книги / Основы прикладной теории упругих колебаний

Уравнения Лагранжа примут вид

Подставив сюда частное решение (147), получим систему

или

ах (— тр2+ 2сп+ 2с3) + ав(2спа — 2с3Ь) = 0; | ^

ах (2спа — 2c3b) + а6 (— т р 2р2 + 2с„а2 + 2с362) = 0. J

Для получения нетривиального решения необходимо прирав­ нять нулю определитель, составленный из коэффициентов при а\ и а6:

Развертывая определитель, получим частотное уравнение вто­ рой степени относительно р2:

тр2

После определения частот из этого уравнения, можно найти обе собственные формы колебаний. Для этого из какого-либо (например, из первого) уравнения системы (148) нужно образо­ вать отношение амплитуд

и подставить © него поочередно оба корня частотного уравнения; то же можно получить при помощи второго уравнения (148).

Остановимся на частном случае такого распределения масс, когда р2 = ab. В этом случае корни частотного уравнения (149)

2 _ 2с3 (а+ Ь)

Для определения собственных форм колебаний подставляем эти корни поочередно в выражение (150). Тогда получим для первой формы

а81 =

Дц

Ъ

112

Убедимся в ортогональности этих форм. В нашем случае условие ортого­

Подставив значения, получим

malxau (1 — 15 000 •0,0037.0,0183) к 0.

114

8. КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ (ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ]

Основная особенность процесса свободных колебаний систем с непрерывно распределенной массой выражается в бесконечно­ сти числа собственных частот и форм колебаний.

С этим связаны и особенности математического характера: вместо обыкновенных дифференциальных уравнений, описываю­ щих процессы в системах с несколькими степенями свободы, здесь приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями в частных производных. Кроме начальных условий, определяю­ щих начальные смещения и скорости, необходимо учитывать граничные условия, характеризующие концевые закрепления.

Продольные колебания стержней

Основное уравнение и его решение. При анализе продольных колебаний прямолинейного стержня (рис. 61, а) будем считать,

1

-— X---- dx *)

>)

Рис. 61

что поперечные сечения остаются плоскими и что частицы стерж­ ня не совершают поперечных движений и перемещаются только в продольном направлении.

Пусть и — продольное перемещение текущего сечения стерж­ ня при колебаниях; это перемещение зависит от местоположения

относительное удлинение е = — .

дх

Соответственно этому продольная сила в сечении с координа­ той х может быть записана в виде

115

где EF — жесткость стержня при растяжении — сжатии. Сила N также является функцией тех же аргументов — координаты х и времени t

Рассмотрим элемент стержня, расположенный между двумя бесконечно близкими сечениями (рис. 61, в). К левой грани эле-

обозначить через р плотность материала стержня, то масса рас­ сматриваемого элемента составляет pFdx. Поэтому уравнение движения в проекции на ось х принимает вид

т. е. предположим, что перемещение и можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от аргумента х, а другая только от аргумента t. Тогда вместо опре­ деления функции двух переменных и(х, t) необходимо определе­ ние двух функций Х(х) и T(t), каждая из которых зависит толь­ ко от одного переменного.

Подставив выражение (159) в уравнение (156), получим

с2Х"Т = XT, где штрихами обозначена операция дифференциро­ вания по х. Перепишем это уравнение в виде

Здесь левая часть зависит только от х, а правая — только от t; для тождественного выполнения этого равенства (при любых х и t) необходимо, чтобы каждая из частей была равна постоян­ ной, которую обозначим через —р2:

116

О тсю д а следую т два уравнения

Первое уравнение имеет решение

указывающее на колебательный характер процесса. Из выраже­ ния (161) видно, что пока неизвестная величина р имеет смысл частоты свободных колебаний.

Второе уравнение (160) имеет решение

формы колебаний. Они не зависят от начальных условий и удов­ летворяют условию ортогональности, которое при F —const име­ ет вид

I

J Xm(я) Хп(я) dx = 0, если тфп.

о

117

Граничные условия. Рассмотрим несколько типовых случаев. З а к р е п л е н н ы й к о н е ц с т е р ж н я (рис. 62, а). В кон­ цевом сечении перемещение и должно быть равно нулю; отсюда

вытекает, что в этом сечении

должна тождественно равняться нулю, что возможно, если в кон­

цевом сечении

Х' = 0.

С о с р е д о т о ч е н н а я м а с с а т0 на к о н ц е с т е р ж н я . Развиваемая массой сила инерции равна

— т0 = — т0ХТ.

Так как, согласно уравнению (160), Т = —р2Т, то сила инер­ ции может быть записана в виде пгр2ХТ. Учитывая выражение (163), получаем граничное условие в виде

— тф2Х = EFX',

если масса связана с правым концом (рис. 62, е) .

Частотное уравнение. Рассмотрим типичные частные случаи. О п р е д е л и м с о б с т в е н н ы е ч а с т о т ы к о н с о л ь н о ­

Подставляя поочередно эти условия в решение (162), получим

D = 0; С — cos EL — о.

сс

118

Следовательно, частотное уравнение при учете выражения (158) имеет вид

pl tg pl = pFl ;

сс m0

правая часть уравнения представляет собой отношение массы стержня к массе концевого груза.

Для .решения полученного трансцендентного уравнения необ­ ходимо воспользоваться каким-либо приближенным способом.

119

При малом отношении а решающее влияние оказывает груз и хорошие результаты дает 'приближенное решение

Стержни переменного сечения. При F ф const из уравнений (155) и (156) получается

Это дифференциальное уравнение не поддается решению в замк­ нутом виде. Поэтому в подобных случаях приходится прибегать к приближенным методам определения собственных частот (на­ пример, к методу Рэлея).

Крутильные колебания валов

Крутильные колебания вала с непрерывно распределенной массой (рис. 64, а) описываются уравнениями, которые по струк­ туре точно совпадают с уравнениями, приведенными выше.

Основное уравнение и его решение. Крутя­ щий момент М в сече­ нии с абсциссой х свя­ зан с углом поворота <р дифференциальной за­ висимостью, аналогич­ ной выражению (155),

М — GJ„ , (167)

Рлс. 64

где /р — полярный момент инерции поперечного сечения.

В соседнем сечении крутящий момент равен М + — dx

дх

(рис. 64, б).

Обозначая через рJp (где р — плотность материала вала) ин­ тенсивность момента инерции массы вала относительно его оси (т. е. момент инерции единицы длины), уравнение движения элементарного участка вала можно записать так:

120

или, п од обн о уравнению (156),

дМ __ j д2ф

РJР~

дх дх*

Подставив сюда выражение (167), получим при Jp = const аналогично уравнению (157)

д2<р _ 32ф

(168)

Их* ~~ dt* ’

где

G_

Р ’

Общее решение уравнения (168), как и уравнения (157), име­ ет вид

ф = 2 х » (* )г „(0 ,

а функция времени

Tn{t) = asin (pnt + ап).

Собственные частоты и функции определяются конкретными граничными условиями.

Граничные условия. В основных случаях закрепления концов, аналогично случаю продольных колебаний, получим следующее:

Если левый конец закреплен, а на правом конце имеется диск, получим прежнее трансцендентное уравнение

pL PW р7pi *”1 ci Iо

Если оба конца вала закреплены, то граничные условия будут X = 0 при х = 0 и х = /.

121