книги / Основы прикладной теории упругих колебаний

По формуле (103)

р = 0,845а У а .

По формулам Ляпунова — Линстедта (93) и Бубнова — Галеркина (98) в первом приближении

р = 0 ,8 6 6 0 ]/^ а . •

По точной формуле (82)

р = 0 ,8 4 7 0 ]/^ .

Метод прямой линеаризации (случай несимметричной харак­ теристики). Если характеристика несимметрична (рис. 42, б), то ,при начальном отклонении а\ наибольшее отклонение в дру­ гую сторону будет аг, причем в общем случае а\ Ф а%. Связь между этими наибольшими отклонениями определяется фор­ мулой

I f{x)dx = О, —at

выражающей равенство потенциальных энергий систем в обоих крайних положениях. Среднее положение, около которого совер­ шаются колебания, смещено от начала координат влево на от­ резок

д = g2— ai

2

Данному отклонению а! соответствуют вполне определенные значения отклонения а.г и смещения центра колебаний А. Заме­ няющая линейная характеристика должна быть проведена че­ рез центр колебаний; ее уравнение

f.(*) = Pa(* + А). Образуем, как и раньше, уклонение

r = f(x )-p * {x + А)

и примем в качестве «веса» координату x-f-A . Тогда минимиза­ ции подлежит интеграл

1= Г{[/(*)-/>*(*+А) (*+Д)}**.

—аг

Составляя уравнение

получим

82

Введем переменную

*i = х + А

Некоторые виды зависимостей а (р2)

Показанные на рис. 41 графики связи между амплитудой сво­ бодных колебаний и их частотой типичны для систем с жесткой и мягкой характеристиками, причем р0 есть частота исчезающе малых свободных колебаний; ее значение полностью определяет­ ся линейной частью характеристики.

о)

1)

Рис. 43

Если жесткая характеристика вообще не содержит линейного слагаемого (например, характеристика ах3 системы, изображен­ ной на рис. 38, в), то ро = 0 и кривая а(р2) приобретает вид, представленный на рис. 43, а.

Для систем с комбинированной жестко-мягкой характеристи­ кой (рис. 43, б) зависимость а(р2) в общих чертах выглядит так, как это показано на рис. 43, в; здесь возможно одно и то же зна­ чение частоты р для двух различных амплитуд колебаний.

Построим зависимости а(р2) для систем, содержащих нели­ нейные упругие муфты с натягом или с зазором (см. рис. 38, д) . При этом воспользуемся методом прямой линеаризации, т. е.

83

где I — полярный момент инерции системы. Кривая (рис. 44, а) выражает зависимость а(р2), соответствующую формуле (106).

Рис. 44

Штриховой линией показана та же зависимость при большем

7. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

Простейшая система

Составление уравнений задачи. Как указывалось выше, для составления уравнений движения могут быть использованы ос­ новной (уравнения Лагранжа), прямой и обратный способы.

84

Иллюстрируем их применение на простейшем примере двух­ массовой системы (рис. 45, а), в которой схи с2— жесткости пру­ жин; mi и т 2 — массы грузов; хх и х2— перемещения грузов.

т =

2

Прежде всего образуем соответствующие производные

Прямой способ. В процессе колебаний на первую массу дей­ ствует сила натяжения первой пружины и сила натяжения второй пружины, причем их проекции на ось х равны —схххи с2(х2—* 0 ; уравнение движения первой массы имеет вид

85

На вторую массу действует только сила натяжения второй пружины, имеющая проекцию — с2 (х2— *i); уравнение движения

каждое из уравнений будет содержать не более трех неизвест­ ных координат, так как силы упругости пружины, действующие на i-ю массу, полностью определяются смещениями лгг-_ь хг- и Xi+i (рис. 45, б) .

Обратный способ. Рассмотрим безмассовую систему двух пру­

на нагружена силой —тхХ\— т2х2, а вторая силой — тх2. Пере­ мещение первой точки (равное удлинению первой пружины)

и перемещение второй точки (равное общему удлинению обеих пружин)

Сопоставляя полученные уравнения, можно отметить сле­ дующее.

Полное совпадение уравнений (118), полученных по основно­ му способу, и уравнений (109), (110), полученных по прямому способу, не является случайностью. Оно имеет место всегда, ког­ да обобщенные координаты выбраны так, что выражение кине­

тической энергии не содержит произведений скоростей (в дан-

• •

ном случае произведения х{х2). Если обобщенные координаты выбрать с таким расчетом, чтобы выражение потенциальной энергии не содержало произведений Х\Х2 (в нашей задаче это не было достигнуто), то уравнения, получаемые по основному спо­ собу, совпадут . с уравнениями, составляемыми при помощи обратного способа.

Хотя система уравнений (109), (ПО), конечно, эквивалентна системе уравнений ( 1 1 1 ), ( 1 1 2 ), однако при увеличении числа масс”эти системы неравноценны в вычислительном отношении. Выше указывалось, что если иметь в виду механические системы рассмотренного типа, то независимо от числа масс прямой спо­ соб будет приводить к уравнениям, каждое из которых содержит не более трех неизвестных функций. В то же время уравнения, составляемые по обратному способу, будут прогрессивно услож­ няться, так как в каждом из них будут представлены все п иско­ мых функций задачи.

86

По этой причине прямой способ всегда предпочтительнее для анализа колебаний цепных систем рассмотренного типа. В дру­ гих случаях большие удобства может дать применение обратно­ го способа (как, например, при исследовании изгибных колеба­ ний балок с несколькими массами).

Решение уравнений движения для простейшей системы. Про­ должим рассмотрение системы с двумя степенями свободы (рис. 45, а) ; это позволит простейшим образом обнаружить ос­ новные особенности колебаний систем, имеющих несколько сте­ пеней свободы, в частности — существование нескольких собст­ венных частот. Попробуем удовлетворить уравнения колебаний (109), ( 1 1 0 ) функциями

x1 = a1sin(pt + а); |

хг = a2 sin(pf-f ос). |

Эти функции еще не представляют общего решения задачи, но дают возможность его построить. Подставив выражения (113) в уравнения (109) и (НО), получим

— ciOi “1~ с%(a<i— а±) = — Ш\ахр\

(114)

—сг( « 2 — ах) = — m2a2p2.

Вэтих уравнениях содержатся три неизвестных: амплитуды а\, а2 и частота р. Конечно, из двух уравнений найти три вели­ чины нельзя; однако уравнения (114) позволяют довести до кон­ ца определение собственной частоты.

Находим из первого уравнения отношение

содержащему единственную неизвестную — частоту р. Частотное уравнение (117) может быть также получено иным

путем. Система уравнений (114) может быть переписана в виде

(сх + с2 — тгра) аг— сгОг= 0 ;

— сгах+ (с2— ШгР2) а2= 0 .

87

Здесь отчетливо видна однородность системы уравнений от­ носительно амплитуды а\ и а2. Однородная система уравнений удовлетворяется нулевыми корнями

ах = а2 = 0 .

Это тривиальное решение в нашей задаче означает отсутст­ вие колебаний. Однако в одном исключительном случае возмож­ но нетривиальное решение, когда at ф 0, а2ф 0 ,— именно при равенстве нулю определителя, составленного из коэффициентов системы

Соответственно можно вычислить и две собственные частоты:

Таким образом, колебательный процесс оказывается двухча­ стотным и определяется функциями sin (pxt + оц) и sin (p2t + а2). Существование двух частот показывает неполноту записи (113). Чтобы отразить в общем решении обе гармоники, усложним ин­ дексацию и запишем решение в виде

здесь первый индекс у амплитуды aiK означает номер координа­ ты, а второй индекс — номер слагаемого в строке (номер ча­ стоты) .

88

Амплитуды связаны отношением (115) [или эквивалентным ему отношением (116)]. Если подставим в выражение (115) пер­ вую частоту р\, то получим независящее от начальных условий отношение амплитуд первой гармоники

Связь между амплитудами второй гармоники определяется тем же отношением (115) [или отношением (116)], если принять в нем р2 = pi:

Следовательно, вместо решений (120) можно написать

xi — ап sin (pii + ai) 4~ an sin (pit + Лг); x%= '^2 1 ^ 1 1 sin (pit 4* <*i).4- x22^i2 sin (p2£ 4~ 0C2).

Здесь собственные частоты p\ и p2 и отношения Х21 и Х22 за­ висят только от параметров колебательной системы. Величины ап, « 1 2 , ai и аг должны быть определены из четырех начальных условий, выражающих значения смещений и скоростей обеих масс в начальное мгновение.

Пусть, например, при t —О

xi (0) = 0; лг2 (0) = 0;

*1 (0) = 0; x2(0) = i/o>

т.е. движение системы вызвано мгновенным ударом по второй массе (подобная задача возникает, например, при анлизе колеба­ ний артиллерийских систем после выстрела).

При помощи выражений (123) получаем

Величины pi, P2, K21 и X22 известны; для их вычисления должны быть использованы формулы (119), (121) и (122). Та­ ким образом, в рассматриваемом случае реализуются обе колебательные составляющие, входящие в выражения (123).

89

Искусственным подбором начальных условий можно добить­ ся одночастотности колебаний, например, сделать так, чтобы а\2 — 0. При этом колебания описываются одной гармоникой

Так как коэффициент « 2 1 не зависит от начальных условий, то рассматриваемые одночастотные колебания характеризуются вполне определенным (т. е. зависящим только от параметров системы) отношением амплитуд, которое остается неизменным в процессе колебаний. Это отношение определяет первую собст­ венную форму колебаний.

Если начальные условия таковы, что ап = 0, то колебания будут также одночастотными, но с частотой р2:

Xi = а12 sin (pit -f- oc2);

X% — *22^12 Sin (pit “b ^2),

причем отношение амплитуд %22 определяет вторую собственную форму колебаний.

При первой собственной форме колебаний обе массы дви­ жутся в одном направлении, причем амплитуда колебаний вто­ рой массы больше амплитуды колебаний первой массы. Второй собственной форме колебаний соответствует движение масс в противоположных направлениях; амплитуда колебаний второй массы меньше амплитуды первой массы.

Еще раз подчеркнем, что для реализации собственных форм в чистом виде необходим специальный выбор начальных усло­ вий.

Ортогональность собственных форм колебаний. При колеба­ ниях системы по первой собственной "форме наибольшие откло­ нения равны ац и a2i; этим отклонениям соответствуют инерции niiauPi и m2a2\pf. Аналогично при колебаниях по второй соб­

ственной форме наибольшие отклонения составляют ai2 и а22 и соответствующие силы инерции равны тха\2р\ и m2a22p|.

Применим к этим двум состояниям теорему Бетти о взаим­ ности виртуальных работ; согласно этой теореме работа

90

сил первого состояния (m^npf, щацр\) на перемещениях вто­ рого состояния (ai2 , «22) равна работе сил второго состояния {Ща12р£ и т20>22Р\ ) на перемещениях первого состояния (an,

й2\), т. е.

tnxcixxciX2 -j- m2a21a22 = 0.

Это соотношение выражает свойство ортогональности двух соб­ ственных форм колебаний; после деления на ацйп оно может быть переписано также в виде

Ш\ -J~ Ш2Х2Хк22 = 0.

Если известно отношение хгь определяющее первую собствен­ ную форму, то из условия ортогональности можно найти отно­ шение Х2 2 , соответствующее второй собственной форме:

/Я2%21

Понятие о собственных формах колебаний, как и важное свойство их ортогональности, будет использовано далее при рас­ смотрении систем, имеющих произвольное конечное число степе­ ней свободы. При этом число форм колебаний и равное ему чис­ ло собственных частот совпадают с числом степеней свободы системы.

Крутильные колебания валов

Основные уравнения. Рассмотрим крутильные колебания мно­ гомассовой системы (рис. 46), которая является общепринятой, хотя и небезупречной эквивалентной схемой для расчета кру­ тильных колебаний коленчатых валов. Коленчатый вал приво­ дится к эквивалентной схеме путем следующих замен:

момент инерции заменяющего диска относительно оси вала должен быть равен моменту инерции колена относительно той же оси; при этом учитывается присоединенная масса шатуна;

жесткость на кручение участка заменяющего вала должна быть равна жесткости на кручение соответствующего участка коленчатого вала.

Нужно иметь в виду, что эти замены не могут обеспечить пол­ ной эквивалентности обеих схем. Дело в том, что приведенный момент инерции масс колена и шатуна изменяется в процессе вращения коленчатого вала; поэтому замена колена диском с по-

91