книги / Основы прикладной теории упругих колебаний

сделать только для систем простой структуры, вроде балок с пря­ молинейной осью, обладающих постоянным сечением и равно­ мерным распределением массы.

2. КЛАССИФИКАЦИЯ СИЛ

Силы, действующие извне на механическую систему, а также внутренние силы, развивающиеся в ее связях, весьма разнооб­ разны как по своей природе, так и по той роли, которую они играют в колебательном процессе.

Восстанавливающие силы — это такие силы, которые возни­ кают в связи с отклонениями системы от положения равновесия и стремятся вернуть систему в это положение. Можно сказать, что колебательные свойства механических систем есть результат действия именно этих сил.

Основным типом восстанавливающих сил являются силы уп­ ругости. В простейшем случае линейно-деформируемой системы восстанавливающая сила упругости пропорциональна откло­ нению системы; при этом свойство упругих связей полностью определяется одним числом — коэффициентом жесткости. Ко­ эффициентом жесткости с называется коэффициент пропорцио­ нальности между силой Р, статически нагружающей систему,

ивызываемым этой силой отклонением у:

Р~ су.

Однако нередки случаи, когда между силой и отклонением существует нелинейная зависимость и упругие свойства связей невозможно определить одним числом. В этих случаях указан­ ные свойства определяются упругой характеристикой, уравнение которой

Р = Р(Л)

обычно иллюстрируют графиком в координатных осях у, Р. Упру­ гая характеристика строится (расчетным путем или эксперимен­ тально) для условий статического нагружения системы.

На рис. 4 представлено несколько простых систем и соответ­ ствующие упругие характеристики.

Различают мягкие и жесткие нелинейные упругие характери­ стики. Мягкими называют характеристики с постепенно умень­ шающимся наклоном (рис. 4, а), а жесткими — характеристики

спостепенно возрастающим наклоном (рис. 4, б).

Внекоторых конструкциях упругие характеристики имеют переломы или разрывы. Так, упругая характеристика механиче­

12

Рис. 4

w

абсцисс. Системе с натягом (рис. 4, д) соответствует разрывная упругая характеристика.

Для систем, отклонение которых характеризуется угловым перемещением ф, упругая характеристика представляет собой связь между моментом М, статически нагружающим систему,

и указанным перемещением (рис. 5). В зависимости от свойств упругих связей упругая характеристика может иметь вид любо­ го из графиков, показанных на рис. 4 (при соответствующем переименовании осей у, Р на оси ф, М) .

Наряду с силами упругости восстанавливающими свойствами обладает также сила плавучести. На рис. 6 изображено плаваю­ щее тело (поплавок, понтон, судно), причем сплошной линией показано положение равновесия, а штриховой — смещенное по­ ложение. Если вертикальное смещение носит чисто поступатель-

14

ный характер (рис. 6, а), то возникает восстанавливающая си­ ла; при поворотах тела (рис. 6, б) возникает восстанавливающая пара (момент). Линейность или нелинейность характеристики зависит от очертания стенок тела. Так, при вертикальных сме­ щениях у прямостенного тела характеристика линейна (см. рис. 6, а). При угловых или вертикальных перемещениях непря­ мостенного тела характеристика является нелинейной и притом мягкой (см. рис. 6, б).

Восстанавливающее действие может оказать сила тяжести, например, сила тяжести жидкости в сообщающихся сосудах (рис. 7, а). Восстанавливающими свойствами нередко обладает момент силы тяжести; наиболее простым примером для этого случая служит маятник (рис. 7, б). Отклонения системы опреде-

б)

ляются углом ф, а мерой восстанавливающего действия являет­ ся момент силы тяжести относительно оси шарнира. Характери­ стика этой системы имеет тот же вид, что и график на рис. 6, б.

В некоторых случаях восстанавливающие силы имеют сме­ шанный состав: так, для маятника на рис. 7, в восстанавливаю­ щее действие оказывают как сила веса, так и сила упругости.

Характеристики систем, изображенных на рис. 6 и 7, часто называют квазиупругими, подчеркивая этим родство всех типов восстанавливающих сил с упругой силой.

Диссипативные силы. При колебаниях механических систем, кроме восстанавливающих сил, неизбежно развиваются силы трения. Они совершают необратимую работу, что приводит к дис­ сипации (рассеянию) механической энергии; соответственно та­ кие силы называются диссипативными. К этой категории отно­ сятся силы трения в опорах и сочленениях механической си­

в материале элементов системы и, наконец, силы, возникающие при нагружении амортизаторов (демпферов).

Какой бы ни была природа трения, направление диссипатив­ ных сил в любой момент процесса движения противоположно

15

скорости движения, причем величина силы тем или иным обра­ зом связана с величиной скорости v.

Диссипативные свойства описываются при помощи характе­ ристик трения. Так, на рис. 8, а показан простейший элемент трения — вязкий амортизатор, сопротивление которого пропор­ ционально скорости движения поршня вдоль цилиндра, а на

R

где под R подразумевается сила, приложенная к амортизатору. В ряде случаев характеристика трения может быть не­ линейной (рис. 8, в), а в случае сухого трения — разрывной (рис. 8, г, д). На рис. 8, г показана характеристика трения, со­ ответствующая элементарному закону Амонтона — Кулона, со­ гласно которому величина силы трения не зависит от скорости. На рис. 8, д представлена уточненная характеристика сухого

трения.

Возмущающие силы. Характеристики восстанавливающих и диссипативных сил определяются исключительно свойствами самой системы, а соответствующие силы не только влияют на движение, но и сами управляются этим движением, поскольку

они зависят от перемещений у и скоростей у.

16

Другую важную категорию сил, действующих на механиче­ ские системы, представляют возмущающие силы, т. е. силы, за­ данные в виде явных функций времени и потому не зависящие

от движения, но, конечно, активно влияющие на него. Примером возмущающей силы может служить вертикальная составляющая

называется инерционным.

В других случаях возмущаюющие силы могут развиваться вследствие других причин, напри­

мер, периодических изменений давления в цилиндрах двигате­ лей внутреннего сгорания или периодического изменения сил притяжения электромагнитов, питаемых переменным током (в электровибромашинах).

Законы изменения возмущающих сил во времени весьма раз­ нообразны. Отметим несколько наиболее важных случаев:

гармоническая возмущающая сила (рис. 10, а) — машины с равномерно вращающимися роторами;

17

чаях длительность отдельных импульсов настолько мала, что их можно считать мгновенными (ковочные штамповочные молоты, копровые устройства и т. п.);

непериодические возмущающие силы (рис. 10, г) — двигатели прокатного стана при одном из первых проходов болванки, трак­ тор при переезде через препятствие.

Нужно сказать, что возмущающие силы, действующие на не­ которые механические системы, вообще нельзя считать заданны­ ми определенным образом, а их действие следует рассматривать как случайный процесс (например, воздей­ ствие дороги на движущийся автомобиль).

Силы смешанного характера. В слож­ ных механических системах могут разви­ ваться силы смешанного характера, не раз­

ложимые на сумму сил типа Р (у ),Р (у ), P{t).

На рис. 11 представлен пример парамет­ рической системы — маятник, на который действует вертикальная сила Р = Р0sin cat. Момент внешних сил относительно оси шарнира создает сумма силы веса mg и си­ лы Р:

М = — (mg + Р0sin Ы) / sin<p.

Как видно, этот восстанавливающий мо­ мент зависит не только от смещения <р, но и от времени t, причем выражение М(<р, t) нельзя представить в

виде суммы Mi(<p) + М г (0 , т* е- невозможно выделить восста­ навливающую и возмущающую составляющие общего момента.

Возможны случаи, когда развиваются силы типа Р(у, у),

также непредставимые в виде суммы Р\(у) + Pz(y) (в частно­ сти, в автоколебательных системах).

3. СПОСОБЫ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ

Наиболее общей формой уравнений движения являются урав­ нения Лагранжа

где п — число степеней свободы механической системы; i — порядковый номер обобщенной координаты; qi — обобщенная координата;

18

qi — обобщенная скорость; Q i — обобщенная сила;

Т — кинетическая энергия системы; t — время.

Для систем с несколькими степенями свободы из уравнений

(4) можно получить важные соотношения более частного харак­ тера, дающие удобные способы исследования колебательных си­ стем определенных типов. Однако такие способы могут быть сформулированы и независимо от уравнений (4).

Наиболее часто применяют следующие три способа.

Прямой способ. По этому способу массы мысленно отделяют от упругого скелета системы и для каждой из них записывают дифференциальное уравнение движения, причем действие упру­ гих связей заменяют их реакциями. Этот способ удобен в тех случаях, когда реакции связей (силы упругости и вязкости) не слишком сложно выражаются через характерные перемещения и скорости, в частности, для исследования свободных и вынуж­ денных колебаний многомассовых цепных систем. Так, для си­ стемы, показанной на рис. 12, а, действующие на какой либо i-й груз силы упругости выражаются всего через три перемещения А'г_ь Xi и Xi+1 . Точно так же моменты сил упругости, действую­ щие на любой из массивных дисков крутильно-колебательной

19

Г Л А В А II

СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

4. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ БЕЗ НЕУПРУГИХ СОПРОТИВЛЕНИЙ

Стандартное уравнение

Вновь рассмотрим одномассовую систему, показанную на рис. 1, б. Эта простейшая система типична для широкого клас­ са систем с одной степенью свободы. Допустим, что возмущаю­ щая сила P(t) отсутствует, но состояние равновесия каким-ли­ бо образом было нарушено и затем система предоставлена самой себе. Происходящее в этих условиях движение и представляет собой свободные колебания. Начальное возмущение равновес­ ного положения характеризуется начальными условиями х —*0, v — v0 при t = 0; начальное смещение XQ и начальная скорость vQпредполагаются заданными (в противном случае движение не будет полностью определено). В любой момент процесса колеба­ ний на груз действует горизонтальная реакция пружины — сх; значение коэффициента жесткости с определяется по известным формулам теории сопротивления материалов. Дифференциаль­ ное уравнение движения (3) принимает вид

— сх — тх,

или

где

К уравнению типа (5) приводятся многие задачи о колебани­ ях совершенно иных механических систем; назовем его стан­ дартным и подробно рассмотрим решение.

21