книги / Модели непрерывных каналов связи на основе стохастических дифференциальных уравнений

где fi(r), f2(r), fz(О — функции, характеризующие неоднородность среды. Гра­ ничные условия в общем случае имеют вид

стохастического ПВ канала рассмотренным методом необходимо задать в опре­ деленных точках сеточной модели в качестве источников или граничных условий соответствующие случайные воздействия. Если обеспечить изменение параме­ тров некоторых элементов сетки по случайному закону (что на современной эле­ ментной базе вполне реализуемо), то можно моделировать и поля в случайных средах, т. е. построить модель стохастического канала.

Реализация «канонической» модели случайного поля в форме СДУ с воз­ действием типа белого поля q{t, г) = § (/, г) требует подключения ко всем узлам сеточной цепи независимых источников белого шума | а (0 - Технически это зада­ ча хотя и сложная, но также осуществимая; что же касается реализации процес­ сов, приближающихся к белому шуму, то этот вопрос ныне хорошо разработан.

Уравнение общего вида (6.4.1) или (6.4.5) следует отнести к математиче­ ским моделям феноменологического типа, так как оно не характерно для реаль­ ных физических процессов в ПВ каналах. Однако в качестве частных случаев

211

из него могут быть получены основные наиболее важные уравнения математиче­ ской физики *:

1) уравнение затухающих волн в среде с потерями (при одной простран­ ственной координате называемое обычно телеграфным): при Ь\=Ь&=0, что соот­

имасштабов, задания граничных условий на модели, рациональной организации наблюдения и отсчета поля (например, с использованием периодизации решения)

ит. п. [35, 39, 67, 113, 129].

Следует, однако, заметить, что некоторые из указанных выше условий в рас­ смотренной цепи «прямой аналогии»12 точно физически реализовать невозможно. Нельзя, например, добиться, чтобы элементы сетки имели чисто индуктивные со­ противления без активных потерь.

Для повышения точности моделирования можно компенсировать потери источниками тока или напряжения, управляемыми в соответствии с токами или

значительно шире. Процесс уравновешивания можно автоматизировать с по­ мощью усилителей.

Конечно, при реализации таких сложных уравновешиваемых цепей возника­ ет ряд технических проблем, связанных в частности, с обеспечением их устой­ чивости. Однако пути решения этих проблем известны [87, 113].

Другой метод устранения потерь связан с использованием явления сверх­ проводимости [39].

Выше были рассмотрены сеточные модели, построенные на основе дискрети­ зации поля в декартовой системе координат. С равным успехом можно использо­ вать и другие системы. Например, при моделировании полей в оптических во­ локнах (световодах) наиболее естественной является цилиндрическая система координат. Применяя сетки с пространственно-изменяющимися параметрами эле­ ментов, можно учесть изменение коэффициента преломления по сечению, харак­ терное для оптических волокон современных систем связи.

Таким образом, метод сеток позволяет моделировать довольно широкий класс случайных полей с пространственной и временной динамикой3 и может быть использован при построении имитаторов ПВ каналов.

1 В их число не включены уравнения статических полей, не представляющие интереса при моделировании каналов.

2 По характеру подобия объекту различают модели прямой аналогии, кото­ рые описываются уравнениями, подобными уравнениям объекта, и квазианалоговые модели, которые эквивалентны первым в отношении получаемых резуль­ татов [ИЗ].

3 Наряду с (6.4.1) возможно моделирование некоторых уравнений с произ­ водными более высокого порядка по пространственным координатам, например бигармонического уравнения. Однако они описывают статические поля, которые как уже упоминалось, при моделировании каналов интереса обычно не пред­ ставляют.

212

Нельзя, однако, забывать, что при гауссовском воздействии линейные цепи обеспечивают формирование только гауссовского поля. Возникает вопрос, мож­ но ли строить описанным методом модели нелинейных СДУ, порождающие негауссовскне поля. В принципе, такая возможность, бесспорно, существует, так как элементы сеточной цепи могут быть и нелинейными. Однако практическая реализация такой сеточной цепи сопряжена с рядом неудобств: типы характе­ ристик известных нелинейных резисторов, конденсаторов и т. п. довольно огра­ ничены, варьировать их трудно, да и сама структура цепи накладывает опреде­ ленные ограничения на тип моделируемых нелинейных уравнений.

Кроме того, сеточные цепи описанного типа плохо приспособлены для моде­ лирования уравнений с производными первого порядка по пространственным координатам.

Более широкими возможностями обладает метод моделирования, основан­ ный на реализации отдельных математических операций, входящих в заданные уравнения, с помощью соответствующих решающих блоков. По такому принципу работают, в частности, серийно выпускаемые АВМ для решения обыкновенных дифференциальных уравнений [35, 67], а также имитаторы каналов, описанные в § 6.2 и 6.3. Этот принцип может быть использован и при моделировании урав­ нений поля.

Действительно, если непрерывное поле y(t, г) дискретизировать по прост­ ранству, как это описано выше, то совокупность его отсчетов в заданной конеч­ ной области можно рассматривать как вектор y (0 = li/i(0 . УЛ0 . Ух(0]т, компоненты которого удобно нумеровать одним индексом подряд по всем коор­ динатам и который имеет размерность N^NIN2Nz, где Mi— число отсчетов поля по координате л,-. Тогда уравнения в частных производных, описывающие поле (независимо от их порядка, линейности, наличия смешанных производных и т. п.), методом конечно-разностной аппроксимации сводятся к системе обыкно­ венных дифференциальных уравнений относительно вектора у (0- Производные по пространству при этом заменяются линейными комбинациями отсчетов поля, как это описано в разд. 6.6.3.

Указанную систему уравнений удобно записывать относительно вектора со­ стояний

некоторая, в общем случае нелинейная векторная функция; q(t)— вектор источ­ ников поля.

Систему mN обыкновенных дифференциальных уравнений, краткой вектор­ ной записью которой является (6.4.6), можно моделировать с помощью схемы, составленной из суммирующих и интегрирующих усилителей, функциональных преобразователей и других решающих блоков по известным правилам [129]. Отличие от задач, обычно решаемых на АВМ, здесь в основном количественное: как ясно из сказанного выше, даже при небольшом числе точек дискретизации

213

по каждой координате общее число отсчетов поля N и, следовательно, размер­ ность решаемой системы уравнений mN, а тем самым и сложность модели, ока­ зываются весьма высокими. Заметим, правда, что для уравнений с частными производными невысокого порядка (tn^N) каждая компонента векторной функции ф в (6.4.6) зависит не от всех, а лишь от нескольких отсчетов поля. Однако обеспечение устойчивости подобных цепей с большим числом усилителей является непростой задачей.

Дополнительные возможности расширения класса решаемых уравнений поля, и притом без чрезмерного усложнения оборудования, открывают алгоритмиче­ ские методы моделирования. Они предполагают последовательное использование имеющегося набора аналоговых устройств 1 для выполнения математических опе­ раций в процессе решения по определенной программе, т. е. основаны на прин­ ципах, отчасти заимствованных из цифровой техники, а нередко и на прямом использовании цифровых элементов (для управления и других целей). При мо­ делировании уравнений с частными производными по алгоритмическому принципу за основу может быть взято представление поля тем или иным рядом (суперпо­ зиция поля), в частности метод разделения переменных, метод сканирования пространства, метод Монте-Карло и др. В литературе описаны гибридные ана­ лого-цифровые модели нелинейных уравнений с частными производными различ­ ных типов [39, 129, 136, 174 и др.].

К сожалению, алгоритмические аналоговые установки, приобретая некоторые достоинства цифровых ЭВМ, в большинстве случаев утрачивают важное преиму­ щество рассмотренных выше простых моделей — формирование поля в естествен­ ном масштабе времени.

Давая общую оценку описанным методам моделирования полей, следует прежде всего различать два возможных пути их реализации: создание специали­ зированных устройств и использование оборудования серийных АВМ. Первый путь является, очевидно, основным при построении имитаторов непрерывных ПВ каналов, предназначенных для испытаний аппаратуры связи. В этом случае главные преимущества аналоговых моделей — представление сигналов в естест­ венном масштабе времени и без аналого-цифрового и цифро-аналогового преоб­ разований, простота конструкции. Второй путь имеет определенные ограничения, связанные с возможностями АВМ (например, в настоящее время нет электро­ интеграторов с сетками из индуктивных элементов), и более пригоден для ими­ тации каналов в научно-исследовательских целях, когда необходимо варьировать в широких пределах тип и структуру канала. Преимущества этого пути по срав­ нению с моделированием на цифровых ЭВМ менее очевидны.

Что же касается сложности описанных моделей, то в чисто количественном смысле она, безусловно, велика: требуется весьма большое число резисторов, кон­ денсаторов, источников поля, усилителей и т. п. Однако эти элементы соединя­ ются по сравнительно простым схемам, допускающим реализацию их методами печатного монтажа и интегральной технологии [39]. Поэтому при современном уровне развития микроэлектроники указанный недостаток уже не имеет такого существенного значения, как прежде, и не является препятствием к созданию аналоговых моделей ПВ каналов.

1 В их число могут входить и сеточные модели.

214

6.5.ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ АНАЛОГОВОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ СДУ

Внастоящем параграфе рассмотрены погрешности, связанные с аппаратур­ ной реализацией моделей случайных процессов в виде СДУ средствами аналого­ вой вычислительной техники. При этом не затрагиваются проблемы реализации функциональных преобразователей, способы температурной стабилизации работы операционных усилителей и тому подобные технические детали.

Обычно при моделировании непрерывных каналов связи, например при ими­ тации замираний, требования к точности воспроизведения характеристик обслу­ живаемых ими систем связи являются относительно низкими. Например, две конкурирующие системы связи, одна из которых обнаруживает при испытаниях энергетический выигрыш в 1— 1,5 дБ по сравнению с другой, как правило, будут признаны равнонадежными; причем с увеличением вероятности ошибки требова­ ния к точности моделирования снижаются.

Кроме того, оценка погрешностей решения СДУ является гораздо более сложной задачей, чем получение точных решений. Поэтому целесообразно пред­ варительно оценить, как уже указывалось, лишь порядок величин погрешностей. Остальное решают эксперимент, опыт моделирования и т. п. При анализе по­ грешностей моделирования конкретных СДУ полученные оценки могут быть уточнены.

Ниже рассмотрены оценки погрешностей моделирования:

а) непрерывных случайных процессов — за счет неточности реализации не­ линейной функции f (х) в СДУ и замены источника белого шума £(/) генерато­ ром случайного телеграфного сигнала (СТС);

б) разрывных случайных процессов — за счет неточности реализации функ­ ции f(x), отличия реальных импульсов в задающем воздействии т)(/) от идеаль­ ных дельта-импульсов и отличия реальной плотности вероятности их амплитуд р(А) от принятой при теоретических исследованиях, а также неточности под­ держания заданного значения интенсивности их потока v.

Эти источники погрешностей, как показывает опыт разработок имитаторов, наиболее характерны для рассматриваемого метода моделирования. Действие их приводит к тому, что вместо желаемой плотности вероятности ш(х) модели­ руемый процесс имеет некоторую другую плотность гё>(х). Оценим их различие по мере Купьбака.

Пусть моделируемый процесс описывается СДУ (2.1.3), где функции fi{x) непрерывны и монотонны, и известны погрешности, с которыми они реализованы

от требуемого можно получить оценки «сверху» и «снизу», связывающие ее с ве­ личинами

В общем случае аналитические выражения для оценок оказываются доволь­ но громоздким и потому здесь опущены, однако расчет на ЭВМ для каждого

215

занная точность воспроизведения нелинейных функций, входящих в СДУ, вполне достаточна.

итребуемого распределений определяется простым выражением

хп

где интеграл, как и в (2.1.13), является контурным.

Для одномерных непрерывных процессов можно воспользоваться еще более

т=О

и реализуется в модели с помощью кусочно-линейной аппроксимации по b уча­ сткам. Тогда для погрешности ее реализации можно приближенно принять вы­ ражение

где С<1

1N =с ( — i)mQW .

где

а Л1(а, Р—г ) — функция Куммера, относящаяся к вырожденным гипергеометри­ ческим функциям [128]. При 62> 1, что соответствует случаю большого числа участков и малой относительной погрешности аппроксимации, представляющему основной практический интерес, можно воспользоваться приближенным представ­ лением Л1(а, 0, — z)=xT(%)/z Г (5— а).

216

Пусть средняя частота смены знака в СТС я0, а амплитуда импульсов а. Тогда {65] стационарная плотность решения СДУ первого порядка

2aCg(x)

С

и5т(х) =

I £(*)1

Полагая в дальнейшем g(x) = 1, а а2о=/С, можно сопоставлением кумулянтов распределений wcr(x) и wcт(х) определить требуемое я0. Если л0>100/т,{Ор, то с рассматриваемой погрешностью практически можно не считаться. Обычно выбор значения По диктуется аппаратурными соображениями. Так, в имитаторе радио­ каналов типа ИКРК я0=14,8 кГц при Ткор^0,5 с, что, по существу, соответст­ вует предельному случаю.

При моделировании разрывных процессов воздействие в виде последователь­ ности дельта-импульсов также нереализуемо. В действительности, на вход пода­ ются импульсы с конечными длительностью и амплитудой. Если, однако, эта длительность на порядок и более меньше интервала корреляции моделируемого процесса, с неидеальностью такого воздействия, как правило, можно не счи­ таться.

Помимо неидеальности формы импульсов на результатах моделирования раз­ рывного процесса сказывается и отличие реальной плотности вероятности «ампли­ туд» импульсного воздействия р{А) от требуемой р(А). Если допустимо исполь­ зовать представление

9

где

dkp{A)

dAk

(причем ai=a2=0, а3= ( т з —ms)/3 и т. д.), то указанным фактором можно пре­

к

Из этого условия следует, что в первом приближении с различиями р(А) и Р(А) для многих видов распределений можно не считаться при совпадении пер­ вых двух моментов указанных распределений.

Влияние неточности реализации заданной интенсивности v входного потока импульсов можно оценить по формуле

ОО

J I Щ т(х)— Щт(х) | dx = [Av|

v

—00

218

где thi{x)=f\[F(xi) |*о]; х{ (i— 1, 2, . . М ) — последовательность, соответствующая точному решению; Xi — результаты моделирова­ ния; при этом А'о=*0.

Для краткости будем в дальнейшем называть их соответствен­ но «критерий р» и «критерий q».

Рассмотрим вначале моделирование диффузионного процесса, удовлетворяющего СДУ первого порядка, синтез которого был описан в § 2.7. Обобщение на многомерный случай приведено в [114].

Выборка белого шума генерируется в соответствии с уравне­ нием

а д +, ) = а д + v r s ц г , + 1). /=I

где V=hi/h; h — величина, которой кратен текущий шаг интегри­ рования уравнения и которая определяется заранее из условий сходимости приближенных решений к точным; // — номер послед­ ней выборки генератора случайных чисел |(&) в начале текущего шага интегрирования (/,*, f,>i); £(£) — некоррелированные случай­ ные числа, распределенные по нормальному закону с нулевым средним значением и единичной дисперсией.

При решении уравнения воспользуемся определением стоха­ стического интеграла по Ито (см. разд. 1.4.2). Применяя метод последовательных приближений Пикара, получаем разностную

схему Xi+l= X i+ fih i+ g A h , где /,= /[* (/< )]; £<=&[* (*<)!*» д £<= =£,•+1—li, которая обычно называется разностной схемой Эйлера

[142]. Погрешность по критерию р равна У1Г • Дополнительно повысить точности моделирования позволяет

переход от схемы Эйлера к модифицированной схеме Рунге — Кутта четвертого порядка вида [101]:

K, = f[xi+-~K,)ht-\-g(xl + -LK,'j Mi.

Kt= f ( i i + K s ) h i+ g (ti+K i) Mi-

Значение критерия q для этой разностной схемы имеет порядок h. Отметим, что для случая многомерных марковских процессов в [114] предлагаются эвристические простые процедуры, незна­

чительно уступающие по точности процедуре Рунге — Кутта. Обратимся теперь к вопросам моделирования разрывных про­

цессов. Преобразуя стохастический интеграл Ито (см. разд. 1.4.2)

220