книги / Основы прикладной теории упругих колебаний

Введя прежнее обозначение р2 = с: т, перепишем уравнение (322) в форме

Это решение представляет собой сумму, составленную из ре­ шения соответствующего однородного дифференциального урав­ нения

хх= Схsin pt + С2cos pt

ичастного решения заданного дифференциального уравнения (324):

Как видно, наибольшее значение х составляет хШат = — ■, т. е.

с

вдвое больше перемещения, вызываемого статически приложен­ ной силой Р = 1.

192

К той же стандартной форме (323) можно привести задачу о вынужденных колебаниях, вызываемых кинематическим спосо­ бом (т. е. при «кинематическом возбуждении»). Чтобы пояснить это, вновь рассмотрим ту же одномассовую систему, но предпо­

что ©новь приводит к стандартной форме (323).

В теории автоматического регулирования для задач рассмат­ риваемого типа пользуются специальной терминологией (кото­ рая иногда встречается и в литературе по теории колебаний):

Общее решение стандартного уравнения

Метод вариации произвольных постоянных. Решение неодно­ родного уравнения (323) следует искать в виде суммы решения соответствующего уравнения без правой части (т. е. уравнения свободных колебаний) и какого-либо частного решения задан­ ного уравнения (323). Вместо того, чтобы в каждом конкретном случае подбирать частное решение, соответствующее заданному виду правой части, лучше воспользоваться общим методом ва­ риации произвольных постоянных. Это позволит получить ре-

зультат, годный для любых законов изменения возмущающей силы.

Идея этого метода состоит в том, что частное решение задан­ ного уравнения (323) разыскивается в виде

соответствующем однородному уравнению. Однако в данном слу­ чае величины Ci и С2 следует считать не постоянными, а пере­ менными. Таким образом, задача определения функции x(t) за­ меняется задачей определения двух функций C\(t) и С2(0 - Так как в нашем распоряжении имеется только одно уравнение (328), функции Ci и С2 можно связать еще одной произвольной зави­ симостью.

Составим выражение скорости

х = Ci рcos pt — С2 р sin pt + Ci sin pt -f- C2 cos pt

и свяжем Ci и C2 соотношением

Тогда скорость запишется в более простой форме

х = Сгрcos pt — С2р sin pt.

Теперь найдем ускорение

х —— Схр2 sin pt — С2р2cos pt Сх р cos pt — C2p sin pt. (330)

Подставив выражения (328) и (330) в уравнение (323), по­

где Вi и B2— постоянные.

Обозначение х введено для того, чтобы отличить время, ме­ няющееся в процессе интегрирования (от нуля до /)» от верхнего

194

Внося sin pt и cos pt под знаки интегралов и объединяя по­ следние, получим общее решение задачи

t

х — Вхsin pt + В2 cos pt -[— -— Г Р (т) sin р (t —т) dx.

тр J

Соответственно для скорости получим t

Значения постоянных Bx и B2 могут быть определены лишь после того, как указаны начальные условия движения. Если при

Здесь первые два слагаемых выражают свободные колебания, порожденные начальными возмущениями х0 и v0, а последнее слагаемое — вынужденные колебания, вызываемые возмущаю­ щей силой.

В случае нулевых начальных условий, когда движение начи­ нается при х0 = 0 и Vo = 0, получим

t

этой основной формулой будем пользоваться в дальнейшем. Ниже будет также необходима другая форма решения, ко­

торую получим, интегрируя решение (335) по частям.

Если в начальное мгновение сила Р{0) = 0, то решение при­ нимает вид

t

где хст= P(t) — переменное «статическое» перемещение, вычис-

с

ляемое в предположении, что сил инерции нет.

Получение общего решения путем наложения влияний эле­ ментарных импульсов. Для того чтобы отчетливее выявить фи­ зическую сущность выражения (335), рассмотрим сначала свободные колебания груза на упругой связи, вызываемые единичным мгновенным импульсом 5 = 1; пусть этот импульс прикладывается в мгновение х.

Немедленно после исчезновения импульса перемещение гру­ за еще отсутствует: х(х) = 0, однако на основании закона о ко­ личестве движения вследствие приложения импульса груз мгно­

венно приобретает скорость v (т) = — .

ш

Этими формулами определяются начальные условия свобод­ ных колебаний, которые будут происходить при t > т. Использу­ ем эти условия; для этого в правые части выражений перемеще­ ния и скорости

х = a sin {pt + ос); v = x = ap cos {pt -J- a)

196

где п — номер последнего импульса, предшествующего мгно­ вению t.

Графическая интерпретация интеграла, входящего в формулу (335), была дана И. М. Рабиновичем [51].

Получение общего решения путем налооюения влияний эле-

ментарных толчков. Произвольно заданную силу Р(т) можно представить в виде суммы бесконечной последовательности толч­ ков (рис. 99, б) .

Прежде всего выделим начальный толчок, соответствующий начальному значению силы Р(0); его действие, согласно выра­ жению (326), представляется в виде

следовательность бесконечно малых толчков P{x)dx, каждый из них вызывает движение, описываемое тем же выражением (326),

умноженным на значение толчка P(x)dx.

Суммарное действие всей последовательности элементарных толчков определяется интегралом

Складывая выражения (339) и (340), окончательно находим прежний результат (336), который ранее был получен путем чи­ сто формальных преобразований.

Кинематическое возмущение

Вернемся к случаю, показанному «а рис. 98, когда вынужден­ ные колебания являются результатом движения точки крепле­ ния упругой связи. Согласно соотношению (327) при колебани­ ях точки крепления упругой связи по закону f(t) груз колеблет­ ся так, как если бы на него действовала возмущающая сила

P (t)= cf{t).

Это соотношение позволяет использовать все полученные вы­ ше результаты. Основное решение (335) перепишем в виде

t

х — р^ f (т)sinр (t — т )dx.

о

198

Аналогично вместо формулы (336) получим [при /(0) = 0]

Некоторые случаи непериодического возмущения

Действие линейно возрастающей силы (рис. 100, а). Восполь­ зуемся выражением (337), полагая P(t) — а:

X — ХСг----- — sin pt.

ср

График движения показан на рис. 100, б. Перемещения на­ растают по сложному закону, представляющему собой сумму

Ряс. 101

синусоиды и линейной функции. Дополнительное синусоидаль­ ное колебание тем существеннее, чем быстрее нарастает си­

ла Р (т. е. чем больше а).

Колебания подрессоренного груза при движении по неровной дороге (рис. 101). Примем, что профиль дороги задан уравне­

нием

z = h(1 — e-v*),

где h — предел, к которому стремится высота профиля;

у — параметр, характеризующий кривизну профиля.

199

Обозначим буквой G вес груза, а буквой v — горизонтальную скорость его движения и примем начало отсчета времени в мгно­ вение, когда опорная точка проходит начало 'неровности. Тогда х — vt и движение опорной точки по вертикали определится за­

коном

f(t) = h( \ -e -W ).

Дифференцируя, находим

f (0 = Yvhe~ivt.

Пользуясь формулой (341), получим закон движения груза по вертикали

z = f (t) — ^ yvhe-vvtcos p(t — x) dx. b

Так как важно не абсолютное изменение положения груза, а его колебания относительно опорной точки, то рассмотрим раз­ ность, определяющую дополнительную деформацию пружины

z* = z(f) — f(t) = — I* yvher-w* cos p (t — x) dx.

b

Интегрируя, находим

z* = hcos a [e~vvtcos <x — cos (pt — a)],

где a определяется соотношением

Отсюда видно, что при весьма малой скорости параметр a стремится к — и разность z — f — к нулю. Наоборот, при весь-

ма большой скорости (а также при весьма большом значении па­ раметра у) параметра а стремится к нулю и колебания прибли­ женно описываются законом

z* = h (e~vvt — cos pt).

Дальнейший анализ позволит найти максимальное значение разности z *, ускорения и т. д.

Действие медленно изменяющихся сил. Рассмотрим полу­ ченное выше решение задачи о вынужденных колебаниях (337). Первое слагаемое представляет статическое отклонение, вызы­ ваемое силой P(t). Второй член этой формулы представляет по­ правку к статическому отклонению. Как видно, поправка зависит

от скорости изменения силы P(t) .

При малой скорости нарастания внешней нагрузки динами­ ческая поправка к статическому решению относительно мала и нагружение практически можно рассматривать как 'татическое.

200

А. Н. Крылов [37] дал оценку динамической поправки для об­ щего случая возмущающей силы. Если кривая P(t) имеет один максимум (рис. 102, а), то, обозначив максимальное значение

P(t) через Ртах (рис. 102, б), имеем

- jp (T )cosp (£ — x)dx <" РтахТ

Произведение max* представляет максимально возможное

приращение возмущающей силы за промежуток времени, равный полупериоду свободных колеба- р^.

ний; обозначая это произведение через ДРщах (рис. 102), получим

X -Р Ч~ Д-Ршах

стью действия силы, она может считаться медленно изменяющей­

ся, а ее действие можно рассчитывать без учета динамичности, т. е. считать силу приложенной статически.

Действие быстро исчезающих сил. Обратимся теперь к слу­ чаям, когда возмущающая сила действует в течение весьма ко­ роткого промежутка времени. Даже весьма значительная нагруз­ ка может оказаться безопасной, если длительность ее действия мала сравнительно с периодом свободных колебаний системы.

Рассмотрим действие силы Р, которая внезапно приклады­

201