книги / Основы прикладной теории упругих колебаний

ремещений v и ш, но и от скоростей v и w. Подставляя выраже­ ния (311) в уравнения (306), получим дифференциальные урав­ нения движения центра тяжести диска

Е

отсюда следует уравнение четвертой степени для Я

ftp20) \2

~ё~!

Структура полученного уравнения полностью совпадает с уравнением (303), которое было получено для задачи о совмест­ ном влиянии масляной пленки и внешнего вязкого трения. По­ этому условие устойчивости может быть сразу записано в виде

Таким образом, пока угловая скорость вращения вала меньше критической (шКр = р), неравенство (313) выполняется и враще­ ние устойчиво; при © > р, т. е. в закритической области, враще­ ние вала неустойчиво.

Благодаря неучтенным здесь силам внешнего трения устойчи­ вость может быть сохранена и в закритической области, конечно, если эти силы достаточно велики.

182

15. АВТОМАТИЧЕСКАЯ БАЛАНСИРОВКА ВРАЩАЮЩИХСЯ ВАЛОВ

Для устранения изгиба, возникающего при ©ращении неурав­ новешенного вала, иногда применяют специальные устройства, обеспечивающие автоматическую балансировку. Такая баланси­ ровка особенно необходима, когда © условиях эксплуатации воз­ можно существенное изменение несбалансированности вала или ротора; примером могут служить некоторые типы центрифуг, при

случае происходит центрирование массы диска при соответствен­ но изогнутом вале).

Один из вариантов автоматического балансировщика показан на рис. 90. Здесь схема вал — диск усложнена двумя маятника­ ми, которые могут свободно вращаться на валу. Ограничимся рассмотрением стационарных режимов вращения и для упроще­ ния будем пренебрегать силами веса и неупругими сопротивле­ ниями.

Пусть точка О (рис. 91), лежащая на прямой, проходящей че­ рез центры подшипников; W — центр сечения вала; 5 — центр тя­

жести диска; М, М — центры масс маятников; е\ = WM — длина

маятника; е = U7-S— эксцентрицитет.

При отсутствии маятников возможны две схемы взаимного расположения точек О, W и 5 (см. рис. 76). В каждой схеме цен­ тробежная сила и сила упругости вала действуют по одной пря­ мой; поэтому, добавляя маятники, можно предположить, что

183

в любой из этих схем оси обоих маятников имеют направление той же прямой.

Это приводит к четырем вариантам взаимного расположения характерных точек. Варианты а и б (см. рис. 91) соответствуют схеме, данной на рис. 76, а, когда центр тяжести диска 5 лежит дальше от оси вращения, чем центр сечения вала W; эти вариан­

различные случаи взаимного распо­ ложения точек О, W, S, М, М, если все они лежат на одной прямой. Но, кроме этого, возможен еще пятый вариант (см. рис. 91, д), соответст­ вующий полной балансировке вала, когда центр сечения вала W совпа­ дает с центром вращения системы О. В этом варианте силы упругости отсутствуют (так как вал не изог­ нут), а центробежная сила диска уравновешена центробежными сила­ ми маятников; при этом оси маят­ ников образуют некоторый угол у, соответствующий данному эксцент­ рицитету диска.

Лотя равновесие возможно в каждом из перечисленных вари­ антов стационарного режима, но не все эти режимы будут устой­ чивыми. Теоретический анализ и эксперименты показывают, что при ю > а>кр устойчивостью обладает только пятый вариант. По­ этому в закриттеской области такие маятники служат автомати­ ческими балансировщиками и удерживают ось вала от изгиба; ести в процессе вращения эксцентрицитет увеличивается (точка S на рис. 91 смещается вправо), то маятники сходятся ближе и угол у уменьшается ровно настолько, насколько это необходимо для уравновешивания возросшей центробежной силы диска.

В докритической области при © < ©кзз устойчивым оказывает­ ся режим а, в котором маятники увеличивают прогиб вала и по­ этому приносят только вред. Поэтому в конструкциях принимают меры по «выключению» маятников в докритической области.

На рис. 92 показана схема конструкции автоматического ба­ лансировщика, применяемого в конструкциях стиральных машин. Здесь маятниками служат кольца, заключенные в кожух. При © < (лкр центробежные силы, действующие на кольца, малы,

184

кольца лежат на дне кожуха и балансировщик «выключен». При со = сокр центробежные силы оказываются достаточными, чтобы кольца «всплыли» и произошло включение балансировщика.

В некоторых конструкциях шлифовальных станков маятника­ ми служат шары, заключенные в кожух.

16. КРИТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ РОТОРА ВЕРТОЛЕТА

Формулами, приведенными при рассмотрении вала с одним диском, пользоваться нельзя, если с вращающимся диском свя­ заны массы, обладающие некоторой подвижностью по отноше­ нию к диску; в частности, в формулу (274) для критической угловой скорости нельзя подставлять вместо т суммарную мас­ су диска вместе с присоединенными массами.

К схемам этого типа относится, например, горизонтальный вертолетный ротор, состоящий из втулки и лопастей, которые связаны с втулкой вертикальными шарнирами. На рис. 93 пока­ зан трехлопастной ротор, причем О — центр втулки, А, В, С — центры вертикальных шарниров. Предположим, что вертолет стоит на земле, а центр втулки О будем считать упруго закреп­ ленным в горизонтальной плоскости; эта упругость создается всей конструкцией вертолета (от центра втулки до точек опирания колес вертолета на земле).

Схематизируем массовые свойства системы и будем считать, что лопасти полностью уравновешены, причем масса т* каждой лопасти сосредоточена на расстоянии b от центра соответствую­ щего вертикального шарнира. Допустим также, что втулка уравновешена не полностью и ее центр тяжести G находится на расстоянии е от центра втулки О и на биссектрисе угла ВОС *.

Вследствие неуравновешенности системы при вращении рото­ ра возникает центробежная сила, которая вызовет дополнитель­ ное упругое смещение г центра втулки, как это представлено на рис. 93, б. Здесь обозначено:

О' — смещенное положение центра втулки; G/— ее центр тя­ жести; А', В' и С' — центры вертикальных шарниров. Разумеет­ ся, что этими буквами обозначено некоторое мгновенное положе­ ние ротора; с течением времени точки O', G', А', В' и С' описы­ вают окружности с центром в точке О, которая определяет ось вращения системы. Важно заметить, что оси лопастей, подвешен­ ных в шарнирах В' и С', уже не будут располагаться на прямых О'В' и О 'С так как центробежные силы лопастей должны про­ ходить через центр вращения О. Угол, который ось каждой из этих лопастей составляет с прямой О'А', несколько меньше 60°; обозначим его через 60° —е (рис. 93, в) .

* Такое представление о неуравновешенности ротора, очевидно, носит частный характер, что, однако, не повлияет на окончательные выводы. В то же время эта схема наиболее проста для анализа.

185

отсюда приближенно получается

ОВ' ^ а + — .

2

Теперь можно определить центробежные силы лопастей: лопасти А

т*со2 (а + 6 — г);

лопасти В

186

лопасти С

~Ь Ь-\— —j .

Схема центробежных сил показана на рис. 93, г. Кроме цен­ тробежных сил лопастей, сюда включена центробежная сила втулки тьз2(е + г) , где т — масса втулки.

Сумма всех этих сил направлена вдоль прямой 00' и равна

Между величинами / и г существует еще одно важное соотно­ шение: смещение г равно частному от деления силы / на коэф­

фициент жесткости с упругой системы: г = — . Подставляя сю-

С

да выражение (314), получим простое уравнение для определе­ ния смещения г; решив его, найдем

отсюда непосредственно видно, что критическая скорость со­ ставляет

(315)

т + 3/п*

Следует обратить внимание на дополнительное слагаемое — ,

которое входит в знаменатель последнего выражения. Именно этим слагаемым выражено влияние подвижности лопастей отно­ сительно втулки; если представить систему без вертикальных шарниров (т. е. жесткий ротор), то критическая скорость такой системы выражалась бы формулой

т. е. оказалась бы значительно больше.

187

Формула (315) оказывается верной также для любого числа п лопастей (если п ^ 3), но с заменой коэффициента 3 на число п.

Не исследуя свойства двухлопастного ротора, отметим лишь, что подвижность лопастей здесь оказывает еще большее влияние: неустойчивость имеет место в целой области значений угловой скорости (от значения й)*р , вычисленного с учетом подвижности

лопастей, до значения о)хр, вычисленного для жесткого ротора).

17. ВАЛ С НЕСКОЛЬКИМИ ДИСКАМИ. ЖЕСТКИЙ РОТОР НА УПРУГИХ ОПОРАХ

Вал с несколькими дисками

Рассмотрим вопрос о критических состояниях валов, несу­ щих несколько дисков (рис. 94), и определим критические ско­ рости вращения из условий упругого равновесия изогнутого ва-

влияния, запишем выражения прогиба в общем виде (гироскопи­ ческие влияния для упрощения не учитываем):

Полученная однородная система уравнений допускает для ги Гь •••>?п- отличные от нуля решения, если равен нулю определи­ тель, составленный из коэффициентов системы

Уравнение (317) совпадает с уравнением (137), полученным выше как условие для определения собственных частот попереч­ ных колебаний той же системы при отсутствии вращения. Следо­ вательно, критические скорости вращения многодискового вала

188

равны частотам свободных колебаний изгиба того же вала, под­ считанным при отсутствии вращения. Этот вывод, являющийся обобщением результата, найденного при рассмотрении вала с одним диском, позволяет для определения со«р воспользоваться всеми способами, указанными при рассмотрении линейных си­ стем с несколькими степенями свободы. Каждой из критических скоростей соответствует особая форма кривой изгиба вала, сов­ падающая с одной из собственных форм колебаний изгиба.

Жесткий ротор на упругих опорах

Схема упругого вала с несколькими массивными дисками (см. выше) стала классической при анализе критических скоростей многих реальных конструкций. Однако в случаях, когда жест­ кость ротора велика сравнительно с жесткостью опор (например,

Рис. 95

в некоторых типах веретен ткацких станков), более подходящей оказывается схема упруго опертого абсолютно жесткого ротора.

При рассмотрении этой схемы (рис. 95, а) будем считать ко­ эффициенты жесткости опор С\и с2 различными и не зависящими от направлений 'перемещений концов ротора в направлениях z и у (перпендикулярных к оси ротора х) . Ротор будем предполагать полностью уравновешенным; его моменты,инерции относительно проходящих через центр тяжести осей х, у, z равны /* = Jy, h-

Для определения критической скорости вращения рассмот­ рим отклоненное состояние (рис. 95, б). Здесь левый конец ро­ тора описывает окружность радиуса г вокруг своего невозмущен­ ного положения, а ось ротора отклонена на угол а от первона­ чального положения и описывает коническую поверхность.

Как было отмечено выше, в критическом состоянии система центробежных сил и упругих реакций находится в равновесии независимо от масштаба отклонений. Поэтому в данном случае можно записать

где г + <ха— радиальное смещение центра тяжести;

189

mu)2p(r -f аа)— центробежная сила инерции ротора;

г + а/ — радиальное смещение правого конца ро­

тора;

cxr; сфг + а/) — реакции опор.

Кроме того, в рассматриваемом движении на ротор действу­

Его значение должно удовлетворять динамическому уравне­ нию Эйлера [40]

Jy(*y + (Jx — h) <*г®х = Му,

где (о*, ю2 — 'проекции угловой скорости со на связанные с ро­ тором оси х, у и 2 .

Система уравнений (318) и (321) однородна относительно пе­ ремещений г и а. Перепишем эту систему в виде

г{m®lP— сх— с2) -{- а {ат®1Р— сф) ~ 0;

—г (сга— сф) + a [(Jx — Jz) (й2р+ сф1] = 0.

Чтобы г и а были отличными от нуля, необходимо равенство нулю определителя, составленного из коэффициентов этой си­ стемы:

Развертывая определитель, получим биквадратное уравнение

позволяющее найти критическую скорость.

Г Л А В А IV.

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

18. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ БЕЗ НЕУПРУГИХ СОПРОТИВЛЕНИЙ

Стандартное уравнение

Вернемся к простейшей системе, изображенной на рис. 1, б, которая является типичной схемой линейной системы с одной сте­ пенью свободы. В отличие от предыдущего будем рассматривать

дарт, к которому можно прийти при рассмотрении других линей­ ных систем с одной степенью свободы, даже если эти системы имеют совершенно иной конструктивный облик. По этой причи­ не приведенный ниже анализ решения дифференциального урав­ нения носит достаточно общий характер и справедлив для ши­ рокого класса указанных здесь систем.

В любой момент процесса вынужденных колебаний на груз массы т действуют две силы: сила упругости пружины, пропор­ циональная смещению х груза, и возмущающая сила P(t), из­ меняющаяся во времени по некоторому так или иначе заранее заданному закону (ниже будут исследованы наиболее важные частные случаи). При помощи схемы сил, изображенной на рис. 96, составляем дифференциальное уравнение движения груза

где с — жесткость пружины.

191