книги / Основы прикладной теории упругих колебаний

стоянным моментом инерции не является строгой. Кроме того, при действии на коленчатый вал двух противоположно направ­ ленных пар (рис. 47) деформация будет заключаться не только в закручивании участка между парами — вследствие изгиба про­ изойдет закручивание и других участков; заменяющая система не способна отразить этот побочный эффект.

Тем не менее эксперименты подтверждают приемлемость за­ меняющей схемы при достаточно тщательном определении эквива­ лентных моментов инерции и особенно эквивалентных жестко­ стей.

Рас. 47

Обозначим (см. рис. 46, а) через Л, I% ..., 1п — моменты инер­ ции масс дисков относительно оси вала; с\, с2, ..., cn-i — коэффи­ циенты жесткости при кручении участков вала; <рь фг, ..., <рп — углы поворота дисков вокруг оси вала.

Крутящие моменты, действующие в сечениях вала, зависят от взаимного поворота двух смежных дисков и определяются фор­ мулами:

на первом участке

92

Уравнения движения проще всего составлять прямым спо­ собом (см. рис. 46, б ):

— <Р1) = / 1ф1.

(Фз— Ъ) — Cl(ф2 — ф1) = 12ф2,

(ф4 — Фз) — с2(?3 — <Рг) = / зф3;

(124)

С п -1 (фл — фл- i ) — Сп-2 (фл-1 — Фл-г) = /л-1фл-1;

— Сп-1 (<?„ — фл- l ) = /„фл-

Число этих уравнений совпадает с числом дисков, т. е. равно п. Уравнения (124) удовлетворяются решением

описывающим равномерное вращение вала и дисков как жест­ кого тела. Кроме этого, возможно решение

ставляют решение системы уравнений (124). Подставляя выра­ жения (126) в уравнения (124), получим

Ci (a2 — 0i) = — / IP2GI; l c2 (a3— a2) — Ci (a2 — <*i) = — I2p2a2;

c3 (ai — a3) — c2 (a3 — a2) = — / 3p2a3;

(127)

Ся—i (un an—i) On—2 (ot/i—i an—2) —

=— 7n_ip8a„_i;

—c„_i (a„ — an- 1) = — 7„p2an.

В этой системе уравнений содержится п + 1 неизвестных (п неизвестных амплитуд и частота р); поэтому все неизвестные из этой системы определить невозможно (неопределенность, ко­ нечно, исчезнет, если дополнительно указать начальные ус­ ловия).

93

Частотное уравнение. Из системы (127) можно получить урав­ нение, содержащее одну неизвестную р2 и определяющее спектр частот ри р2,... рассматриваемой многомассовой системы. Для этого выразим из первого уравнения системы (127) а2 через ах и подставим результат во второе уравнение системы; тогда можно будет выразить а3 через ах. Продолжая этот процесс до п — 1-го уравнения, можно выразить все амплитуды (до п-й включитель­ но) через амплитуду ах. Эти выражения будут зависеть от часто­ ты р (причем вид зависимости будет прогрессивно усложняться).

Наконец, подставив выражения ап-\ и ап в последнее уравне­ ние (127), можно будет исключить ах и получить алгебраическое уравнение, содержащее только неизвестную — частоту р\ степень этого уравнения относительно квадрата частоты р2 равна числу дисков п.

К частотному уравнению можно прийти иначе, если рассмат­ ривать систему (127) как систему линейных алгебраических уравнений для неизвестных амплитуд ах> а2, ...» ап. Так как эта система однородна, то отличные от нуля решения возможны только в том случае, если равен нулю определитель, составленный

Развернув определитель, получим частотное уравнение. Из рассмотрения структуры главной диагонали определителя видно, что степень этого уравнения относительно р2 равна п.

Для трехмассовой системы, развернув определитель (128), получим

Соответственно степени уравнения число корней pi также рав­ но л; один из корней всегда равен нулю, так что число отличных от нуля частот на единицу меньше числа дисков и равно п — 1. Нулевой корень соответствует повороту всех дисков и вала как жесткого целого; ненулевые корни соответствуют явлению упру­ гих колебаний. Следовательно, система, состоящая из невесомо­ го вала и |пдисков, обладает п — 1 отличными от нуля собствен­ ными частотами рх, р2, ...; их принято нумеровать в порядке воз­ растания частоты.

Пример 8. Определить собственные частбты для трехмассовой системы (рис. 48, а), представляющей собой упрощенную схему судовой дизельной уста- ковка. Приведенный момент инерции вала двигателя I\ = 17000 кГ •см - сек2;

94

момент инерции маховика / 2 = 85 ООО кГ •см•сек2; приведенный момент инер­ ции гребного винта (с учетом массы гребного вала и присоединенной массы во­

подставить частоту /?2, то обнаружатся иные соотношения между амплитудами. Таким образом, каждой частоте pi соответствует своя система отношений амплитуд, т. е. своя форма колебаний; каждая из них называется собственной формой колебаний. Число

Пример 9. Для системы, изображенной на рис. 48, найти собственные фор­ мы колебаний.

Так как система содержит три диска, число этих форм равно двум.

95

1. Определение первой собственной формы. В уравнения (127) подстав­

031 ~ — 3,65а!!

(вторые индексы обозначают номер формы).

Последний результат получится и из третьего уравнения, которое оказыва­ ется следствием первых двух. На рис. 48, б показана первая собственная фор­ ма, имеющая один узел. Как видно, колебания, соответствующие первой часто­ те, происходят почти без деформаций вала двигателя и состоят в основном

вскручивании гребного вала.

2.Определение второй собственной формы. Если повторить те же опера­

ции для р2 = 15 000 сек~2, то получим а22 = — 0,209 а\2 и а22 — 0,008 а]2. В дан­ ном случае основным является скручивание вала двигателя, тогда как гребной вал почти не скручивается (рис. 48,'в).

Второй частоте отвечает двухузловая собственная форма колебаний. Сле­ дует отметить, что в многомассовых системах высшим частотам соответствуют все более сложные (в отношении числа узлов) собственные формы колебаний.

Можно убедиться, что найденные формы ортогональны одна другой; вы­ числяем, пользуясь формулой (130),

/10Ц012 “Ь -^2021022 “Ь ^3031032 = 17 000 •Оц •Йц "Ь

+ 85 000- 0,945ац (— 0,209й! 2) + 27000(— 3,650u )0,008fli2 « 0.

Кроме того, каждая из них ортогональна «нулевой» собственной форме (вращение вала как жесткого целого); последней соответствуют равные пере­ мещения йю = 02о = 0зо = 0о. Ортогональность первой и нулевой форм прове­ ряется вычислением

710ц0ю 72й2102о "Ь 7з0з10зо = 17 000ацСо -j-

-J- 85 000 •0,945йцй0 + 27 000 (— 3,65йц) а0 ш 0,

а ортогональность второй и нулевой форм — вычислением

7I 0!20IO + 72022о2о-j- /з0з20зо = 17 OOOai2o0 -J-

+ 85 000 (— 0,209fli2) a0 -f- 27 000 •0,008ai2flOi~ 0.

Определение движения no начальным условиям. При записи решения (126) предполагалось, что колебания являются одноча­ стотными, т. е. для любого диска описываются одной гармоникой:

Ф* = at sin (pt + a).

Существование ряда значений частоты р требует обобщения решения (126) и записи его в виде

здесь первый индекс у амплитуды означает номер диска, а вто­ рой индекс — номер соответствующей частоты.

96

Для получения общего решения необходимо учесть возмож­ ность вращения всей системы как жесткого целого (что соответ­ ствует частоте'/? = 0 ), т. е. добавить слагаемое вида (125)

вестных амплитуд колебаний первого диска (an, ai2 , ..., ai>7l_i); п — 1 неизвестных начальных фаз (ап а2, ...,an-i), угловое сме­ щение а0 и угловая скорость со (амплитуды колебаний всех ос­ тальных дисков аш определяются через амплитуды составляю­ щих колебаний первого диска а^; отношения aih : а^ зависят от номера частоты k и определяют соответствующие формы коле­ баний) .

Таким образом, для полного решения задачи необходимо и достаточно указать 2 п начальных условий — угловые смещения и угловые скорости всех п дисков.

При произвольно заданных начальных условиях колебания каждого диска будут многочастотными, т. е. составятся из суммы гармоник. Если начальные угловые смещения соответствуют од­ ной из собственных форм колебаний, то в дальнейшем процессе будет реализована эта и только эта форма (и соответствующая частота); в общем же случае колебания будут носить сложный характер и представят собой совокупность п форм колебаний. Относительное значение каждого из них зависит от близости заданной системы начальных смещений к той или иной собствен­

ной форме.

Вычисление собственных частот и форм способом последова­ тельных приближений. Способ последовательных приближений (метод остатков) целесообразен в расчетах многомассовых си­ стем (/г > 3), для которых сложным оказывается даже первый этап точного решения (развертывание определителя и получение частотного уравнения). Способ основан на использовании цепной структуры системы (127).

Принимая а\ = 1 и задаваясь ориентировочным значением р2, из первого уравнения системы (127) находят амплитуду а2; из второго уравнения той же системы можно определить амплиту­ ду а3, из третьего уравнения — амплитуду а4 и, наконец, из пред­ последнего уравнения — амплитуду ап. Если в последнее урав­ нение

— сп- 1 (ап — ап-,) + 1пр2ап= 0

подставить вычисленные значения ап-\ и an, то оно, вообще го­ воря, не будет удовлетворяться из-за произвольности исходного значения р3. Полученное значение левой части (остаток) харак­ теризует меру неточности принятого значения р2 и одновременно ориентирует, в какую сторону нужно изменить расчетное значе­ ние р2в следующем приближении.

Далее производят повторный расчет при новом значении р?\ знак и величина нового остатка помогут указать необходимую поправку в значении р2. Расчет повторяется до тех пор, пока не будет достигнут удовлетворительный результат в последнем уравнении.

Хольцер и Толле предложили компактную табличную схему вычислений, основанную на соотношениях типа

c-t(ai + 1 — at) = — Iip2ax — I2p2a2— . . . — / ip^a-i, (132)

которые получаются из уравнений (127) после сложения пер­ вых i уравнений системы. Соотношение (132) выражает равенст­ во крутящего момента в сечении £-го участка вала (левая часть) сумме моментов сил инерции всех расположенных слева дисков (правая часть).

Задаваясь значением р2 и принимая « 1 = 1, находим из соот­ ношения (132) для i = 1

А, -------4 Й . + 1.

Cl

Далее из того же соотношения для i = 2

аа = — hРа ~Г ^2P3q2 -4- «2*

сг

Общая формула имеет вид

k=i

2 JkP2ak

Процесс продолжается таким образом до п — 1-го уравнения. Найдя из него ап, можно перейти к последнему уравнению и вы­ числить его левую часть.

Этот результат должен быть равен нулю, так как если сложить все уравнения типа (132), то должно полу­

читься

k=n

2 Др2а/г = 0.

/е=1

Вследствие неточности принятого значения р2 нуля в резуль­ тате не получится. Полученный остаток выражает неуравнове­ шенный момент, который должен быть равен нулю при правиль­ ном выборе величины р2.

После нескольких расчетов такого типа (при разных значе­ ниях р2) можно построить кривую зависимости остатка R от р2 (рис. 49). Точки пересечения кривой с осью абсцисс соответству­ ют истинным значениям частот.

98

Полученный остаток (— 1,0* 106) имеет другой знак, чем в первом расчете; можно утверждать, что истинное значение квадрата первой частоты лежит в пределах 690—700 сек~2. Пользуясь линейной интерполяцией, находим доста­ точно точное значение квадрата первой

второго приближения р2 = 20000 сек~2 и вновь заполняем расчетную табл. 5. Остаточный момент (6007 •106) также очень велик, но отличается знаком

от первого приближения. Пользуясь линейной интерполяцией, находим квадрат второй частоты р| = 17 280 сек~2.

Затем следует вновь повторить вычисления, пока разница между частота­ ми в двух последовательных расчетах не станет достаточно малой. Для этого потребуется заполнение, по крайней мере, еще двух таблиц (при этом обнару­

жится истинное значение р | = 17 780 се/с-2, т. е. рг = 133 сек—1.

Отметим, что расчет высших собственных частот всегда требует сравни­ тельно большего труда.

100

Таблица 4

Расчетная таблица 1-го приближения (при р г = 15 000 сек~2)

Таблица 5

Расчетная таблица 2-го приближения (р = 20 000 сек~ 2)

Изгибные колебания балок

Общие замечания. С изгибными колебаниями многомассовых балочных систем приходится сталкиваться весьма часто в строи­ тельных конструкциях, а также в турбинах, где применяют ©алы с прямолинейной осью, несущие ряд дисков.

Рассмотрим свободные колебания произвольно закрепленной упругой балки, несущей произвольное конечное число точечных масс mu tn2 ,..., тп (см., например, рис. 52, а).

Как было указано выше, для задач этого типа предпочтитель­ нее обратный способ, основанный на введении сил инерции, при­ ложенных к безмассовому упругому «скелету» системы. При этом удобно воспользоваться понятием единичного перемещения 6,/t как перемещения в направлении i, вызванного единичной силой,

101