книги / Основы прикладной теории упругих колебаний

Критическое состояние наступает, если знаменатель получен­ ных выражений стремится к нулю; это возможно при условии

Если обе жесткости близки одна к другой, то* полагая р\ « /?2, получим

2 2

Таким образом, если С\ = с2, критическое состояние возмож­ но при угловой скорости, равной половине основной критической

скорости ®КР

14. ВЛИЯНИЕ ТРЕНИЯ

Выше при рассмотрении различных влияний на движение уп­ ругого вала предполагалось отсутствие каких бы то ни было сил трения. В действительности эти силы неизбежно сопровожда­ ют всякое движение, и поэтому для полного представления о рас­ сматриваемых процессах необходим учет трения.

Следует иметь в виду, что трение далеко не всегда уменьшает опасность критических состояний; в ряде случаев именно трение может служить причиной критических состояний особого рода.

Ниже последовательно рассматриваются вязкое внешнее со­ противление, влияние масляной пленки в подшипнике, сухое тре­ ние в подшипнике и, наконец, внутренний гистерезис в конструк­ ции вала.

Вязкое сопротивление

Между вращающимся диском и окружающей средой неизбеж­ но появляется трение. Распределенные силы трения можно при­ вести к центру диска и получить главный вектор Т и главный мо­ мент относительно оси вращения; последний при установившемся вращении (о = const) уравновешивается внешним моментом.

Действие силы трения Т при наличии некоторого начального эксцентрицитета е приводит (в стационарном режиме) к располо­ жению характерных точек, которое показано на рис. 84: центр вращения О, центр сечения вала W и центр тяжести диска S не лежат на одной прямой и отрезок OW составляет с направлением OS угол у. Полный эксцентрицитет OS обозначим через ег.

На диск действуют две силы: упругая реакция вала сг, направ­ ленная от точки W к точке О, и сила трения Т, которую примем пропорциональной абсолютной скорости центра диска

Т — — &и>01.

где k — коэффициент пропорциональности.

172

Знак минус означает, что сила Т направлена противоположно скорости центра тяжести диска. Уравнения движения в проекци­ ях на направление SO и перпендикулярное ему направление

crCo sY —т ш ^ = 0 ; | cr sin у — Ые\ = 0. }

В уравнениях (293), (294) со­ держится три неизвестные вели­ чины: прогиб г, эксцентрицитет ех

т. е. угол обгона вала диском уве­ личивается с ростом коэффициен­ та трения k; в системе без трения,

Для полного решения задачи необходимо составить еще одно уравнение; это уравнение имеет чисто геометрический характер

[что вытекает из первого уравнения (294)], то получится уравне­ ние, определяющее ех:

Теперь согласно выражению (295)

Уо 4 — 2©ара cos2 у + Р4 cos2 у

Вотличие от случая, рассмотренного выше, величины ех и г остаются ограниченными при любой угловой скорости ш. Макси­

мальное значение прогиба г достигается при ю = р и составляет

Гmax — sin у

173

Максимальное значение эксцентрицитета соответствует близ­ кому, но несколько иному соотношению со = р cosy и равно

Трение данного вида ограничивает прогиб вала и поэтому несколько уменьшает опасность критического состояния; практи­ чески трение не влияет на значение критической скорости, если рассматривать как критерий критического состояния наибольшее отклонение вала г. Самоцентрированию диска трение не препят­ ствует, как это видно из выражения (296).

Влияние масляной пленки в подшипнике

Подвижность смазочного материала в подшипнике оказывает влияние на движение шейки вала в подшипнике; в условиях экс­ плуатации по этой причине могут возникнуть опасные критиче­ ские состояния.

Анализируя явления, связанные с движением масляной плен­ ки, ограничимся схематическим рассмотрением основных особен­ ностей; тех сил, которые возникают в указанных условиях.

При вращении шейки вала в подшипнике в движение частично вовлекается масляная пленка, которая образует замкнутый по­ ток в кольцеобразной полости между шейкой и подшипником. При этом внутренняя поверхность пленки нагружена силами тре­ ния, действующими в направлении вращения; в то же время по­ верхность шейки нагружена такими же силами, но действующими в направлении, противоположном основному вращению. Эти силы показаны на рис. 85, а.

Пусть вследствие какого-нибудь возмущения шейка вала ока­ залась смещенной в сторону от положения, соответствующего стационарному состоянию (рис. 85, б). При этом меняются кон­ фигурация полости и скорости частиц пленки. В тех местах, где произошло расширение полости (слева на рис. 85, б), скорость кольцевого потока уменьшается, а с противоположной стороны

174

(справа на рис. 85, б), где полость оказалась суженной, скорость потока возрастает.

Рассмотрим, как это повлияет на силы трения. Уменьшение скорости потока означает увеличение относительной скорости шейки и пленки. Следовательно, в левой части силы трения уве­ личиваются, т. е. их приращения положительны. Рассуждая так, можно прийти к заключению, что с противоположной стороны силы трения убывают, т. е. их приращения отрицательны; эти приращения показаны стрелками на рис. 85, б. Из схемы видно, что равнодействующая этих приращений R направлена перпенди­ кулярно направлению смещения (рис. 85, в).

В этом и состоит основная особенность явления: при всяком боковом смещении шейки вала возникает дополнительная сила трения, направленная не против, а перпендикулярно к смещению.

Сила R в первом приближении может быть принята пропорциональной смеще­ нию, однако, будучи все время перпенди­ кулярной к смещению, она не является восстанавливающей силой, способной вернуть шейку вала на место. Наоборот, увлекая шейку в своем направлении, эта сила переведет шейку в новое (также сме­ щенное) положение. При этом направле­ ние силы R изменится, т. е. в конце кон­ цов центр шейки будет вращаться вокруг

невозмущенного положения; направление этого вращения совпа­ дает с направлением основного вращения (рис. 85, в).

Таким образом, при учете только указанных сил невозмущен­ ное движение оказывается неустойчивым. В действительности устойчивость может быть сохранена благодаря силам вязкого трения.

Для исследования совместного действия этих сил воспользу­

определяет мгновенное положение центра тяжести диска (здесь же располагается центр W сечения вала, в котором находится диск); ее координаты обозначены через у\ и z\.

Рассмотрим возмущенное движение диска, укрепленного на

где a — коэффициент пропорциональности между дополнитель­ ной силой трения и смещением К

1 Этот коэффициент приблизительно пропорционален кубу радиуса шейки и квадрату угловой скорости вращения и обратно пропорционален радиаль­ ному зазору.

175

Будем считать, что яри движении развивается диссипативная сила, пропорциональная абсолютной скорости центра диска; со­

ставляющие этой силы на оси координат равны —ky и —kz. Тогда дифференциальные уравнения движения для системы вал — диск имеют вид

вал — диск действуют диссипативные силы и составляющие до­ полнительной силы трения Ду и Rz. Уравнения (299) относятся к диску; при этом действующими на «его силами являются силы упругости вала и диссипативные силы.

Приравнивая левые части уравнений (298) и (299), выразим координаты центра шейки у и z через координаты центра диска 01» zi:

Теперь из выражений (298) или (299) можно получить урав­ нения для координат у\ и zu не содержащие координат у и z:

Zx-f- azx— byx + 2nzx = 0.

Частное решение принимается в форме, подобной (289),

Прежде чем довести до конца определение характеристиче­ ского показателя Я, отметим, что в общем случае % окажется комплексным числом:

Я = ai 4"

так что

Второй множитель, содержащий мнимый показатель степени, может быть представлен через тригонометрические функции и поэтому остается ограниченным при любом значении t. Критерий устойчивости движения связан с первым множителем; если а.\ < 0 , то движение диска будет затухающим, а если а! > 0 , то диск бу­ дет удаляться от исходного невозмущенного режима 1.

Таким образом, устойчивость движения определяется усло­ вием

ах< 0 .

Подставляя выражения (302) в уравнения (301), получим си­ стему однородных относительно Аи В уравнений

А (Я2 + 2пк + а) + ВЬ = 0;

— АЬ4 - В(Я2 -j- 2яЯ -{- о) = 0.

Условие ненулевых решений для Ап В

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получим

Я2 4 - 2лЯ 4- 0 4 : / 6 = 0,

откуда

Я= — я 4 "|/ и2 — й 4: ib.

1В действительности при значительном удалении от «евозмущенного ре­ жима эти зависимости потеряют силу, так как конструкция подшипника до­ пускает только малые смещения. Поэтому критическое состояние, конечно, не означает безграничного нарастания перемещений, но тем не менее представ­ ляет безусловную опасность.

177

Если действительная часть хотя бы одного из корней %боль­ ше нуля, то движение неустойчиво. Для выделения действитель­ ной части представим корень в виде

Действительная часть выражения (303)

= —« +] / у [У(a —nzy + bz — а +п8].

Устойчивость будет обеспечена, если оба значения а\ отрица­ тельны, что возможно в случае

отсюда получим

В обозначениях (300) этому условию устойчивости можно придать вид

При отсутствии затухания (k = 0) движение неустойчиво. Для устойчивости движения необходимо некоторое минимальное зна­ чение коэффициента k\ чем больше масса диска и жесткость ва­ ла, тем большим оказывается это значение.

Полученные результаты лишь на первый взгляд не зависят от угловой скорости вращения диска. В действительности а зависит от угловой скорости (о и пропорционально ее квадрату. Поэтому из выражения (305) можно заключить, что чем больше скорость вращения диска, тем легче осуществить гашение колебаний; наоборот, при малых скоростях вращения диска коэффициент k должен быть значительным.

Сухое трение в подшипнике

Сильные колебания вращающегося вала могут возникнуть при чрезмерном зазоре в подшипнике и недостаточной смазке вслед­ ствие появления сил сухого трения при прикосновении шейки к подшипнику.

178

На рис. 87 видно, что приложенная к шейке вала сила тре­ ния R направлена перпендикулярно смещению; в этом смысле она подобна силе, развивающейся при наличии масляной пленки (рис. 85, б ) . Поэтому, так же как и там, шейка вала будет обка­ тывать контур подшипника, но в данном случае движение центра шейки будет происходить по ходу часо­ вой стрелки, т. е. в направлении, противополооюном основному вращению.

Гистерезисные свойства конструкции вала

Рассмотрим колебания диска, который насажен посредине вращающегося вер­ тикального двухопорного вала круглого сечения; будем считать, что диск полно­ стью уравновешен на валу. Учет сил вяз­ кого сопротивления в материале вала позволит обнаружить, что возможны ус­

ловия, при которых прямолинейная форма оси вала становится неустойчивой и после сколь угодно малого начального возмуще­ ния система начнет уходить от невозмущенного режима.

Рис. 88

Отнесем рассматриваемую систему к неподвижной системе ко­ ординатных осей xyz, совместив ось х с прямой, проходящей че­ рез центры подшипников.

Пусть в некоторый момент, от которого ведется отсчет време­ ни, центр диска каким-либо образом отклонен от оси вращения Ох, после чего система представлена самой себе (рис. 88, а) . Рас­ смотрим последующий процесс движения, принимая, что вал только изгибается и не претерпевает деформации кручения; кро­ ме того, положим, что угловая скорость вращения вала со остает­ ся все время постоянной.

179

Обозначим через v —v(t), w = w(t) составляющие прогиба середины вала в направлениях осей у и z. Мысленно отделим диск от вала и заменим действие диска на вал силами Рi и Р2 (рис. 88, б). Схема сил, действующих на диск, показана на рис. 88, в; эти силы равны по величине и противоположны по на­ правлению силам Р\ и Ръ. Дифференциальные уравнения движе­ ния диска имеют вид

Рассмотрим изгиб вала для того, чтобы связать силы Р\ и Рц с прогибами вала v и w.

Обозначим через р радиус кривизны оси вала в среднем его сечении. Проекции р на оси у VLZ обозначим через pwи рг. Очевид­ но, что соответствующие кривизны пропорциональны прогибам (рис. 89, а) :

порциональности, зависящий от опорных условий и длины вала

(так, для свободно опертого вала а = — Y Р /

Рассмотрим теперь среднее сечение вала (рис. 89, б) и сов­ местим с центром тяжести Oi этого сечения подвижную систему осей у\, Z\, остающихся все время параллельными неподвижным осям у, z. Некоторая точка А, удаленная от центра тяжести се­ чения на расстояние г, имеет координаты

180

Подставляя сюда выражения (307) и (308), получим е = — ar(v cos шt -\-wsin utf).

Соответственно (200) нормальное напряжение в точке А

а = Ее kв = — Ear (vcos a>t+ wsin atf) —

— kar (ivcos ast— vwsin ast+ wsin cd + wascos urf). Вновь возвращаясь к координатам ух, zu имеем

о = — аух (Ev -\-kv-\- kasw) — azx(Ew -\-kw— kasv).

Система элементарных усилий adF образует изгибающие момен­ ты относительно осей уи

Мх = — ^ ozxdF — aJ (Ew -f- kw — kasv)\

= — J ayxdF = aJ (Ev + kv + kasw).

{F)

Возвращаясь теперь к рис. 88, б, заметим, что изгибающий момент Мх вызван действием силы Р2, а изгибающий момент М2 вызван действием силы Рх:

Приравнивая правые части равенств (309) и (310), выразим силы Р\ и Р2через прогибы центра тяжести диска:

Ew 4- kw — kasv= —— ;

Р2 — (Ew 4-kw — kasv).

181