книги / Основы прикладной теории упругих колебаний

соответственно равные —су и —cz. Проекции сил инерции диска изображены на отдельных схемах (рис. 77, б—-г): проекции си­

лы инерции относительного движения —ту и — mz; проекции силы инерции переносного движения тару и та>22 ; проекции ко­

риолисовой силы 2mtdz и —2тсау. Уравнения движения диска

Подставив выражения (278) в уравнения (277), получим

Эта однородная система имеет отличные от нуля корни толь­ ко в том случае, если равен нулю определитель, составленный из коэффициентов системы

т. е.

[(р2 — ш2) — Я2]2 — (2шЯ)2 = 0.

Отсюда находим два корня для Я2:

= (р + °>)2; AJ = (р — со)2.

Подставляя поочередно каждый из этих корней в любое из уравнений (279), можно найти отношение между амплитудами ai и я2. Первому корню отвечает равенство а\ —а2, а второму а{ = —а2.

Поэтому общее решение системы (277) должно записывать­

162

Постоянные Ль Аг, ai и аг определяются начальными условия­ ми движения.

Таким образом, всякое возмущение приводит к упругим ко­ лебаниям с постоянной амплитудой; это может служить свиде­ тельством устойчивости невозмущенного состояния равновесия как при (о < р, так и при © > р (случай со = р пока исключен из рассмотрения). Полезно заметить, что частоты обоих колебаний со -f р и со — р отличаются от собственной частоты колебаний невращающейся системы.

Втом особом случае, когда со —р, одна из частот обращается

внуль и соответствующая составляющая движения перестает носить колебательный характер; это сви­ детельствует о неустойчивости невозму­ щенного состояния равновесия.

Пусть в текущий момент времени груз находится на расстоя­ нии у от оси вращения. При записи дифференциального уравне­ ния относительного движения груза необходимо учесть силу упругости —су и силу инерции переносного движения ты2у; та­ ким образом, получаем

— су А- ттРу = ту,

'« + Ц - « * ) у = ° -

Из этой записи уравнения непосредственно видно, что при со2 <

< — движение будет представлять собой колебания

т

у = a sin

т

163

6*

Поскольку возмущенное движение представляет собой колеба­ ния с постоянной амплитудой, постольку невозмущенное состоя­ ние равновесия груза (на оси вращения) следует считать устой-

чивым.

Обратимся теперь к случаю, когда

>—

m

При этом решение дифференциального уравнения (280) при­ обретает вид _______

т. е. движение носит характер апериодического ухода системы от начала координат. Это означает, что в данном случае невозмущеиное состояние равновесия неустойчиво.

Окончательно можно заключить, что рассматриваемая систе­ ма устойчива только при угловых скоростях, меньших, чем собст­ венная частота колебаний невращающейся системы. Напомним, что диск на валу (см. рис. 74) устойчив при любых значениях уг­ ловой скорости со, отличных от значения а>Кр, как при со < (£>кр, так и при со > сокр; в этом и состоит основное различие между си­ стемами .на рис. 74 и 78.

Устойчивость системы на рис. 74 при со > сокр объясняется относительным движением в направлении оси z и связанными с этим движением кориолисовыми силами, действующими вдоль оси у.

Гироскопический эффект

Выше рассматривался случай, когда вращающийся диск все время остается в одной плоскости. Это имеет место, например, для двухопорной схемы вала с диском, расположенным посреди­ не между опорами, и является прямым следствием симметрии. Однако в большинстве случаев плоскость диска меняет свою ори­ ентацию в процессе движения; при этом возникают специфиче­ ские явления, которые называют гироскопическими.

Прежде всего рассмотрим вспомогательную задачу о враще­ нии твердого тела, состоящего из тонкого диска и вала, вокруг оси АА\, которая составляет малый угол а с осью вала (рис. 79, а); угловая скорость вращения равна со, а расстояние А от центра диска О до оси вращения постоянно.

164

При этом движении любая точка диска описывает круговую траекторию, радиус которой г равен расстоянию от точки до оси АА\; соответственно этому элементарная масса dm развивает центробежную силу оo2rdm.

Свяжем с центром диска О оси подвижной координатной си­ стемы ху. Центробежная сила aPrdm параллельна плоскости ху и может быть разложена на составляющие (а2(х + A)dm (парал­ лельно оси х) и aPydm (параллельно оси у). Приводя совокуп­

ность всех центробежных сил к центру О, получаем составляю­ щие главного вектора сил инерции

Рх — J ш2 (x -f- A) dm —тшаА;

( т )

Ру = f (o2ydm —О,

( т )

т. е. главный вектор сил инерции направлен вдоль оси х и не имеет составляющих вдоль других осей.

Обратимся к определению моментов сил инерции относи­ тельно осей х и у. Точка приложения элементарной центробеж­ ной силы расположена на расстоянии ах от плоскости ху.

165

Поэтому моменты этих сил относительно указанных осей

Теперь можно обратиться к основной задаче. Обычно пере­

бтт — прогиб вала в месте расположения диска от единичной центробежной силы;

баг — прогиб вала в месте расположения диска от единичного момента;

баг — угол поворота плоскости диска от единичной центро­ бежной СИЛЫ (баг = б га ) ",

баа — угол поворота плоскости диска от единичного момента. При помощи единичных перемещений можно записать полные

166

или

/* (1 иШкр8гг) “Ь / у^крЬгаР- — 0 ;

(282)

ГГШРкрЬаг ~Ь" ОС (1 — Iу<йкрЬа.а) = 0 .

Полученные два алгебраических уравнения относительно не­ известных (прогиба г и угла а) однородны; поэтому чтобы пере­ мещения г и а не были равны нулю, необходимо равенство нулю определителя:

(283)

составленного из коэффициентов системы уравнений (282). Раз­ вернув определитель, получим биквадратное уравнение для кри­ тической угловой скорости

ской угловой скорости. Если действительная угловая скорость отличается от со*Р, то определитель, составленный из коэффици­

Для дальнейшего исследования удобно ввести безразмерные параметры

Тогда вместо уравнения (285) получим К *+ « ( - 1 - 3 ) - ^ = о,

т. е.

К —2 3

167

(отрицательный знак перед корнем опущен, как приводящий к физически невозможному результату). На рис. 81 представлен график зависимости К = K(D). Предельными являются случаи D = 0 (отсутствие инерции поворота диска) и D -> -^ (бесконеч­ но большая инерция поворота диска); в первом из этих случаев

кость вращения.

Пример 17. На конце консоли двухопорного вала (рис. 82) находится тонкий диск диаметром 0,6 а (а — пролет вала); долина консоли равна 0,5 а. Определить критическую угловую скорость вращения вала с учетом гироско­ пического эффекта.

Прежде всего находим единичные перемещения

Если не учитывать гироскопического влияния, то по элементарной формуле получим

Таким образом, гироскопический эффект повышает критическую скорость почти на 7%. Увеличение критической скорости есть результат повышения жесткости системы вследствие сопротивления д и ск а изменению плоскости вра­ щения.

168

Критические скорости вращения вала, сечение которого имеет различные главные моменты инерции

Рассмотрим случай, когда сечение вала имеет различные глав­ ные моменты инерции (вал со шпоночными канавками или сня­ тыми лысками, вал ротора двухполюсной электрической машины с продольными вырезами для обмотки и т. д.). Положим, что на­ чальный эксцентрицитет отсутствует, и не будем принимать во внимание гироскопический эффект; эти упрощения позволят наи­ более четко определить влияние основной особенности — разли­ чия изгибных жесткостей вала. Угловые скорости вращения вала и диска будем считать одинаковыми и неизменными во времени; как указывалось выше, это может быть обеспечено надлежащим изме­ нением внешнего вращающего мо­ мента.

Воспользуемся прежним спосо­ бом рассуждений и рассмотрим воз­ мущенное положение сечения, пока­ занное на рис. 83. Здесь необходим более определенный выбор вращаю­ щейся координатной системы. При рассмотрении схемы на рис. 77 ука­ зывалось, что координатная система

ху вращается с той же угловой скоростью ©, что и диск; сейчас дополнительно отметим, что оси у и z выбраны параллельно главным осям инерции сечения вала (1—1 и 2—2). Параллель­ ность будет сохраняться все время, так как угловые скорости вращения диска и системы координат одинаковы. В таком слу­ чае уравнения движения диска будут иметь вид уравнений (276), но вместо жесткости с придется иметь дело с двумя жесткостями Ci и Сг, различными для осей /—1 и 2—2. Тогда получим систему

Наибольший интерес представляет основной вопрос — при ка­ ких угловых скоростях вращения ш имеет место критическое со­

169

стояние. Из рассмотрения системы (288) можно заключить, что критические состояния соответствуют угловым скоростям « = р\ и со = р2. В первом случае возможно решение у = const и z = О, а во втором случае у = 0 и z — const. Оба решения определяют критическое состояние, поскольку изгиб вала сохраняется при от­ сутствии начального эксцентрицитета е.

Остается пока неясным, каким будет состояние вала при уг­ ловых скоростях (о, лежащих в интервале [pj, р2]. Докажем, что критические состояния соответствуют всему этому интервалу.

Решение системы уравнений (288) ищем в форме

т. е.

А4 + А2(р2 + pi + 2ш2) — (р2 — to2)(р\ —ш2) = 0.

Решив это биквадратное уравнение, получим два действи­ тельных корня для А2:

Поэтому все корни АД/ = 1, 2, 3, 4) — чисто мнимые или дей­ ствительные. Мнимым корням соответствует колебательное дви­ жение с постоянными амплитудами, а отрицательным действи­ тельным корням — апериодический затухающий процесс. Одна­ ко, если имеется положительный корень А, то с течением времени смещения у и z будут стремиться к бесконечности, т. е. исходный режим неустойчив.

Но для положительности одного из корней необходимо, что­ бы выполнялось неравенство

Возводя обе части неравенства (290) в квадрат и приводя по­ добные члены, получим

(со2 — р2) («)2 — р2) < 0.

170

Это неравенство удовлетворяется, если (о лежит в пределах Р\ ^ ю ^ р2, что и доказывает неустойчивость вала в указанном интервале угловых скоростей вращения.

Из сказанного вытекает, что различие жесткостей Су и с2 вы­ зывает увеличение опасности наступления критических состояний.

Влияние веса диска при горизонтальном расположении вала

Если ось х вала на рис. 83 горизонтальна, то при составлении уравнений движения необходимо учесть также силу веса, проек­ ции которой соответственно равны —mg sin о>/ и —mg cos со/. Тог­ да вместо уравнений (286) получим

—сгу — ту + тш2у + 2ти>г— mg sin Ы= 0;

—c2z — mz + nmh — 2mcog— mgcos ш/ = 0.

Заменив Су и с2 по формулам (287), приходим к неоднородной системе уравнений

которая отличается от системы (288) наличием правых частей. Общее решение системы (291) состоит из суммы решения одно­ родной задачи (288) и частного решения уравнений (291). Реше­ ние однородной задачи (289) обнаруживает критическое состоя­ ние во всем интервале [pi, р2]. Рассмотрим частное решение си­ стемы (291), которое позволит выяснить еще одну возможность критического состояния. Примем частное решение в форме

к неоднородной системе алгебраических уравнений для амплитуд

а.\и а2:

—си0)2 + (р? — ш2) ay -f 2а2о)2 = — g;

—а2а>2— (pi — ш2) а2 -f- 2ai<n2 = — g.

Решив систему, получим

p i — 4ю2

ai = — g

p \p l — 2ш2 (р? + Р%)

— 4Ц>2

а2 = — g

р?р| — 2ю2 (р| + р|)

171