книги / Основы прикладной теории упругих колебаний

(здесь g = х : а) ; окончательно по формуле (79) получаем

2п (81)

Отсюда видно, что только при п — 1 (линейная характери­ стика) период Т не зависит от амплитуды колебаний; в осталь­ ных случаях существует связь между периодом и амплитудой.

Рассмотрим колебания в системе с кубической характеристи­ кой f(x) = а*3; тогда п = 2 , и из выражения (81) находим

Входящий сюда эллиптический интеграл может быть вычис­ лен при помощи таблицы специальных функций; его значение

1,8541: V 2. Следовательно,

Т = -----%=- - 1,8541. a Y а

Для частоты свободных колебаний получим

т. е. частота линейно увеличивается с ростом амплитуды.

Представление движения на фазовой плоскости

Для построения фазовых траекторий представим основное дифференциальное уравнение задачи (77) в виде двух уравнений первого порядка

dv

~dt = - №

и разделим второе из этих уравнений на первое. Тогда получим дифференциальное уравнение фазовых траекторий

в этом уравнении время t отсутствует. Совокупность интеграль­ ных кривых уравнения образует фазовый портрет системы. Так как переменные разделяются, то можно получить

V я = — 2 J f(x)dx-j-С.

72

Постоянная С определяется одним начальным условием: v — v0 при х = х0, так что каждой конкретной комбинации х0, v0

Теперь запишем уравнение (83) в виде

На рис. 40 сплошной линией представлена типичная кривая v (х) , служащая фазовой траекторией для определенных началь­

Приближенные решения

Хотя формула (79) для четверти периода свободных колеба­ ний принципиально точна, но при решении практических задач приводит к громоздким выкладкам, невыполнимым в замкнутой форме. Эти трудности можно обойти, пользуясь излагаемыми ниже приближенными способами определения частоты свобод­ ных колебаний.

Простейший метод. Наиболее прост (хотя весьма неточен) следующий прием. Примем, что колебания в рассматриваемой системе описываются законом

73

подобно тому, как это имеет место в линейных системах. Выра­ жение (84) является точным решением только в том случае, ког­ да характеристика/^) линейна, но в общем случае подстановка выражения (84) в уравнение (78) не обращает его в тож­ дество. Смягчим требования точности и потребуем, чтобы урав­ нение (78) выполнялось хотя бы в те моменты, когда отклоне­

ние .г* достигает максимума, т. е. равно а. При этом ускорение х также максимально:

Следовательно, для указанных моментов времени должно вы­ полняться равенство

— 0Р2 + /(а) = О,

т. е.

,2 _ /(в) a

Последняя формула определяет частоту свободных колеба­ ний р в зависимости от их амплитуды а. Хотя эта формула очень неточная, но при ее помощи можно получить правильное общее представление о связи а(р)2. Так, если нелинейная характери­ стика имеет вид

например, система, колебания которой описываются дифферен­ циальным уравнением

74

если параметр а достаточно мал. В подобных случаях решение следует искать в виде разложения по степеням малого параметра

где хо, Х\, x2i...— неизвестные функции времени, подлежащие определению.

Кроме разложения (87), необходимо также произвести раз­ ложение коэффициента р$:

ничиваясь выписанными членами разложений, получим уравне­ ние

*о + + а ^ 2 + (р2 + асг + а2с 2) (х0 + ахг + <х2х2) +

+ а (х0 + ахх + а2дг2)3 = 0.

Раскрыв скобки и сохраняя члены, содержащие а не выше, чем во второй степени, получим

х0+ Р2*о + « (хх + Р % + сгх0+ я®) +

+ а2 (х2+ ргх2-f с2х0+ схХх+ ЪхоХх) —0 .

Это уравнение должно быть справедливо при любом малом значении а. Поэтому коэффициенты при а°, а1, а2, ... должны быть порознь равны нулю; это приводит к системе

Структура полученных уравнений подсказывает дальнейший ход решения: первое уравнение позволяет найти Хо, после чего из второго уравнения можно определить Х\, затем из третьего х2.

Примем начальные условия в следующем виде: при t = О х = a, v = 0 . На основании выражения (87) получим

х0(0 ) + ахх (0 ) + а% (0 ) = а;

х0(0) + ссхх (0) + аах2 (0) = 0.

75

Чтобы эти равенства были удовлетворены при любом значе­ нии а, необходимо одновременное выполнение следующих шести условий:

Решая первое уравнение системы (89) .при начальных усло­ виях, содержащихся в первой строке системы (90), находим

х0= a cos pt.

Подставив это выражение во второе уравнение системы (89), получим

хх + р2хг = — сха cos pt — а3 cos8 pt =

Предположим, что коэффициент при cos pt отличен от нуля; тогда решение этого уравнения будет содержать так называе­ мый вековой член вида tsmpt, в котором время t находится вне знака тригонометрических функций. Таким решением резонанс­ ного типа можно пользоваться только при весьма малых значе­ ниях t, поскольку вековой член с ростом аргумента t неограни­ ченно возрастает. Чтобы решение было справедливо при любых значениях t, необходимо исключить вековой член из выражения (91), для чего следует положить

отсюда определим коэффициент

Тогда решением уравнения (91) будет

хх = Сгcos pt + С2 sin pt Н— — cos 3pt.

32ра

После определения постоянных из второй строки начальных условий (90) найдем

Таким образом, в разложениях (84) и (85) определены пер­ вые два слагаемых; решение, точное до членов первого порядка малости, имеет вид

76

причем в соответствии с формулами (8 8 ) и (92)

Подставим теперь Хо и Х\ в третье уравнение (89) и решим его подобным же образом. Это даст третий член разложения — функцию х2, причем величина с2 вновь будет определена с та­ ким расчетом, чтобы исключить вековой член. Опуская выклад­ ки, запишем решение, точное до членов второго порядка ма­ лости:

В случаях иных нелинейных характеристик процесс строится аналогичным образом, но выкладки обычно оказываются еще более сложными. Метод, очевидно, приспособлен лишь к харак­ теристикам, которые описываются единым аналитическим выра­ жением, и непосредственно не может быть использован в других случаях (например, при ломаных характеристиках).

Отметим важные особенности полученных решений: колеба­ тельный процесс описывается не одной гармоникой (косинусои­ дой) , а суммой гармоник, при этом последующие гармоники име­ ют сравнительно малые амплитуды и поэтому менее существен­ ны; частота основной гармоники р зависит от амплитуды

колебаний а.

Метод Бубнова — Галеркина. Рассмотрим приложение мето­ да на примере задачи в свободных колебаниях нелинейной си­ стемы, когда уравнение имеет форму (77).

Будем разыскивать решение в виде

где а, а, р — постоянные.

Подставим это решение в уравнение (77); конечно, тождест­ венного равенства нулю не получится, поскольку выражение (95) не является точным решением уравнения (77). Согласно основной идее метода следует потребовать, чтобы равнялся ну­ лю интеграл, взятый в пределах одного периода:

2K

P

77

П од ставл я я сю д а вы раж ение (9 5 ), получим

~р

f{x) = рох24 - осх3.

В этом случае

f (acos ф) = аро cos ф 4 - aa8 cos3 ф

и по формуле (98) имеем

2к

Этот результат полностью совпадает с формулой (93), най­ денной по методу Ляпунова — Линстедта.

Пользуясь методом Бубнова — Галеркина, И. М. Тетельбаум дал решение для нелинейной характеристики более общего типа

f(x) = рох 4- <*3* 3 + <*б* 5 + •••

При этом для квадрата собственной частоты получено выра­ жение

78

В приведенных примерах использования метода Бубнова — Галеркина движение задается в виде выражения (96); при этом с самого начала исключаются высшие гармоники. Однако метод Бубнова — Галеркина позволяет строить и высшие приближе­ ния. Для этого нужно искать решение не в виде одной функции (96), а в виде функционального ряда

х — ахх1 + 0 2 * 2 + ... ,

задаваясь видом функций х{(£), x2(t),...t и затем требовать обра­ щения в ^уль интегралов

ние и иным способом, который указан Ю. В. Благовещенским. Решение уравнения разыскивается в виде

х = ахsin pt + а3sin 3pf + аьsin bpt -f- ...

Различный порядок малости величин аь аз, ... подчеркивает­ ся формальным введением параметра 8 , который в окончатель­ ных формулах полагается равным единице,

х = ахsin pt -f- еа3 sin 3pt + е3а5 sin bpt + ...

Последнее разложение подставляется в основное уравне­ ние (77); оставляя в зависимости от требуемой точности то или иное число членов (до определенной степени е) и приравнивая нулю коэффициенты при sinpf, sinbpt, ..., можно при учете на­ чальных условий найти значения коэффициентов аи аз, ... Этот метод приводит к тем же результатам, что и метод Ляпунова — Линстедта.

Метод гармонической линеаризации (простейший вариант ме­ тода Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова).

Представим уравнение (77) в виде

х + р*х = pzx — f(x),

где р — пока неизвестная частота колебаний.

Подставив в правую часть приближенную форму решения х — a cos {pt + а),

получим уравнение вынужденных колебаний линейной системы

представляет периодическую функцию с периодом — .

Р

79

Р а зл ож и в F(t) в ряд Ф урье, получим

F (f) = а0+ di cos (pt + а) + аъcos 2 (pt - f а) + . . .

Если коэффициент aj будет отличным от нуля, то слагаемое

Метод прямой линеаризации (случай симметричной характе­ ристики). В основе метода лежит замена нелинейной характери­ стики f(x) линейным выражением

со специально подбираемым коэффициентом р2. Уклонение за­ меняющей характеристики ( 1 0 0 ) от заменяемой характеристики / (х) зависит от координаты х (см. рис. 42, а):

r(x) = f(x) — p2x;

оно может быть подчинено требованию минимума интеграла

I = I гЧ х,

О

выражающего интегральное квадратичное уклонение г(х) во всем интервале изменения координаты х. Этот интеграл, очевид-

80

но, зависит от выбора параметра р2; поэтому минимизация до­

При таком подходе равные уклонения г принимаются в рав­ ной мере важными независимо от значения координаты х. На самом же деле в задачах о колебаниях, очевидно, более сущест­ венны уклонения г при больших значениях координаты х\ поэто­ му естественнее рассмотрение «взвешенного» уклонения

/х = [f (я) — р*х] х.

Тогда задача сводится к минимизации интеграла

h= ${lf(x) — P2x]x}2dx,

т.е. к определению р2 из уравнения

Этот подход предполагает, что важность (вес) уклонения пропорциональна соответствующему значению координаты. Из уравнения (1 0 1 ) находим

а а

После того как параметр р2 найден, задача сводится к стан-, дартнсму линейному уравнению

х + р2х = 0 ,

заменившему заданное нелинейное уравнение. Отсюда непосред­ ственно видно, что параметр р2 есть квадрат частоты свободных колебаний.

Определим частоту р по формуле ( 1 0 2 ) для рассмотренной выше характеристики

/(*) = plx + ax3.

Вычисляем

f (Ро* + CLX3) хЧх =

Сравним точность результатов, получаемых различными спо­ собами в частном случае, когда р0 = 0 , т. е. f (х) = а*3.

81