книги / Модели непрерывных каналов связи на основе стохастических дифференциальных уравнений

видно из разд. 5.2.1, усложняет идентификацию. Поэтому целе-. сообразно применить метод дифференциальной аппроксимации не­ посредственно к (5.2.33). Тогда логарифм отношения правдоподо­ бия записывается в виде

т

(5.2.34)

r^ dtdr-

ЙО

Приравнивая к нулю производные (5.2.34) по параметрам, по­ лучаем систему линейных алгебраических уравнений, определяю­ щих оценку

можно построить феноменологическую модель вида (5.2.1), где

=Ш^+в1гГх(Л4W.r ) ] dtdr-

8 0

Рис. 5.5. Структурная схема устройства идентификации нелинейной модели поля

162

по временной и пространственным координатам, квадраторы

5.3.ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ШУМА ИЗМЕРЕНИИ

5.3.1.Отношение правдоподобия

Пусть случайному полю у(^, г) по-прежнему приписывается мо­ дель в форме СДУ (5.2.1) и необходимо идентифицировать ее параметры (а, Р )= 0 по наблюдаемой реализации поля. Модели­ руемое поле У(/, г; е) связано уравнением наблюдения с векто­ ром состояния x(t, г) и только через него зависит от t> г и пара­ метров 0. Чтобы подчеркнуть эту особенность, которая сущест­ венна для дальнейшего рассмотрения, будем здесь использовать обозначение

Учтем теперь, что при наблюдениях (измерениях) допускаются случайные погрешности, значения которых при разных t и г об­ разуют некоторое поле помех n (t, г) (шум наблюдений). В первом приближении обычно полагают, что помехи статистически не за­ висят от поля у[х0(£, г)] и входят в результаты измерений чисто аддитивно *, т. е. последние образуют поле

Шум наблюдений n(rf, г), как правило, можно считать гауссов­ ским полем с нулевым средним, Мп(/, г) и известной матрицей корреляции М п(/, г)пт (т,р) = Вп(£, %, г, р). Часто приемлемо до­

пущение о дельта-коррелированности во времени:

1 При наличии случайных отклонений в коэффициенте (матрице) передачи С канала измерения говорят о мультипликативных помехах; в более общем случае рассматривают результаты измерения как некоторую нелинейную функцию или оператор от сигнала и помех. Способы оценивания в таких ситуациях услож­ няются и здесь из-за недостатка места не освещены.

Х[хо(*. г)] по наблюдениям его на фоне шума n(t, г). Флуктуа­ ции сигнала обусловлены его зависимостью от случайного поля хе(/, г), порождаемого СДУ (5.2.1). Ясно, что при этом плотность вероятности области поля z (/, г) (при дискретной выборке, для которой она существует) является условной уже не только по 0, но и по xe(f, г), и функционал ОП нельзя записать так просто, как это было сделано в § 5.2. Построение ОП усложняется еще и тем, что в случае нелинейного СДУ поле Хе(/, г) имеет негауссовское распределение (а именно такие модели представляют наибольший интерес) и поле z ( t , г) оказывается лишь условно-гауссовским, т. е. гауссовским для каждой фиксированной реализации x(t, г) 1. Поэтому при построении ОП приходится прибегать к тем или иным приближениям.

Рассмотрим один из возможных путей решения поставленной задачи применительно к модели поля в форме уравнений состоя­ ния (5.2.1) и ее дискретному аналогу (5.2.7). Учтем прежде всего, что согласно указанным моделям состояния Поля упорядочены по времени t> а координаты г играют роль параметров (что, как по­ казано в разд. 1.4.3, не исключает наличия у поля «пространст­ венной динамики» и корреляции его отсчетов в разных точках г).

Обратимся сначала к диксретной модели (5.2.7), описывающей

модели упорядоченность по пространству несущественна, точки наблюдаемой области Q независимо от числа реальных простран­ ственных координат можно в произвольном порядке занумеровать одним индексом.

При оговоренных условиях состояние поля в некоторый мо­ мент дискретного времени i характеризуется набором векторов {x(i, k) |fc=l, 2, ..., Л4}, который удобно рассматривать как один блочный вектор-столбец

X (/ )= [x (i\ 1), x (i, 2) x(i, М )р . (5.3.7)

Введем обозначение для последовательности таких векторов

(5.3.8)

Аналогично определим Z (/), Z (l, /), N(t) и т. п.

В рамках такой дискретной модели шум наблюдений характери*

зуется блочной корреляционной матрицей BN ( /,/) = М [N (/) N (/)]

с блоками [В* (г. /)]*, = М п(/. к) пГ (/, I).

1 Более строго: если состояние х(£, г) при заданных t и г фиксировано, то dz(t, г) имеет нормальное распределение.

164

Если шум некоррелирован по времени и пространственным ко­

— квазидиагональная матрица пространственной корреляции поля.

Описанная модель позволяет свести задачу оценивания пара­ метров случайного поля к задаче оценивания параметров много­ мерного случайного процесса. Используя введенные обозначения и учитывая элементарные свойства условных вероятностей, функ-

i = \

где принято

4Z(i)|z(0), e]=ffi.'[z(i)|0].

Каждая из условных плотностей в правой части (5.3.11) при нелинейном уравнении состояний (5.2.1) оказывается негауссов­ ской, однако аналогично тому, как это делается при идентифика­ ции процессов без пространственных координат [121], можно вос­ пользоваться гауссовским приближением. Тогда

— условное математическое ожидание Z (i), являющееся его наи­ лучшей оценкой на основе наблюдений в предыдущие моменты времени по критерию минимума среднеквадратической ошибки;

Kz (i 11, г - 1; в).-= м {z (ог т(i)|г (1, i - l , 0)

— матрица условной пространственной корреляции наблюдаемо­ го поля.

165

Поскольку шум наблюдений n(i, г) представляет собой белое поле с нулевым средним, то

—однощаговая экстраполяция состояния. Обозначим разность (так называемую невязку)

— матрица пространственной корреляции ошибки оценки состоя­ ния.

Тогда для отношения правдоподобия

7.(0) = 4 »[Z (1 , N ) 19) » [ Z ( X W ) 1 0 ]

получаем выражение

7(0) = Д {[det KN (i)]I,S det [(I®C) K „X

i=i

166

Далее можно перейти обычным образом [121] от дискретной по времени выборки к непрерывной, полагая N-+oo, At-*-0. Допусти­ мость такого предельного перехода вытекает из взаимной регуляр­ ности соответствующих вероятностных мер и для ОП с конечно­ мерными векторами обоснована во многих работах, например [121, 122]. Применяя его к (5.3.18) и возвращаясь к исходному представлению поля отсчетами в дискретных точках пространства z (t, Гк), получаем

— наилучшая текущая среднеквадратическая оценка вектора со­ стояния x(t, Гк) по наблюдениям на интервале времени [0, /] в области Й; 4я (t, rft) и К~{t, rk, г&)— матрицы спектральных плот-

пX

ностей шума и дисперсии ошибки фильтрации, определяемые ра­ венствами

Первый интеграл в (5.3.19) понимается в смысле Стратоновнча (см. разд. 1.4.2). При записи интегралов по Ито формула ОП не содержит последнего из входящих в (5.3.19) слагаемых. Мож­ но показать, что это вытекает из соотношений, связывающих ука­ занные интегралы в оценочно-корреляционных алгоритмах для случайных процессов и рассмотренных в [126].

167

Из полученной формулы логарифма ОП следует, что для оцен­ ки параметров СДУ необходимо произвести непрерывную по вре­ мени корреляционную обработку отсчетов поля, взятых в дискрет­ ных точках наблюдаемой области пространства. В практических задачах идентификации моделей полей в каналах связи такого представления ОП вполне достаточно, так как техническая реа­ лизация непрерывной пространственной обработки полей, как уже отмечалось, крайне затруднительна. Построение функционала ОП для непрерывных по пространству наблюдений требует привлече­ ния стохастических интегралов от случайных полей (см. разд. 1.4.3) и в практическом плане пока представляет ограниченный интерес, так как сама возможность представления такими интегралами доказана для более узкого класса случайных полей по сравне­ нию с процессами [116, 167, 195—200], а интерпретация их как некоторых операций непрерывной обработки в реальном времени и пространстве тем более проблематична. Некоторые примеры формул ОП для непрерывных полей, представляющие интерес с точки зрения теории обнаружения и оценивания ПВ сигналов, приведены в § 5.5.

5.3.2. Алгоритм идентификации

Для осуществления идентификации СДУ в рассматриваемом случае (при наличии шума наблюдений), как видно из получен­ ных выражений ОП, необходимо располагать оценкой вектора

состояния x ( f y гд|0) и матрицей пространственной корреляции ее

ошибки Км (1, rfe,rj|0). Способы их получения подробно рассмо- X

трены в следующем разделе. Каждая из этих величин зависит от 0, поэтому получить, как это было сделано в § 5.2, явное ана­ литическое выражение для оценки (точки максимума ОП) здесь, как правило, не удается, ее приходится искать путем перебора по тому или иному принципу.

На рис. 5.6 показана одна из возможных структурных схем устройства идентификации параметров СДУ, реализующего' опи­ сываемый алгоритм. Отсчеты наблюдаемого поля z(t, г&) посту­ пают на блок оценки состояний (БОС), который формирует ука­ занные выше величины в соответствии со значениями параметров 0, выдаваемыми блоком перебора (БП). Матричный преобразо­ ватель (МП), перемножители (Я ), блок вычисления следа матри­

цы, блоки с матричными коэффициентами передачи С и Чр~ 1>сум­

маторы и интегратор обеспечивают формирование логарифма от­ ношения правдоподобия для разных 0. Блок выявления градиента

мую оценку параметров СДУ.

Поскольку в описанном устройстве обрабатываются отсчеты поля в дискретных точках пространства, т. е. случайные процес-

168

сы, реализация большинства перечисленных выше операций не вызывает принципиальных затруднений и осуществляется с ис­ пользованием известных схем. Исключение составляют лишь алго-

Рис. 5.6. Общая структурная схема устройства идентификации СДУ поля по наблюдениям его реализаций на фоне гауссовского шума

ритмы оценивания состояния поля — они исследованы и описаны в технической литературе сравнительно мало. Поэтому их необ­ ходимо рассмотреть особо.

5.4.ОЦЕНИВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ, ПРЕДСТАВЛЕННЫХ СДУ

5.4.1.Постановка задачи. Виды оценивания

стояний1 x(t, г), полученными на основе наблюдений поля z(t, г)

быть как непрерывным, так и дискретным множеством; вместо непрерывного временного интервала также может рассматривать­ ся и дискретный набор точек.

Заметим, что помимо описанного в § 5.3 возможен и иной под­ ход к задаче идентификации СДУ, при котором его параметры рассматриваются как дополнительные переменные состояния (см.

1 Оценка, как « ранее, зависит от параметров модели 0, но при решении рассматриваемых в этом разделе задач специально указывать это нет необходи­ мости, и вектор 0 в обозначении опущен.

169

разд. 5.1.3). В этом случае оценка (5.4.1) непосредственно дает решение задачи идентификации параметров.

Наконец, задача оценивания случайных сигналов, в том числе ПВ сигналов, имеет большое Самостоятельное значение в технике

тимальной оценкой соответствующей случайной функции (процесса или поля) по критерию минимума среднеквадратической ошибки

Пути получения указанных оценок могут быть различными. Однако, несмотря на большое их разнообразие в настоящее вре­ мя, обычно выделяют два основных подхода к задаче оптималь­ ного оценивания (фильтрации) по среднеквадратическому крите­ рию. Первый из них, предложенный в работах А. Н. Колмогорова и Н. Винера, как известно, предполагает, что априорная инфор­ мация о сигналах и шуме задается в форме корреляционных или спектральных характеристик, а для оптимального фильтра ищется импульсная переходная характеристика или передаточная функ­ ция. Второй подход основан на представлении как сигналов, так и фильтра уравнениями состояния (СДУ). Впервые он получил развитие в работах Р. Л. Стратоновича по нелинейной фильтра­ ции марковских процессов [130, 133, 135], а соответствующие ли­ нейные фильтры широко известны по работам Р. Калмана и Р. Бьюси [49, 176 и др.]. Позднее аналогичные методы фильтра­ ции были предложены и для случайных полей.

Таким образом, в развитие методов оптимальной фильтрации внесли вклад многие авторы. Тем не менее часто условно назы­

По вопросам оценивания случайных процессов имеется обшир­ ная литература, среди которой есть и математические монографии (например, [86]), и работы прикладного характера, рассчитанные на инженеров [22, 80, 104, 126 и др.]. Поэтому сосредоточим здесь внимание на методах оценивания случайных полей, представлен­ ных СДУ в частных производных.

Ряд важных преимуществ алгоритмов калмановского типа (осо­ бенно в дискретном случае), обусловленных рекуррентным харак­ тером формирования оценки, стимулировал интерес к обобщению их на случайные поля. Такое обобщение представляет собой бо­ лее сложную задачу, чем аналогичное обобщение метода Колмо­ горова — Винера, так как связано с необходимостью корректно Определить понятия состояния и марковского свойства для слу­ чайных функций, заданных на первоначально не упорядоченном множестве. О трудностях такого определения уже говорилось в разд. 1.3.2 и 1.4.3.

170