книги / Основы прикладной теории упругих колебаний

ной на рис. 128, б,— два (абсциссы ах и а2), а для прямой, пока­ занной на рис. 128, а,— три корня (абсциссы аь а2 и а3). Изме­ нение значений этих корней при постепенном увеличении часто­ ты о показано на рис. 129, а. Конечно, полученные кривые i, II и III представляют собой только приближенное решение задачи, но дают качественно верное представление об изменении ампли­ туды вынужденных колебаний при различных частотах <о.

Можно заметить следующие особенности процесса вынужден­ ных колебаний в рассматриваемой нелинейной системе:

при достаточно высоких частотах ш решение становится неоднозначным; одному и тому же значению частоты со могут соответствовать три значения амплитуды;

амплитуда колебаний всегда оста­ ется ограниченной даже при отсутст­ вии неупругих сопротивлений.

Зависимость между амплитудой свободных колебаний и собственной частотой той же нелинейной системы изображена в виде кривой IV на рис. 129, б.

Для построения этой кривой может быть использовано графи­ ческое решение, 'подобное показанному на рис. 128; в данном случае нужно положить PQ= 0 и искать точки пересечения кри­ вой F(a) и прямой z = тр2а, проходящей через начало коорди­ нат (рис. 130). Каждому значению частоты соответствует одно значение амплитуды. Точка р0 (рис. 129, б) соответствует случаю исчезающе малых амплитуд колебаний. Кривая IV амплитуд свободных колебаний является скелетной линией, разделяющей две ветви амплитуд вынужденных колебаний.

Кривые, данные на рис. 129, типичны для систем с жесткой характеристикой (т. е. систем с постепенным увеличением жест­ кости) . Если система имеет мягкую характеристику (когда жест­ кость уменьшается при росте х), то скелетная кривая оказы-

242

вается искривленной влево; соответственно искажаются и кри­ вые амплитуд вынужденных колебаний.

Дополнительные исследования могут показать, что корням а2 соответствуют неустойчивые решения. В связи с этим при изме­ нении частоты амплитуды а меняются так, как показано на рис. 131.

Сначала, при постепенном увеличении частоты to, амплитуды также увеличиваются, следуя ветви /. Если, начиная с какой-ли­ бо частоты мь частота уменьшается, то происходит «срыв» ам­ плитуды на ветвь 111 (точки k и

k') и затем медленное возраста­ ние амплитуд до точки k". При последующем уменьшении часто­ ты в точке k" амплитуда резко увеличивается (точка к?" на вет­ ви /) и затем постепенно умень­ шается по кривой /.

Если же после срыва с ветви / на ветвь III продолжать увеличи­ вать частоту со, то изменение ам­ плитуд будет следовать кривой

III. Таким образом, малые колебания частоты около любого зна­ чения toi обязательно приведут изображающую точку в положе­ ние k'\ в этом смысле ветвь III отвечает более устойчивым реше­ ниям, чем ветвь I.

Изложенный путь четко выявляет общий характер процесса, но для получения достоверных количественных результатов не­ обходимы более точные способы, которые изложены ниже.

Метод Бубнова — Галеркина. Согласно этому методу необхо­ димо потребовать обращения в нуль интеграла, подобного (96а):

2~

0

j [mx0-{-F(x0) — P0 sin <at]x0dt—О,

о

подставляя сюда подходящую форму решения xQ{t). Например, приняв за такое решение выражение (379), получим

Зг.

0

J [— таш2 sin ш/ + F (a sin utf) — Р0sin atf] sin wtdt = 0.

о

Выполняя интегрирование, получим нелинейное алгебраи­ ческое уравнение для амплитуды колебаний а; в развернутой форме оно может быть записано после конкретизации вида ха­ рактеристики F(x). Общий характер решения соответствует уста­ новленному выше (см. рис. 129).

243

в котором величина р2 определяется так, как было пояснено вы­

Метод Дуффинга. В основе этого метода лежит прием исклю­ чения вековых членов, указанный М. В. Остроградским для за­ дачи о свободных колебаниях нелинейной системы. Следуя Дуф-

Решая далее это уравнение, несколько изменим ход рассуж­ дений, использованный Дуффингом; это изменение сделано в со­ ответствии с критическими замечаниями А. Н. Крылова по пово-

244

Постоянные С\ и С2 должны быть определены на данных вы­ ше начальных условиях; используя их, находим

Таким образом, гармоническая сила Ро sin Ы вызывает в не­ линейной системе не только колебания основного тона с частотой ш, но и колебания с более высокой частотой.

Для построения следующего приближения нужно подставить выражение (384) в правую часть уравнения (387). Далее, для исключения возможности появления векового члена необходимо вновь положить коэффициент при sin Ы равным нулю; это даст уточненное уравнение типа (388), связывающее частоту о и ам­ плитуду а и т. д.

При изложении этого метода Дуффинг (как и Рэлей) прини­ мал неизменной амплитуду колебаний основного тона, переходя от одного приближения к следующему; поэтому он получил связь частоты со не с полной амплитудой колебаний, а с амплитудой лишь первого тона. Приведенное решение исправляет этот недо­ статок.

Влияние вязкого сопротивления

Для качественной оценки влияния вязкого сопротивления на вынужденные колебания в нелинейной системе воспользуемся приближенным приемом, который был применен в случае отсут­ ствия неупругих сопротивлений. В данном случае естественно предполагать что колебания будут отставать от возмущающей

=a sin ast, принимая закон изменения силы в виде Р = A) sin (со^+

+а); так и сделано ниже, причем дифференциальное уравнение колебаний записывается так:

Потребуем, как и выше, чтобы уравнение (389) удовлетворя­ лось в моменты наибольших отклонений (a>t = nf2), когда sin©/ = 1. При этом

х —а; х = 0; х = — аш2;

sin (Ы+ а) = cos а

246

и дифференциальное уравнение (389) заменяется соотношением

Таким образом, для определения неизвестных а и а служат уравнения (391) и (392). Возводя эти уравнения в квадрат и складывая, исключим фазовый угол а и получим уравнение для искомой амплитуды

ется в нуль, и дальнейший рост амплитуд становится невозмож­ ным. Таким образом, значение амплитуды

а = -^ - k(D

является максимально возможным.

247

т. е. определяет скелетную кривую; на этой кривой и следует от* метить наибольшую амплитуду, определяемую уравнением (394).

На рис. 132, а показана кривая амплитуд с учетом сил затуханияу (сплошная линия) и кривая амплитуд без этого учета (штриховая линия). Процесс постепенного увеличения частоты ю приводит к изменению амплитуд в соответствии с рис. 132, б (сплошная линия); последующий процесс уменьшения частоты показан штриховой линией. В данном случае неизбежен срыв амплитуды (точка k) даже ври непрерывном увеличении часто­ ты © (ври отсутствии затухания этот срыв происходит только при уменьшении частоты <о).

21. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

Принципы решения

Общие замечания. Если внешние силы изменяются по перио­ дическому закону, то обычно их разлагают в тригонометрический ряд, т. е. представляют в виде суммы гармоник; далее, на осно­ вании принципа независимо­ сти действия сил, суммарное движение определяется как сумма движений, вызванных каждой из гармоник в от­

Рис. 133

дельности. При таком под­

ходе решение сводится к за­ даче о вынужденных колеваниях системы, вызываемых действием одной гармоники

возмущения Pi sin со^ (или Pi cos сot), здесь Pi — амплитуда воз­ мущающей силы, действующей по i-му направлению; ю — часто­ та возмущения, общая для всех сил, приложенных к различным точкам системы.

Решение этой основной задачи обычно ведут одним из двух способов: непосредственного решения или разложения по собст-. венным формам колебаний. Наибольшее распространение в рас­ четной практике получил второй способ. Можно использовать также способ разложения по собственным формам колебаний при сохранении заданного вида периодических нагрузок (т. е. без разложения их на гармонические составляющие).

Особенности каждого из этих способов проследим на простей­ шем примере двухмассовой системы (рис. 133).

Непосредственное решение. Предполагая, что внешняя нагруз­ ка разложена в тригонометрический ряд, исследуем движение системы, вызванное одной гармоникой возмущения. Силы, дейст-

248

вующие на каждую массу, обозначим через Рхsin со/ и P2sinco/. Случай, когда обе силы имеют одинаковую частоту, но разные фазы {Pi sin (со/ + ai), P2sin(co/ -f- a2)], рассмотрим ниже.

Записывая уравнения движения каждой из масс, получим по­ добно выражениям (109) и (ПО)

Рх sin ш/ — сгХх + с2 (х2— лгх) — тхХх,

(395)

Р2sin со/ — с2 (х2— Хх) = т2х2,

эти уравнения принято записывать таким образом, чтобы в пра­ вых частях были только возмущающие силы:

Решение этой системы, как и решение одного уравнения, со­ ставляется из двух частей: решения соответствующей однородной системы, имеющего вид выражения (120), и частного решения неоднородной системы (396).

Раньше отмечалось, что слагаемое, описывающее колебания с собственной частотой, меняется во времени, быстро уменьшаясь вследствие действия неизбежных сил затухания. Основной инте­ рес представляет вторая часть решения, соответствующая неза­ тухающему стационарному процессу вынужденных колебаний.

Знаменатели полученных выражений совпадают с левой ча­ стью частотного уравнения (117а), если заменить в нем букву р буквой to. Следовательно, если частота возмущения о совпадает с любой из двух собственных частот рхили /?2,то знаменатели фор­

249

мул (399), согласно уравнению (117а), обратятся в нуль, а ам­

двум, что соответствует числу степеней свободы системы и числу ее собственных частот.

При со = 1 амплитуда ct\ = 0; этот случай антирезонанса рас­ смотрен на стр. 263—264.

При помощи выражений (399) можно найти форму вынуж­ денных колебаний, определяемую отношением а2: а\. В общем случае эта форма не совпадает ни с одной из собственных форм; лишь при резонансах форма вынужденных колебаний совпадает с формой свободных колебаний.

Рассмотрим действие двух сил одинаковой частоты, но сдви­ нутых по фазе Pi sin (со/ + ai) и P2 sin (со/ + аг). Эти силы мож­ но представить в виде Pi cos cci sin со/ + Pi sin ai cos со/; P2 cos a2X X sin со/ + P2 sin a2cos со/ и затем решать две задачи:

1)действуют только «синусные» составляющие Pi cos ai sin со/

иР2 cos a2 sin со/;

2)действуют только «косинусные» составляющие Р i sin ai cos со/

ИР2 Sin CC2 cos со/.

Впервой задаче получатся уравнения

Каждая из этих задач может быть решена до конца; затем ре­ зультаты решения должны быть соответственно суммированы.

250

Если возмущающие силы имеют полигармоническую струк-

туру

Р%= Р11 sin со^ 4" Рla sin о)2/ -f- ... 4~ Р\пsin font‘,

Р 2 = Р21 ИП ®11 + Р22 Sin <°2^ 4" • • • + Pin ®nt>

то резонанс становится возможным в следующих случаях:

т. е. при совпадении любой из /г частот возмущающей силы с любой из двух собственных частот системы.

Разложение решения по собственным формам колебаний.

Вернемся к простейшей системе, испытывающей действие возму­ щающих сил Pi sin соt и Р%sin азt

Для вывода основных зависимостей рассматриваемого спо­ соба предварительно образуем вспомогательные соотношения ис­

Эти соотношения необходимы для дальнейшего.

В дифференциальных уравнениях (396) неизвестными явля­ ются функции Xi и #2. Основная идея рассматриваемого способа состоит в замене этих функций двумя новыми функциями ti(t), /j}(£) согласно равенствам

251