книги / Основы прикладной теории упругих колебаний

была значительно меньше измеряемой частоты. Кроме того, для точной работы вибрографа его масса должна быть значительно меньше массы колеблющейся конструкции, иначе установка виб­ рографа изменит колебательные свойства исследуемой системы (то же относится и к частотомерам).

Тот же принцип использован в торсиографах — приборах для записи крутильных колебаний (рис. 109, б). На ось 1 прибора свободно насаживается тяжелый маховичок 2. Маховичок и ось

мерно вращается со средней угловой скоростью вала. Колебания оси прибора по отношению к маховичку передаются записываю­ щему перу при помощи рычажной системы.

Ввиду ряда недостатков рычажной системы записывающего устройства в современных приборах инерционного действия это устройство заменено электрическим. Механические колебания преобразуются в электрические колебания; последние после не­ обходимого усиления измеряются или записываются (при помо­ щи осциллографа). Однако основной принцип — наличие инер­ ционного элемента на упругом (и обычно несколько демпфиро­ ванном) подвесе — остается и в этой схеме.

Виброщупы. Схема виброщупа (называемого также ручным вибрографом) показана на рис. 110.

Если в стационарном вибрографе неподвижным является пе­ ро, а подвижным корпус, с которым связано движение ленты, то в ручном вибрографе движется перо 1, следуя за колебаниями упорной иглы 3; корпус прибора 4 удерживается рукой и ввиду малой жесткости пружины 2 может считаться неподвижным. Хотя при работе вибрографа неизбежны некоторые перемещения корпуса, однако в полученной записи эти колебания корпуса мо­ гут быть легко выделены, так как они заметно отличаются от основных колебаний своим относительно большим периодом.

Пружина 2 обеспечивает следящее движение упорной иглы. Для исправной работы прибора необходимо, чтобы сила сжатия

212

пружины Р могла обеспечить контакт конца иглы и колеблюще­ гося объекта. При недостаточном сжатии пружины контакт на­ рушится, когда колеблющаяся деталь начнет двигаться в об­ ратную сторону (от иглы). Ускорение этого движения равно (при гармонических колебаниях) аш2, где а — амплитуда исследуе­ мого колебания; для непрерывности контакта необходимо, что­ бы сила начального сжатия пружины Р обеспечивала не меньшее ускорение иглы. Обозначив через т массу иглы и связанных

сней частей прибора, приходим к условию

—^>Ш)а

т

или

Р/яасо2.

Пример 22. Определить необходимую силу начального сжатия пружины ручного вибрографа, предназначенного для записи колебаний с амплитудой до 0,6 см и частотой до 600 сек-1; вес иглы и движущихся частей 0,05 кг.

Масса подвижной части

m = — кГсекг*см~1.

Датчики динамического давления. Рассмотрим принцип дейст­ вия динамометрического индикатора (рис. 111), служащего для записи давления в цилиндре порш­ невого двигателя. Цилиндр индика­ тора 1 сообщается с цилиндром дви­ гателя; движение поршня индикато­ ра 2 под действием переменного давления записывается (с увеличе­ нием масштаба) на движущейся ленте 3.

Условием точности описанных вибрографов и торсиографов явля­ ется относительно малая жесткость пружины; условием же правильной работы индикатора является проти­ воположное свойство — большая жесткость его пружины. В самом де­ ле, для того чтобы запись переме­

щения х можно было читать как запись давления q, желательна прямая пропорциональность q их, как если бы давление q было статическим. Как было указано выше, сила может считаться при­ ложенной статически, если продолжительность ее нарастания велика сравнительно с периодом свободных колебаний поршня.

213

В рассматриваемом случае быстрого изменения давления это выдвигает условие малости периода свободных колебаний, т. е. большой жесткости пружины индикатора.

Если нарастание давления происходит в течение времени по линейному закону, то относительная ошибка показаний опреде­ ляется по формуле (342).

Пример 23. Определить относительную ошибку показаний индикатора при следующих данных: время нарастания давления до наибольшего значения t = и,1 сек; площадь сечения цилиндра индикатора F = 1,6 см2; приведенный вес подвижных частей индикатора 60 г. Известно, что при статическом давле­ нии 2 ат конец стрелки индикатора перемещается на 0,5 см; передаточное чи­ сло рычажной системы i «= 4.

Найдем жесткость пружины индикатора с. При давлении 2 ат сила сжатия пружины 2 •1,6 = 3,2 кГ, а деформация пружины 0,5 : 4 = 0,125 см.

Следовательно,

3 2

с = , , ■= 2 5 ,6 кГ/см.

0,125

Масса подвижных частей

тп= 0,06 = 0,0000 612 кГсек2/см. 981

Собственная частота колебаний прибора

Период собственных колебаний

2л Т = = 0,0097 сек.

646

Относительная ошибка показаний прибора

0,0097 : 2 - 0,1 = 0 ,04 8 5,

т. е. менее 5%.

Принцип виброизоляции

Для изоляции источников колебаний от примыкающих эле­ ментов конструкции вводятся амортизаторы. Защиту основания от действия возмущающих сил называют активной виброизоля­ цией (рис. 112, а), а защиту от кинематических возмущений — пассивной (рис. 112, б). Первый вид виброизоляции применяется при установке различных неуравновешенных двигателей; второй тип служит для защиты конструкций, прикрепляемых к колеблю­ щемуся основанию, или средств транспорта (автомобилей, же­ лезнодорожных вагонов и т. д.).

Втеории активной виброизоляции основным является вопрос

осиле, передаваемой основанию; в теории пассивной виброизо­ ляции — вопрос об амплитудах тех колебаний, в которые вовле* кается амортизируемый объект. Ввиду того, что рациональная

214

установка предполагает значительное удаление от резонансных режимов, допустимо основной расчет виброизоляции вести без учета сил неупругого сопротивления. Одновременно нужно иметь в виду, что для оценки -опасностей, возникающих при переходе через резонанс (при разгоне или постепенной остановке машины), эти силы обязательно должны учитываться.

Во всех случаях необходим расчет виброизоляции; примене­ ние виброизолирующих устройств без расчета не допускается.

Активная виброизоляция. Ес­ ли возмущающая сила имеет гар­ монический характер и конструк­ ция лишена затухания, то соглас­

но формуле (349) наибольшая сила, передаваемая основанию,

Отсюда видно, что эффективность активной виброизоляции определяется малостью динамического коэффициента ц. Соглас­ но действующей «Инструкции по проектированию и расчету виб­ роизоляции машин с динамическими нагрузками и оборудования, чувствительного к вибрациям» требуется, чтобы динамический коэффициент не превосходил значения Vis (этому соответствует отношение частот <в : р > 4) *. Для этого необходимо соответст­ венно малое значение собственной частоты р, что может быть до­ стигнуто путем уменьшения жесткости установки машины, а так­ же путем увеличения колеблющейся массы.

С этой целью под корпус изолируемой машины (или под жесткий постамент, на котором укрепляется машина) вводится система упругих связей (виброизоляторов) обычно в виде сталь­ ных пружин или резиновых элементов. Применяются принципи­ ально равноценные варианты установки: опорный вариант, ког­ да виброизоляторы располагаются под постаментом машины (рис. 113, а), и подвесной вариант, когда виброизоляторы распо­ лагаются выше подошвы постамента; в последнем случае воз­ можна работа виброизоляторов на сжатие (рис. 113, б) или ра­ стяжение (рис. 113,в).

* При активной виброизоляцин сравнительно тихоходных машин

(о )< 5 0 сек~1) разрешается, как исключение, принимать ц < — .

О

215

Если в изолируемой машине преобладают горизонтальные возмущающие силы, то, кроме указанных способов, можно ис­ пользовать маятниковую подвеску (рис. 113, г) ; путем примене­ ния длинных подвесок может быть достигнуто весьма малое зна­ чение собственной частоты и существенный эффект виброизо­ ляции.

Машина

Смягчение подвески нужно производить лишь в направлении действия возмущающей силы (или пары). Так, например, при работе однофазных электродвигателей развивается переменный крутящий момент. Поэтому для виб­ роизоляции податливой должна быть связь, соответствующая пово­ ротам статора; в то же время, если на валу имеется зубчатое колесо, то для нормальной работы зубчатой передачи необходимо обеспечить вы­ сокую жесткость при вертикальных

и горизонтальных перемещениях. Рациональный вариант подвески

такого электродвигателя показан на рис. 114. Опорой подшипника служит стальная полоса, изогну­ тая так, чтобы оси наклонных участков пересекались на оси ва­ ла. При всяком вертикальном или горизонтальном перемещении такая опора оказывается весьма жесткой (наклонные участки работают на растяжение — сжатие и деформируются мало), тог­ да как при поворотах статора эта опора относительно податли­ ва (наклонные участки работают на изгиб и легко деформиру­ ются) .

По тем же соображениям в подвеске автомобильного двига­ теля создается малая жесткость при упругих поворотах вокруг продольной оси и значительно большая жесткость в других на­ правлениях, перпендикулярных к этой оси.

216

Следует иметь в виду, что при виброизоляции тихоходных машин (когда. частота возмущения невелика) может потребо­ ваться весьма малая собственная частота и соответственно труд­ но осуществимая большая податливость амортизаторов. Для преодоления этой трудности в подобных случаях искусственно увеличивают колеблющуюся массу. Этим достигается двойной эффект: во-первых, уменьшается собственная частота, а во-вто­ рых, сохраняется достаточная жесткость системы.

Пассивная виброизоляция. Как указывалось выше, пассивная виброизоляция применяется для защиты приборов и точных ма-

должна быть использована та же идея смягчения подвески, как при активной изоляции. Обычно требуется, чтобы собственная частота изолируемого объекта не превосходила частоты коле­ баний основания.

Если частота возмущения не фиксирована, в системе под­ вески совершенно необходимы неупругие сопротивления. Так, неровности автомобильной дороги могут носить характер сину­ соиды, длина волны которой может изменяться в весьма широ­ ких пределах. Поэтому существует реальная опасность того, что кузов движущегося автомобиля может оказаться в состоянии резонанса; для ограничения резонансных амплитуд в конструк­ цию подвески автомобиля всегда вводят гидравлические амор­ тизаторы, обеспечивающие значительное рассеяние энергии при колебаниях (рис. 115, а). Изображенная система амортизации автомобиля имеет свой недостаток: она не обеспечивает доста­ точной комфортабельности езды при резких ударах, которые поч­ ти без смягчения (если не считать пневматиков) передаются ку­ зову. Для достижения необходимой мягкости подвески возможно устройство подвески по схеме, показанной на рис. 115, б с допол­ нительным гибким элементом.

Действие двух гармонических сил с близкими частотами; биения

Если система с одной степенью свободы испытывает действие двух различных гармонических возмущающих сил, то вследствие ее линейности суммарный эффект может быть определен путем

217

сложения эффектов, вызываемых каждой из сил. Так, возмущаю­ щая сила вида

Р = Р1sin о)^ + Р2sin (ozt

вызовет сложные колебания

Если частоты coi и © 2 близки одна к другой, то суммарное движение принимает своеобразный характер и называется бие­ ниями (рис. 116, а). Особенностью биений является периодиче­ ское изменение амплитуды.

у л

Для анализа этого явления преобразуем сначала решение (352) следующим образом:

218

напишем предыдущую формулу в виде

ИЛИ

^ = K 6 f + 6 b in ( - ^ i± ^ .i+ a j i

где

b2

Подчеркнем, что ввиду близости 0 1 и ш2 величины Ьи Ъ2 и а меняются медленно. Таким образом, движение можно описать выражением

x = asin(© H -a),

а — Y^2\+ Ц — медленно меняющаяся амплитуда колеба­ ний;

a — медленно меняющаяся фаза.

Итак, движение будет носить почти синусоидальный харак­ тер, причем амплитуда колебаний а есть медленно меняющаяся функция времени. Период изменения амплитуды а (период бие­ ний) составляет

гр 2я

аЩ—©а •

Так как разность ©i — © 2 мала, то период Та значительно больше периода колебаний

©1 “Ь ©2

Биения могут возникнуть и при действии одной возмущающей силы Posin©/ вблизи резонанса, когда частота © близка к соб­ ственной частоте р. Из решения (346) видно, что в данном случае колебания состоят из двух гармоник с близкими частотами © и р. Преобразования, подобные выполненным выше, приводят к вы­ воду, что и здесь суммарные колебания носят синусоидальный характер с переменной амплитудой. Однако в данном случае этот процесс не является стационарным; свободные колебания вследствие затухания постепенно исчезают, и остаются только вынужденные колебания, так что биения прекращаются (рис. 116, б).

219

Действие произвольной периодической возмущающей силы (способ разложения на гармонические составляющие)

В практических приложениях часто встречаются периодиче­ ские возмущающие силы более сложного характера, чем рас­ смотренные выше.

Так, на рис. 117, а показан закон изменения крутящего момента, создаваемого четырехтактным двигателем внутреннего сгорания. Другой пример (периодические «безмассовые» удары) показан на рис. 117, б.

Силы (моменты) рассматриваемого вида имеют четко выра­ женный период колебаний Т, но не описываются единым анали-

Рис. 117

тическим выражением. В подобных случаях чаще всего пользу­ ются разложением периодической силы в ряд Фурье. При этом сила представляется в виде суммы гармонических составляющих, а затем определяется эффект, вызываемый каждой из составляю­ щих; после этого полученные частные эффекты суммируются.

Периодическую силу P(t) можно представить в виде ряда Фурье

Р (t) = а0 + агcos <nt+ а2 cos 2©/ + . . .

... + ^sincot + 6asin©^-f . . . ,

2я где со = — — основная частота возмущения.

Коэффициенты а и b вычисляются при помощи известных формул:

Т

а"=т 1 Р(ЧЛ;

о

220

J P (t) sin 2cotdt;

Опираясь на решение (348), полученное для одной гармони­ ки, найдем

Это решение состоит из постоянного слагаемого а0: с (соот­ ветствующего среднему значению возмущающей силы) и ряда гармонических колебаний с частотами со, 2а>, .... Если собствен­ ная частота совпадает с частотой какой-либо одной гармоники псо (п = 1, 2,...), то соответствующее слагаемое в формуле (353) стремится к бесконечности.

Следовательно, в общем случае периодической возмущающей силы резонанс наступает не только, когда собственная частота р равна основной частоте возмущающей силы <в, но и когда р крат­ но со (в некоторых частных случаях в формуле (353) пропадают некоторые слагаемые и резонанс наступает не при любой крат­ ности].

Рассмотренный способ отчетливо выявляет, при каких усло­ виях возникает резонанс. Недостатком этого способа является сложность вычислений, необходимых для учета весьма большого числа слагаемых в выражении (353). Так, возмущающую силу, показанную на рис. 117, а, для достаточной точности приходится заменять примерно десятью гармониками.

Действие периодических импульсов (замкнутая форма решения)

Исследуем действие периодических импульсов (рис. 117, б), считая длительность каждого из них исчезающе малой.

Рассмотрим какой-либо один из периодов Г, принимая нача* ло отсчета времени в конце действия предшествующего импульса (например, в мгновение to на рис. 117, б). Обозначим перемеще­

221