книги / Основы прикладной теории упругих колебаний

Тогда

и

i

j Ndx

_о_____

i

J mx2dx

о

Если продольные силы N появляются в результате вращения стержня с постоянным распределением массы (рис. 26), то

q = т&2х',

т. е. квадрат собственной частоты вращающегося стержня при­

на рис. 28, по формуле Лэмба— Саусвелла, энергетическим способом и при по­ мощи формулы для коэффициента жесткости (см. А® 10, табл. 1).

52

По формуле Лэмба— Саусвелла находим

3EJ

Р2 = — -г + ю2. ml8

Воспользуемся энергетическим способом, приняв для f(x) кривую прогибов от равномерно распределенной нагрузки:

Тогда получим

По формуле (45) находим (с завышением)

Истинное значение собственной частоты располагается в довольно узком интервале

Точное решение задачи может быть получено при помощи формулы для

коэффициента жесткости

a?EJ

с— аIch al — shat

вкоторую следует подставить

5. ВЛИЯНИЕ СИЛ НЕУПРУГОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ НА СВОБОДНЫЕ

КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

Общие сведения

Выше считалось, что рассеяние энергии при колебаниях не происходит, и был установлен незатухающий характер процесса свободных колебаний. Опыт, однако, показывает, что колебания упругой системы, вызванные однократным возмущением, посте­ пенно затухают. Причина затухания состоит в том, что при ко­ лебаниях, кроме упругих сил, развиваются силы неупругого со­ противления. На преодоление неупругих сопротивлений непре-

53

рывно в необратимой форме расходуется энергия, вследствие че­ го постепенно убывает общий запас энергии и уменьшаются ам­ плитуды колебаний.

В зависимости от природы сил неупругого сопротивления для их описания 'пользуются следующими упрощенными представ­ лениями.

Вязкое сопротивление. Так называют сопротивление, пропор­ циональное скорости. Если, как обычно, обозначить скорость че­ рез v, то сила вязкого сопротивления описывается выражением

где k — коэффициент пропорциональности.

Такова, например, система с гидравлическим амортизатором (рис. 29), который создает сопротивление движению поршня, за­

шнапример, в конструкциях авто­ мобильной подвески. Гидравли­

жидкостью. При движении поршней или крыльчатки эта жидкость продавливается через калиброванные отверстия; этим создается сопротивление, по характеру близкое к вязкому.

В формуле (53) под R подразумевается сила, действующая на амортизатор; вязкая реакция амортизатора на колеблющееся тело имеет противоположное направление.

Сопротивление, пропорциональное п-й степени скорости. В ря­ де технических устройств, в частности в гидравлических аморти­ заторах, возможна более сильная зависимость сил неупругого сопротивления от скорости. Такие силы часто записываются в виде

где k — постоянная.

Кулоново трение. В этом случае силу неупругого сопротивле­ ния принимают постоянной по величине, но направленной проти­ воположно скорости:

R = ± k — kv\v\~{.

На рис. 30 даны зависимости сил R от скорости v для рассмот­ ренных случаев: а — вязкое сопротивление; б — сопротивление, пропорциональное квадрату скорости; в — сухое трение.

54

Вследствие неупругих сопротивлений при циклическом, нагру­ жении механических систем кривая сила — перемещение откло­ няется от закона Гука и приобретает вид петли гистерезиса

Рис. 30

(рис. 31). Если перемещению х по закону Гука соответствует сила упругого сопротивления Р, то полная сила будет больше или меньше Р в зависимости от направления движения (знака ско­ рости). При нагружении сила будет равна Р + R (верхняя ветвь петли), а при разгрузке она будет

равна Р — R (нижняя ветвь петли); на рис. 31 стрелками показаны на­ гружение и последующее разгружение.

В реальных механических си­ стемах причиной гистерезисных яв­ лений служит внутреннее трение в материале и, главным образом, тре­ ние в неподвижных соединениях (прессовых, болтовых, заклепочных и т. п.), возникающее при малых

проскальзываниях по контактным поверхностям. Интенсивность этого вида неупругих сопротивлений оценивается площадью пет­ ли гистерезиса, которая определяет энергию, рассеиваемую в конструкции за один цикл нагружения — разгружения.

На основе анализа многочисленных опытных данных Н. Н. Давиденков показал, что для ряда конструкционных материалов величина скорости не влияет на площадь Ч*1петли гистерезиса, и эту ллощадь можно представить в виде

где k и п — постоянные, зависящие от типа конструкции и мате­ риала;

а — амплитуда колебаний.

Последовательно рассмотрим процессы затухающих свобод­ ных колебаний при различных типах неупругих сопротивлений.

55

Свободные колебания при вязком сопротивлении

Рассмотрим схему, приведенную на рис. 29. При учете сил вяз­ кого сопротивления дифференциальное уравнение движения гру­

зует вязкость системы (его не следует смешивать с коэффициен­ том п на стр. 54—55). Теперь запишем дифференциальное урав­ нение в стандартной форме:

Кривая колебаний представлена на рис. 33, где отчетливо ви­ ден затухающий характер процесса.

Как видно из выражения (57), частота колебаний опреде­ ляется формулой

и обычно мало отличается от частоты незатухающих колебаний той же системы, но лишенной демпфирования.

56

в виду условность этого термина, так как, строго говоря, движе­ ние не является периодическим).

Отношение двух последовательных амплитуд (декремент коле­ баний) остается все время постоянным:

т. е. последовательность амплитуд образует геометрическую про­ грессию. Следовательно, при любом значении i справедливо ра­ венство

Выражение (58) определяет темп затухания и называется ло­ гарифмическим декрементом колебаний.

Рис. зз

Пример 7. При колебаниях упругой системы обнаружено, что за один пе­ риод амплитуда уменьшается вдвое. Определить логарифмический декремент и изменение собственной частоты вследствие затухания.

57

Влияние небольшого вязкого сопротивления на частоту весь­ ма незначительно; вместе с тем даже малое сопротивление ин­ тенсивно гасит свободные колебания. Это позволяет, с одной сто­ роны, при вычислении частоты не считаться с наличием вязкого сопротивления, а, с другой стороны, считать свободные колебания практически исчез­ нувшими по истечении доста­ точно большого промежутка времени. В рассмотренном при­ мере после 10 периодов ампли­

туда составляет всего (0.5) 10« «0,001 от начальной амплиту­ ды.

Чтобы построить фазбвый портрет системы с затуханием, нужно рассматривать совокуп­ ность уравнений

Рис. 34

как уравнение фазовой траек­ тории в параметрический фор­ ме.

Типичная фазовая траектория изображена на рис. 34. Она представляет собой спираль, накручивающуюся на начало коор­ динат. Фазовый портрет образуется системой таких спиралей, окружающих особую точку О, О; последняя в этом случае назы­ вается устойчивым фокусом.

Свободные колебания при сопротивлении, пропорциональном л-й степени скорости

В этом случае вместо уравнения (56) получим нелинейное дифференциальное уравнение движения в виде

mx + kx п — I -j- сх — 0;

это уравнение не может быть решено в замкнутой форме. Для практических целей можно воспользоваться приближенным спо­ собом энергетического баланса.

Идея этого способа состоит в приравнивании энергии, теряе­ мой системой, работе, совершаемой силой иеупругого сопротив­ ления за один цикл колебаний; при этом обе приравниваемые величины выражаются приближенно (для точного их определе­ ния необходимо было бы знать закон движения).

58

Прежде всего выразим убывание энергии за один период ко­ лебаний (рис. 35, а). Потенциальная энергия в двух последова­ тельных состояниях наибольшего отклонения (см. точки in i + 1)

П-i — ~~ccii, llj+i = Сй^i,

где с — коэффициент жесткости системы. Уменьшение энергии за рассматриваемый период

ДП, = -j- (а? — а?+1).

При умеренном затухании последнее выражение может быть

где Adi = di — di+\ представляет собой уменьшение амплитуды за один период колебаний. Согласно рис. 35, б можно принять

где Т — период колебаний, который допустимо считать совпадающим с периодом свободных колебаний систе­ мы без затухания. Оконча­ тельно имеем, опуская ин­ дексы,

ту, совершаемую силой не­ упругого сопротивления R=

kx\x\n~l также за один цикл колебаний; при этом предположим, что в течение этого цикла колебания приближенно описываются синусоидальной зависимостью

(здесь принимается, что частота затухающих колебаний не отли­ чается от собственной частоты колебаний системы без сопротив­

ления) .

Выражение указанной работы имеет вид

Подставляя сюда согласно зависимости (62)

х = —ар sin pt,

59

получим

причем выражение (66) в данном случае принимает вид

Ь = k

2т ‘

Разделяя в формуле (67) переменные

—bdt = —

иинтегрируя в пределах от t — 0 до t, находим

In— = — fc, Оо

т. е.

60

Этим выражением и определяется закон затухания свободных колебаний при любых значениях п, отличных от единицы. Конеч­ но, это решение не может дать Q

подробностей процесса затухаю­ щих колебаний x(t) но такие 0 подробности малосущественны.

Остановимся на двух частных случаях.

мой линии. Согласно формуле (66) при п = 0

(70)

этим выражением определяется темп затухания.

Случай п = 2 (гидродинамическое или турбулентное демпфи­ рование). Из основного выражения (68) имеем уравнение оги­ бающей

1 -f- ba0t

т. е. огибающая имеет характер гиперболы.

На рис. 36 схематически представлены огибающие для случа­ ев п = 0, 1, 2.

Свободные колебания при кулоновом трении

61