книги / Основы прикладной теории упругих колебаний

Подобно выражению (222) представим исходную кривую

Рассмотрим одно из слагаемых этой нагрузки тЬ{Х{. От на­ грузки тр*Х{ прогибы будут Xi\ поэтому от нагрузки nibiXi про­

гибы будут в — раз больше, т. е. составят — Xi. Следова-

Р?

тельио, кривая прогибов от суммарной нагрузки определится рядом

который отличается от ряда (238) тем, что каждый член разде­ лен на квадрат соответствующей частоты. Так как р\ < р%, р2 < Р з , т о кривая а^{х) ближе к ХДх), чем исходная кривая а\(х) \члены, содержащие Х%(х), Х${х) и искажающие основную форму ■X’i(x), представлены в ряде (239) слабее, чем в ряде (237). Продолжив процесс далее, получим для (п + 1)-й кривой

= ^ [ Х1 + Ч ^ Г Х! + Ч ? г Г Хз + ' ••]• (240)

Как видно, при п->оо высшие формы исчезают, и следова­ тельно, какой бы ни была выбрана исходная кривая (например, даже очень похожей на вторую собственную форму), 'процесс в конце концов приведет именно к первой собственной форме.

Поэтому может показаться, что попытка построить вторую собственную форму при помощи этого метода обречена на неуда­ чу, так как всякое искажение, вносимое первой формой в при­ ближенную вторую форму, будет постепенно увеличиваться, и после большого числа построений второй тип колебаний исчез­ нет совершенно и останется лишь первый тип.

Однако несколько видоизменяя метод, можно добиться то­ го, что в результате последовательных приближений «очистится» не первая, а именно вторая собственная форма колебаний; этот прием нашел практическое применение при расчете изгибных колебаний крыльев самолетов и лопаток турбин.

Прием основан на устранении формы Xi(x) из исходной функ­ ции аг(х). Допустим, что в разложении (237) в одном деле со­ вершенно отсутствует слагаемое, соответствующее первой форме;

142

которое дает после подстановки выражения (242) i

Jта2(*) Хг (х) dx

о

а2 = -----J----------------- •

J mXf(х) dx

о

Затем следует определить кривую аз от нагрузки та2, вновь исправить ее по формуле

а3 (х) = а3 (х) — &гХх (х).

ит. д.

Втаком процессе последовательных приближений ортогона-

лизация сопровождает каждую ступень выкладок и, непрерывно вытесняя «примесь» первой формы, приведет ко второй собст­ венной форме и ко второй частоте; последняя 'подобно выраже­ нию (236) определится формулой

rfi —С°«+шах

Р2 ~ -7=7--------

\ап ) шах

Таким же образом при помощи сопровождающей ортогонализации можно определить третью нормальную форму и третью частоту и т. д.

10. ПЛОСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ДИСКОВ

При исследовании колебаний вращающихся дисков обычно считают, что диск представляет собой тело вращения и что су­ ществует плоскость симметрии диска, перпендикулярная к оси вращения («срединная плоскость»); кроме того, принимают, что наклон боковых поверхностей диска к этой плоскости весьма мал, а толщина диска мала по сравнению с его диаметром.

При этих предположениях можно говорить о двух типах ко­ лебаний. К первому типу колебаний относятся случаи, когда лю­ бая точка срединной плоскости диска колеблется в той же пло­ скости, т. е. совершает плоские колебания; в свою очередь, их можно подразделить на радиальные и тангенциальные колеба­ ния. Второй тип колебаний — изгибные колебания диска, которые характеризуются пространственной картиной деформаций и пе­ ремещениями точек срединной плоскости по перпендикуляру к этой плоскости. Установлено, что центробежные эффекты, свя­ занные с вращением диска, практически не влияют на1формы и частоты свободных -плоских колебаний; поэтому вращение диска учитывают только при исследовании изгибных коле­ баний.

144

Радиальные колебания

Радиальными называются осесимметричные плоские колеба­ ния, при которых любая точка срединной плоскости диска дви­ жется только вдоль соответствующего радиуса; при этом отсут­ ствуют перемещения в окружном (тангенциальном) направле­ нии, а также в направлении перпендикуляра к срединной плоскости диска.

Мысленно выделим двумя радиальными и двумя цилиндриче­ скими сечениями бесконечно малый элемент диска (рис. 70). Расстояние от центра диска до этого элемента обозначим через г, а соответствующий бесконечно малый центральный угол — через

dQ. Нормальные напряжения в кольцевом и радиальном сечени­ ях обозначим соответственно че­ рез Or и а0; благодаря осевой сим­

площадь грани hrdQ, т. е. составляет orhrdQ. На наружной грани нормальное усилие получает приращение — (orhrdQ)dr и, та­

ким образом, равно arhrdQ + ~ (aThrdQ)dr. or

На основании закона Гука для плоского напряженного со­ стояния можно записать

е0 f

где ц — коэффициент Пуассона.

Последние соотношения представим в виде зависимостей на­ пряжений от деформаций

ffr = 7 1 ^ 7 +

(243)

°0==7 Г ^ ‘ (ев + |18')-

145

Вспомнив известные из курса сопротивления материалов фор мулы

выражающие деформации через перемещения (и — радиальное перемещение текущей точки), запишем соотношения (243) в виде

аГ

(244)

°о =

Таким образом, оба нормальных напряжения аг и <т0 выра­

жены через одну функцию и = и(г, /). Проектируя все силы, дей­ ствующие на элемент, на направление радиуса, получим диффе­ ренциальное уравнение движения

j\/zr + ~ (o,/jr)drJ dQ— orhrdQ— 2aQhdr ~ = phrudrdO,

где p — плотность материала диска. Правая часть дифференци­ ального уравнения записана с учетом того, что рhrdrdb — масса элемента.

Подставляя сюда выражения (244) и преобразуя, приходим к основному дифференциальному уравнению задачи о свободных радиальных колебаниях диска

и будем разыскивать решение в виде произведения двух функций:

где R(r) — функция радиуса г; T(t) — функция времени t.

Подставив решение (246) в основное уравнение (245), разде* лим переменные и получим дифференциальное уравнение для неизвестной функции R{r), которая по смыслу решения опреде­ ляет собственную форму колебаний:

здесь р — неизвестная собственная частота;

146

Из-за переменности коэффициентов уравнения (247) его ре­ шение, как правило, затруднительно. Лишь в двух частных слу­ чаях уравнение несколько упрощается и может быть решено в функциях Бесселя; это имеет место в случае плоского диска, когда h' = 0:

(248)

и в случае диска гиперболического профиля, когда h

ля [10].

В общем случае можно воспользоваться методом Бубнова — Галеркина и, задаваясь формой колебаний R(r), определять соб­ ственную частоту р из уравнения

Rdr = 0,

в котором гх и г2— внутренний и наружный радиусы диска. Функция^(г) должна быть выбрана таким образом, чтобы

были удовлетворены граничные условия. На закрепленном кон­ туре отсутствуют перемещения а и, следовательно, должно быть удовлетворено условие R = 0. На свободном контуре отсутству­ ют напряжения аг и согласно выражению (244) граничное усло­ вие принимает вид

Я' + р^- = 0.

Тангенциальные колебания

Возникновение тангенциальных колебаний можно представить следующим образом. Пусть закрепленный на неподвижном валу диск нагружен по внешнему контуру касательными усилиями, образующими пару, и в некоторый момент времени эта нагрузка мгновенно снимается. Тогда возникают свободные тангенциаль­ ные колебания, при которых точки диска, лежащие на какойлибо окружности^ остаются на этой окружности, а все радиусы искажаются и притом совершенно одинаково.

147

Рассмотрим две бесконечно близкие точки а и Ь срединной плоскости диска, которые до деформации лежат на одном радиу­ се. Пусть после тангенциальной деформации диска их новые положения определяются точками ах и Ьх (рис. 71). Радиус-век­ тор точки а повернется на угол <р и займет положение Оах, а ради­ ус-вектор точки b совершит поворот на угол <р + d<p и займет положение ОЬх. Угол у между направлением повернутого элемента

Л ахЬхи новым направлением радиуса ОахЬ2 является углом сдвига. Из A axbxb2 имеем bxb2 — уdr, а из АОЬхЬ2

этому на внутренней грани касательное усилие равно тhrdQ, а на

в данном случае не нужны, так как будем составлять уравнение моментов относительно центра диска. Это уравнение имеет вид

-hr4Q — |\hr + drj (/ + dr) dQ= p hr2drdQr^ .

Правая часть представляет собой момент силы инерции, равной произведению массы элемента рhrdrdQ на касательное ускоре­

ние ~ . Заменив здесь касательное напряжение по выраже­

нию (250), получим после преобразования дифференциальное уравнение для угла поворота <р

Ф"

Как и выше, это уравнение в частных производных при помо­ щи подстановки

Ф (r,t) = R(r)T(t)

148

приводится к обыкновенному дифференциальному уравнению

I

где р — собственная частота колебаний;

Полученное уравнение относится к тому же типу, что и урав­ нение (247), и в общем случае зависимости h = h(r) приходится пользоваться приближенными методами решения.

При выборе функций R(r) необходимо обеспечить выполне­

Если с контуром связана распределенная по периметру мас­ са интенсивностью т, то развиваемая этой массой сила инерции

(на единицу длины контура) есть —тг<р; она должна быть при­ равнена касательному усилию хh ■*= Grh<р', подсчитанному также на единицу длины контура:— mry=Grhq>, т. е.—mrRT—GrhR'T но так как Т ——р2Т, то граничное условие имеет вид mp2R = = GhR'. Выбирая здесь знаки, мы считали, что распределенная масса связана с наружным контуром диска.

После того как функция R(c) выбрана, собственную частоту можно найти при помощи метода Бубнова — Галеркина из выра­ жения

Rdr = 0.

В одном частном случае нет необходимости пользоваться при­ ближенными методами, так как легко найти соответствующее точное решение. Таким является случай диска гиперболического

профиля, для которого h —Ь:г3. В самом деле, при этом — =

g

----------- и уравнение (251) принимает вид

**+ * 4 - 0 ;

с\

149

решение этого уравнения

R = A sin — + Вcos —

нужно подчинить граничным условиям. Пусть, например, внут­ ренний контур диска закреплен, а наружный свободен. Тогда, •согласно выражениям (252) и (253), должно быть

j £ . c o s P b _ _ S p . s.n _P£L = 0.

Cl Cl Cl Cl

Приравняв нулю определитель этой системы, получим частот­ ное уравнение

•отсюда находим первую собственную частоту тангенциальных колебаний:

11.ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ДИСКОВ

Общие соотношения

Изгибные колебания можно подразделить на два случая.

а) Осесимметричные зонтичные колебания, при которых все радиусы диска изгибаются одинаково из плоскости диска. Эта форма колебаний показана на рис. 72, а, б, где знаками плюс и минус обозначены направления перемещений соответствующих кольцевых зон диска. Срединная плоскость при колебаниях пре­ вращается в поверхность вращения; в зависимости от номера нормальной формы колебаний может существовать одна и более

неподвижных окружностей.

б) Веерные колебания, характеризующиеся существованием одного или более узловых диаметров (рис. 72, в, г) .

В общих случаях соответствующие дифференциальные урав­ нения имеют переменные коэффициенты и даже в простейших

.150

случаях не допускают интегрирования в элементарных функци­ ях. Обычно для решения этих задач пользуются энергетическим способом, что требует составления выражений для кинетической и потенциальной энергии. Влияние вращения на изгибные ко­ лебания настолько значительно, что пренебрегать им нельзя.

Рис. 72

Обозначим через г и 0 полярные координаты произвольной точки срединной плоскости и через w = w(r, 0) прогиб в этой точке. Если по-прежнему р — плотность материала, h — h(r) — толщина диска, то масса элемента равна рhrdrdQ, и его кинети-

ческая энергия равна w2— phrdrdQ. Суммарная кинетическая

Если на контуре диска имеются распределенные массы (ло­ патки), то их кинетическая энергия должна быть учтена допол­

нительно.

Приведем без вывода выражение потенциальной энергии из­ гиба круглой пластинки

151