книги / Основы прикладной теории упругих колебаний

Приближенно можно считать вал неподвижно защемленным в большем диске; тогда по формуле (13) найдем собственную частоту р с ошибкой око­

ло 7%.

ло положения равновесия АС. Груз В участвует в двух движе­ ниях — переносном вместе с диском и относительном — вокруг центра качания А. Угол, составляемый направлением ОВ с на­ правлением ОА, обозначим через -ф, расстояние от центра диска О до центра качания А через R, длину маятника АВ через /, расстояние ОВ через L, массу груза В через пъ.

Тогда

32

При анализе относительного движения маятника АВ необхо­ димо учесть переносную и кориолисову силы инерции. Перенос­ ная сила инерции направлена вдоль прямой ОВ и равна

Кориолисову силу инерции, направленную вдоль прямой АВ, определять не будем, имея в виду составление уравнения момен­ тов относительно точки А. Дифференциальное уравнение относи­ тельного движения маятника имеет вид

— PR s\nty = ml2ц>.

Если колебания достаточно малы, то можно принять ф ~ у - ,

иуравнение (19) примет вид

х-f-------- х = 0.

Здесь, как и в рассмотренных выше случаях, достаточно довет сти выкладки до стандартной формы дифференциального урав^ нения, после чего по коэффициенту при координате (в данном случае при координате х) сразу определяем собственную ча­ стоту

Заметим, что собственная частота пропорциональна угловой скорости вращения диска.

Найденный результат может быть использован для определе­ ния собственной частоты колебаний маятника с двойным подве­ сом (рис. 21, а). Подвес осуществлен при-помощи двух роликов диаметром d2, вложенных в несколько большие отверстия диа­ метром d\, которые имеются в теле маятника и вращающемся диске. При таком способе подвеса относительное движение ма­ ятника (по отношению к вращающемуся диску) является посту­ пательным и все его точки описывают дуги окружностей одного

Таким образом, собственная частота колебаний маятника опре­ деляется формулой

(21)

Здесь полезно вспомнить, что при выводе формулы (20) пред­ полагалась малость отношения смещения х к длине I маятника.

В рассматриваемом случае расчетная длина маятника сама мала; это на­ кладывает особенно тесные ограниче­ ния на величину амплитуд колебаний маятника, и если отношение х : I нель­ зя считать малым сравнительно с еди­ ницей, то приходится вообще отказы­ ваться от применения линейной тео­ рии.

Энергетический способ; формулы Рэлея и Граммеля

Если не считать простейшей системы, изображенной на рис. 1, во всех остальных рассмотренных выше случаях выкладки были доведены только до составлениядифференциального уравнения движения системы. После приведения этого уравнения к стан­ дартному виду, сразу — по выражению коэффициента при коор­ динате — записывалась формула для собственной частоты коле­ баний.

В некоторых случаях целесообразнее иной способ определе­ ния собственной частоты; он основан на энергетических сообра­ жениях и сводится к следующему. Полагая, что движение, опре­ деляемое координатой у, является гармоническим и описывает­ ся выражением

у = a sin (pt + ос),

можно определить скорость

у = ар cos (pt + а).

Максимальная потенциальная энергия П Шах системы дости­ гается в момент наибольшего отклонения системы от положения равновесия и определяется этим отклонением, равным а. Соот-

34

ветственно максимальная кинетическая энергия Ттах определяет­ ся наибольшей скоростью итах = ар, которая достигается в мо­ мент прохождения системы через положение равновесия.

Если отсчет потенциаль­ ной энергии вести от поло­ жения равновесия, то дол­ жно выполняться равенство

Птах = Тшах*

из которого определяется собственная частота р.

Приведем два случая оп­ ределения собственной ча­ стоты, в которых наиболее удобен энергетический спо­

цилиндра (рис. 22).

Рассмотрим колебания массивного цилиндра, который может свободно катиться по горизонтальной плоскости без скольжения (см. рис. 2, н). Пусть радиус цилиндра г, его масса пг, радиус инерции р и жесткость пружины в.

Кинетическую энергию следует вычислять с учетом вращения:

Приравняв выражения (22) и (23), находим собственную ча стоту колебаний

(24)

"/-('♦'■so

35

Из формулы (24) видно, что вследствие инерции вращения цилиндра собственная частота колебаний уменьшается.

Если цилиндр однородный, то р2 = 0,5г2 и собственная часто­ та на 18% меньше, чем в случае поступательного движения та­ кого же груза без вращения.

Теперь обратимся к рис. 22, где изображен массивный ци­ линдр, который может свободно катиться по цилиндрической по­ верхности радиусом R\ радиус цилиндра г. Пусть при колебани­ ях ф — наибольший угол отклонения отрезка ОЛ, проведенного из центра кривизны О в центр сечения цилиндра Л. Тогда наи­ большая высота h, на которую поднимается центр тяжести ци­ линдра,

h — (R — г) (1 — cos ф).

где G — вес цилиндра.

Для определения максимальной кинетической энергии преж­ де всего найдем максимальную скорость центра Л цилиндра:

Ушах = фр {R — г)

и соответствующую ей максимальную угловую скорость враще­ ния цилиндра:

36

Если цилиндр однородный, то р2 = 0,5г2 и соответственно

Р = i / — а _ .

V Щ —г)

За счет изменения разности радиусов R — г частота может из­ меняться от наименьшего значения

р - л / 2 .

Уз *

(при исчезающе малом радиусе цилиндра) до бесконечности. Как уже указывалось, задавая форму колебаний системы с

распределенными массой и упругостью, приписываем ей таким образом одну степень свободы. Для определения собственной ча­ стоты колебаний такой схематизированной системы также весьма удобен энергетический метод (называемый в этом случае мето­ дом Рэлея) .

Разумеется, что при этом результаты будут зависеть от вы­ бора формы колебаний и решение уже не будет обладать той определенностью и однозначностью, как это имело место в двух предыдущих примерах.

Рассмотрим наиболее общую форму метода Рэлея примени­ тельно к задаче о поперечных колебаниях балки. Положим, что

т. е. что колебания всех точек оси происходят с одной и той же частотой и находятся в одной фазе (т. е. все точки одновременно проходят через положение равновесия, одновременно достигают наибольших отклонений и т. д .).

Функция f(x) представляет собой форму колебаний, т. е. функцию, описывающую конфигурацию изогнутой оси в момент, когда прогибы достигают максимума

Утах {х) — f (х).

Соответственно закону (27) скорости точек оси балки опре­ деляются зависимостью

и максимальные скорости (в момент прохождения системы через состояние равновесия)

37

где tn — m(x) — интенсивность распределенной массы балки. Приравняв выражения (28) и (29), получим основную фор­

мулу Рэлея для случая поперечных колебаний

J EJ (Г №

J mf*dx

о

Если, кроме распределенной массы, с осью балки в сечени­ ях Xi связаны также сосредоточенные грузы с массами mit то в выражении кинетической энергии появятся слагаемые типа

— rriifip2, где fi — значение функции f(x) в точке с абсциссой хр,

2

соответственно формула (30) приобретает вид i

J EJ Q")*dx

f mfdx+

О

Приведенные варианты записи формулы Рэлея дают точные результаты при условии, что в формулу подставляется истинная форма колебаний f(x). Но эта форма заранее неизвестна, и поэ­ тому при практическом использовании формулы Рэлея задаются формой колебаний, что и вносит некоторую неточность в резуль­ таты.

При выборе функции f(x) ее масштаб вообще никакой роли не играет; умножение f (х) на любое число не изменит результа­ та, как видно из структуры формулы (30). Необходимо стремить­ ся лишь к тому, чтобы возможно лучше отразить ожидаемую форму колебаний и, во всяком случае, обеспечить выполнение граничных условий, соответствующих заданным условиям за­ крепления концов балки (геометрических граничных условий).

Пример 2. Определить собственную частоту колебаний двухопорной бал­ ки, несущей три одинаковых груза массы тп (рис, 23).

Зададимся формой колебаний в виде

, . яде

f = a sin - у - ;

38

это выражение удовлетворяет всем граничным условиям (f = 0 и f" = 0) при х = 0 и х = /) и описывает симметричную кривую. Величина а остается неоп­ ределенной [с войдет множителем как в числитель, так и в знаменатель выра­ жения (31) и сократится, не повлияв на результаты вычислений].

Находим

Для нахождения знаменателя вычисляем прогибы под грузами:

Знаменатель в формуле (31) состоит из одного второго слагаемого

3

■та*

Квадрат собственной частоты по формуле (31)

„2 — n*EJ 3тР

и собственная частота.

5,696 / EJ

р = ~ г У

Отметим, что этот результат ничтожно отличается от точного значения

5,692 , f~ E 7

р = " т - у

Весьма распространен особый прием использования формулы Рэлея, который состоит в том, что при решении задаются не функцией f(x), а некоторой фиктивной нагрузкой д(х); в фор­ мулу Рэлея подставляется кривая статического изгиба, вызывае­ мого этой нагрузкой q{x). Достоинство этого приема состоит в автоматическом удовлетворении граничных условий и, кроме того, в том, что вычисление наибольшей потенциальной энергии по формуле (28) можно заменить более простым вычислением работы статической нагрузки q(x) :

39

так как величины А и Птах равны одна другой. При этом форму­ ла (31) приобретает вид

J яМх

jmpdx+y^mifj

о

Конечно, в состав фиктивной нагрузки можно включать так­ же сосредоточенные силы Р*;Lтогда формула (33) запишется так:

J Яfdx+^Pifi

щихся сосредоточенных грузов, а вторые — силы, входящие в со­ став «придуманной» нагрузки; точно так же не связаны между собой функции т(х) и д(х).

Последние варианты записи формулы Рэлея принципиально равноценны формуле (31), но из-за отсутствия операции диффе­ ренцирования обычно дают большую точность. Так, в частности, если задаваемая нагрузка q(x) и Pi совпадает с распределением истинных максимальных сил инерции, то по формуле (34) мож­ но найти совершенно точное значение частоты р.

Чаще всего фиктивную нагрузку, определяющую форму коле­ баний, принимают согласно одному из следующих вариантов:

сосредоточенная сила, приложенная в какой-либо характер­ ной точке оси балки;

фактически действующие силы веса балки.

Остановимся на первом варианте. Пусть выбрана некоторая характерная точка и fo — прогиб этой точки («точки приведе­ ния»); тогда максимальная потенциальная энергия изгиба может быть выражена формулой

40

Обозначим

i

как если бы в точке приведения была сосредоточена масса т0; последнюю можно назвать приведенной массой.

Если, кроме распределенной массы, имеются еще сосредото­ ченные грузы, то выражение приведенной массы приобретает вид

Определив по формулам (35) или (37) приведенную массу, затем по формуле (36) находим собственную частоту колебаний.

Конечно, в выражениях (35) и (37) f(x) уже нельзя выбирать произвольно; f(x) является функцией, описывающей прогибы оси от сосредоточенной силы (масштаб этой функции роли не играет, как это видно из структуры формулы для т 0) .

Понятие приведенной массы до некоторой степени устраняет произвольный выбор, о котором говорилось (правда, произволь­ ным остается выбор точки приведения), однако в отличие от фор­ мул (31) или (34) по формуле (36) никогда не может получить­ ся точного решения, так как кривая изгиба от сосредоточенной силы не совпадает с истинной формой изгиба при колебаниях.

Пример 3. Определить приведенную массу для балки, изображенной'на рис. 23, а затем найти собственную частоту колебаний. За точку приведения принять середину балки.

В данном случае формула (37) приобретает вид

(величина силы и соответственно масштаб fo не имеют значения). По формуле (38) получаем

Коэффициент жесткости системы (см. № 5 в табл. 1) 4 8 £ /

41