического функционала в нулевой точке. В частности, для скалярного вещественного поля

ми условных вероятностей с использованием понятия потенциала и так называе­ мого гиббсовского подхода [42, 170].

34

Поле помех в месте приема (на антенне приемного устройства) определяется случайными источниками, расположение и характе­ ристики которых чаще всего неизвестны, и зависит от граничных условий, относительно которых обычно также нет достоверных све­ дений. Для поля полезного сигнала источник известен, однако граничные условия в большинстве ПВ каналов не только являются случайными (что часто и дает основание считать канал стохасти­ ческим), но и сами границы, на которых они заданы, весьма не­ определенны по своему расположению.

Поэтому при моделировании указанных случайных полей в ПВ каналах, как и при моделировании случайных процессов, наиболь­ ший интерес представляет феноменологический подход, позволяю­ щий избежать учета второстепенных деталей реального механизма формирования поля и построить более простые и в то же время более общие модели.

В простейшем случае феноменологическая модель поля может иметь вид явного аналитического выражения, содержащего некото­ рые случайные параметры или функции. К этому типу относятся,

Если в качестве таковых выбраны собственные функции инте­ грального оператора, ядром которого -служит корреляционная функция поля, то получается ряд, называемый разложением Карунена — Лоэва [127]. В этом случае коэффициенты ak некоррелированы между собой. Разложение (1.4.24) допускает очевидное обобщение и на векторные поля; при этом каждый из коэффициен­

1 Не следует смешивать ее со спектральной плотностью мощности, которую часто кратко называют спектром поля и которая связана преобразованием Фурье не с реализациями, а с корреляционной функцией поля.

36

ду векторами состояний x(t, г) в различных точках г отсутствует, т. е. корреляционная матрица поля

совокупность взаимно-некоррелированных случайных процессов во всех точках наблюдаемой области пространства. К такому полю целиком применимы все методы исследования случайных процес­ сов, рассмотренные в гл. 2. В частности, процесс x(t, Го) в каждой фиксированной точке г0 является марковским, для его плотности вероятности справедливо уравнение Фоккера — Планка — Колмо­ горова и т. п.

Несмотря на свою простоту, такая модель хорошо описывает некоторые виды каналов с многомерными характеристиками рас­ сеяния и для случая одной пространственной координаты и линей­ ного уравнения состояния подробно рассмотрена в [22].

го линейного дифференциального, интегрального или интегродифференциального оператора &г Как показано в разд. 1.3.2, пред­

ставление в форме (1.4.30) допускают и такие уравнения, которые содержат смешанные производные по пространству и времени.

Нелинейные модели вида (1.4.30) исследованы очень мало [192], несмотря на их важность (они порождают негауссовские поля). Из них сравнительно простой анализ, как показано в гл.4, допускают СДУ с линейными и квазилинейными пространственны­ ми операторами первого порядка:

/

k=\

38

Поле х(£, г), порождаемое СДУ (1.4.30), как и (1.4.26), в каж­ дой точке пространства г представляет собой некоторый случай­ ный процесс, но такие процессы, наблюдаемые в разных точках, теперь уже, в отличие от модели (1.4.26), коррелированы между

держащий смешанные производные по пространственным и вре­ менной координатам. Большинство уравнений этого типа может быть представлено в форме уравнений состояния по времени вида (1.4.30), однако иногда это затруднительно (для некоторых нели­ нейных моделей) или нецелесообразно.

В[117] изучаются случайные поля, порождаемые СДУ (1.4.33)

слинейными операторами общего вида

4. М о д е л и по ле й, п р е д с т а в л е н н ы е в и н т е г р а л ь н о й

фо р м е .

Внекоторых задачах моделирования и обработки случайных полей они представляются стохастическими уравнениями, содер­

жащими наряду с дифференциальными также интегральные опера­ торы, а иногда и полностью в интегральной форме. Об одной из таких моделей уже говорилось в п. 2, а в § 1.4 было приведено интегральное представление (1.4.7) для обыкновенных СДУ. Ко­ нечно, от интегральной записи уравнения путем его дифференци­ рования обычно можно перейти к СДУ одного из типов, рассмо­ тренных выше. Однако нельзя забывать, что в строгом математи­ ческом смысле последние являются лишь условными эквивалентами некоторых уравнений, записанных с использованием стохасти­ ческих интегралов; причем эти уравнения имеют различный вид в зависимости от того, какое из многих определений стохастиче­ ского интеграла взято за основу.

39

Для случайных полей обычно рассматривают представления

процесса (см. разд. 1.4.2) при нескольких аргументах. В зависи­ мости от характера наблюдений поля можно выделить по крайней мере два различных подхода к определению указанных стохасти­ ческих интегралов.

Первый подход применим в том случае, когда пространствен­ ная область наблюдения поля Q фиксирована и поле наблюдается во всех ее точках одновременно, что типично для задач обработки полей в каналах связи (поля на апертуре приемной антенны, ре­ шетке фотодетекторов и т. п.). Этот подход связан с введением состояний, упорядоченных по времени (см. разд. 1.3.2) и базирует­ ся на представлении о поле с непрерывными пространственными координатами как о бесконечной совокупности случайных процес­ сов, наблюдаемых в отдельных точках пространства, т. е. является прямым обобщением описания поля конечномерным вектором его отсчетов в дискретных точках. При этом поле х (/, г) для каждого фиксированного t рассматривается как элемент гильбертова про­

Винеровское поле при этом вводится как такой случайный про­ цесс со значениями в гильбертовом пространстве, координаты ко­ торого в некотором ортонормированном базисе суть независимые одномерные стандартные винеровские процессы [160]. В соответ­ ствии с этим вводится и понятие стохастического интеграла.

Другой подход к представлению полей стохастическими инте­ гралами [195— 200] ориентирован на равноправный учет измене­ ний поля по всем координатам и является естественным в тех слу­ чаях, когда ни одна из них не интерпретируется как реальное вре­ мя (т. е. для статических полей). При этом винеровское поле опре­

обладающее свойством ортогональной меры множества: W (А) и W(B) независимы для любых непересекающихся подмножеств А и

Вобласти значений многомерного аргумента Q [154, 196]!. Описываемый подход обоснован пока только для двумерных по­

лей [196, 200]. Для точек двумерной области наблюдения й вво­ дится отношение частичной упорядоченности: г <( р, если n ^ p i и f 2 ^ p 2- По таким точкам вводится стохастический интеграл, непо­ средственно обобщающий (1.4.8) и названный интегралом первого рода. Поскольку, однако, на плоскости имеются пары точек, не1

40